Max Heindel, no livro O Conceito Rosacruz do Cosmos, Capítulo VIII – A Obra da Evolução – O Fio de Ariadne, diz o seguinte sobre esse livro:

“o Estudante que deseja conhecer a Verdade; que almeja penetrar e investigar os Reinos do Espírito; que anela libertar-se das preocupações da carne tão rapidamente quanto seja possível fazê-lo com segurança e para o seu próprio crescimento, deve estudar o que segue com o máximo cuidado, a fim de assimilar e fixar bem as concepções mentais desses Mundos, Globos e Períodos.

Se deseja progredir nesse caminho, o estudo da matemática e “A Quarta Dimensão” de Hinton são, também, admiráveis exercícios de pensamento abstrato.

Essa obra de Hinton (ainda que basicamente incorreta, visto que o Mundo do Desejo, de quatro dimensões, não pode realmente ser determinado por métodos tridimensionais) tem aberto os olhos de muitas pessoas que a tem estudado, levando-as à clarividência.”.

1. Para fazer download ou imprimir:

C. Howard Hinton – A Quarta Dimensão

2. Para estudar no próprio site:

A QUARTA DIMENSÃO

Por

Howard Hinton

Ao qual foi adicionado

A Linguagem do Espaço

Centro Rosacruz de Campinas – SP – Brasil

Avenida Francisco Glicério, 1326 – conj. 82

Centro – 13012-100 – Campinas – SP – Brasil

Revisado de acordo com:

1ª Edição em Inglês, The Fourth Dimension, 1904, editada por London: Swann Sonnenschein & co. and New York: Macmillan

“A Language of Space” primeiro publicado com panfleto por

London: Swann Sonnenschein & co., 1904.

Incluído como um apêndice em 1906 e subsequentes edições da “The Fourth Dimension”

3ª Edição em Inglês, The Fourth Dimension, 1912, editada por George Allen & Co, Ltd

1ª Edição Eletrônica editada por Celephaïs Press, Leeds, 2004

Pelos Irmãos e Irmãs da Fraternidade Rosacruz – Centro Rosacruz de Campinas – SP – Brasil

www.fraternidaderosacruz.com

contato@fraternidaderosacruz.com

fraternidade@fraternidaderosacruz.com

Sumário

INTRODUÇÃO.

PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO

CAPÍTULO I – O ESPAÇO QUADRIDIMENSIONAL

CAPÍTULO II – A ANALOGIA DO MUNDO PLANO

CAPÍTULO III – O SIGNIFICADO DE UMA EXISTÊNCIA NA QUARTA DIMENSÃO

CAPÍTULO IV – O PRIMEIRO CAPÍTULO NA HISTÓRIA DO ESPAÇO QUATRO 

CAPÍTULO V – O SEGUNDO CAPÍTULO NA HISTÓRIA DA QUARTA DIMENSÃO: LOBATCHEWSKY, BOLYAI E GAUSS

CAPÍTULO VI – O MUNDO SUPERIOR.

CAPÍTULO VII – AS EVIDÊNCIAS PARA A QUARTA DIMENSÃO 

CAPÍTULO VIII – O USO DAS QUATRO DIMENSÕES NO PENSAMENTO 

CAPÍTULO IX – APLICAÇÃO DA TEORIA DE EXPERIÊNCIA DE KANT 

CAPÍTULO X – A FIGURA DA QUARTA DIMENSÃO

CAPÍTULO XI – NOMENCLATURA E ANALOGIAS PRELIMINARES PARA O ESTUDO DAS FIGURAS DA QUARTA DIMENSÃO

CAPÍTULO XII – O SÓLIDO MAIS SIMPLES DE QUATRO DIMENSÕES

CAPÍTULO XIII – OBSERVAÇÕES SOBRE AS FIGURAS

CAPÍTULO XIV – UMA RECAPITULAÇÃO E EXTENSÃO DO ARGUMENTO FÍSICO

APÊNDICE I – OS MODELOS

APÊNDICE II – A LINGUAGEM DO ESPAÇO

INTRODUÇÃO

Max Heindel, no livro O Conceito Rosacruz do Cosmos, Capítulo VIII – A Obra da Evolução – O Fio de Ariadne, diz o seguinte sobre esse livro: “o Estudante que deseja conhecer a Verdade; que almeja penetrar e investigar os Reinos do Espírito; que anela libertar-se das preocupações da carne tão rapidamente quanto seja possível fazê-lo com segurança e para o seu próprio crescimento, deve estudar o que segue com o máximo cuidado, a fim de assimilar e fixar bem as concepções mentais desses Mundos, Globos e Períodos. Se deseja progredir nesse caminho, o estudo da matemática e “A Quarta Dimensão” de Hinton são, também, admiráveis exercícios de pensamento abstrato. Essa obra de Hinton (ainda que basicamente incorreta, visto que o Mundo do Desejo, de quatro dimensões, não pode realmente ser determinado por métodos tridimensionais) tem aberto os olhos de muitas pessoas que a tem estudado, levando-as à clarividência.”.

Fraternidade Rosacruz em Campinas – SP – Brasil

PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO

Tenho o objetivo de apresentar o assunto da mais alta dimensionalidade do espaço, de forma clara, desprovida de sutilizas matemáticas e tecnicismos. A fim de envolver o interesse do leitor, nos primeiros capítulos abordo a perspectiva da hipótese de uma quarta dimensão e trato de muitas conexões que existem entre esta hipótese e os tópicos comuns de nossos pensamentos.

A falta de conhecimento matemático não revelará nenhuma desvantagem para o leitor, pois não usei nenhum método matemático no processo de raciocínio. Eu considerei a visão do espaço que normalmente pensamos, o espaço das coisas reais (que chamaria de matéria permeável) que é diferente do espaço tratado pela matemática. A matemática nos conta muito sobre o espaço, assim como a teoria atômica nos conta muito sobre as combinações químicas dos corpos. Mas afinal, uma teoria não é exatamente equivalente ao assunto do qual se trata. Existe uma abertura, portanto, para as nossas observações espaciais de forma simples com um caminho totalmente racional, mecânico e observacional para tratar deste assunto do Espaço maior e desta oportunidade me aproveitei.

Os detalhes apresentados nos capítulos anteriores, especialmente nos capítulos VIII, IX, X, talvez sejam um pouco cansativos. Não contêm importância essencial na linha principal de argumentação se forem deixados até o capítulo XI e XII. Se forem lidos, será um esforço bom para encontrar ilustrações das propriedades discutidas nos capítulos seguintes.

Meus agradecimentos vão para os amigos que me auxiliaram nos desenhos e preparação das modificações dos meus modelos anteriores, e não menos na publicação deste volume, o Sr. Sonnerschein, por sua apreciação única desta linha de pensamento dos meus ensaios anteriores e pela presente publicação. Providenciando ilustrações coloridas em adição às outras ilustrações, ele as adicionou graciosamente para a conveniência dos leitores.

HOWARD HINTON

CAPÍTULO I – O ESPAÇO QUADRIDIMENSIONAL

Não existe nada mais indefinido e, ao mesmo tempo, mais real do que aquilo que queremos dizer quando falamos do “mais elevado”. Na nossa vida social vemos isso evidenciado em uma maior complexidade de relações. Mas esta complexidade não é tudo. Existe, ao mesmo tempo, um contato com uma apreensão de algo mais fundamental, mais real.

Com o maior desenvolvimento do ser humano, vem uma consciência de algo mais do que todas as formas em que se mostra. Existe a prontidão para desistir de todo o visível e tangível pelo bem daqueles princípios e valores dos quais o visível e tangível são as representações. A vida física do ser humano civilizado e de um mero selvagem são praticamente as mesmas, mas o ser humano civilizado descobriu uma profundidade em sua existência, o que o fez sentir que o que parece ser o tudo para o selvagem é uma mera externalidade e imagem do seu ser verdadeiro.

Agora, esse o mais elevado – como devemos compreendê-lo? Geralmente está envolvido pelas nossas faculdades religiosas, por nossas tendências idealistas. Mas a existência de algo elevado tem dois lados: o ser e as suas qualidades. E ao tentarmos percebe-lo por meio das nossas emoções sempre tomamos o ponto de vista subjetivo. Nossa atenção sempre fica fixada naquilo que sentimos, naquilo que pensamos. Existe alguma forma de apreender o mais alto mediante um método puramente objetivo da ciência natural? Eu acredito que existe.

Platão, em uma maravilhosa alegoria, fala de alguns seres humanos que viviam em tais condições que foram praticamente reduzidos para serem habitantes de um mundo sombrio. Eles eram acorrentados, e só percebiam as sombras de si mesmos e de todos os objetos reais projetados em uma parede, para a qual as faces deles estavam viradas. Todos os movimentos para eles eram apenas movimentos na superfície, todas as formas eram formadas por contornos sem substancialidade.

Platão usava esta ilustração para retratar a relação entre o ser real e as ilusões do mundo dos sentidos. Ele falava que apenas quando o ser humano se libertar de suas correntes poderia aprender e descobrir que esse mundo é sólido e real, e poderia voltar e contar a seus companheiros sobre esta realidade maior, assim como o filósofo que está livre, que foi até o pensamento do mundo ideal, no mundo das ideias maiores  e mais reais que as coisas do sentido, pode voltar e contar seus companheiros seres humanos sobre aquilo que é mais verdadeiro que o sol visível – mais nobre que Atenas, o estado visível.

Agora, eu tomo a sugestão de Platão; mas literalmente, não metaforicamente. Ele imagina um mundo que é mais inferior que esse mundo, que é constituído daquelas figuras de sombras e movimentos de sombras; e com isto ele contrasta o mundo real. Assim como o mundo real é para este mundo das sombras, assim é o mundo superior para nosso mundo. Eu aceito sua analogia. Assim como nosso mundo tridimensional é para a sombra do mundo plano, assim o mundo superior é para o nosso mundo tridimensional. Isto é, o mundo superior é de quatro dimensões; o ser superior é, na medida em que sua existência se distingue de suas qualidades, para ser buscado por meio da concepção de uma existência real, espacialmente superior do que percebemos com os nossos sentidos.

Aqui você deve observar que eu necessariamente deixei de fora tudo o que dá charme e interesse aos escritos de Platão. Todas aquelas concepções do belo e bom que vivem na imortalidade de suas páginas.

Tudo o que guardo, do seu grande armazém de riqueza, é essa única coisa simples – um mundo espacialmente superior a esse mundo, um mundo que só pode ser abordado mediante os estoques e pedras desse mundo; um mundo que deve ser apreendido laboriosamente, pacientemente, por meio das coisas materiais, de suas formas, seus movimentos e suas figuras.

Nós devemos aprender a perceber as formas dos objetos neste mundo do ser humano superior; devemos nos familiarizar com os movimentos que os objetos fazem neste mundo, para que possamos aprender algo sobre sua experiência diária, seus pensamentos de objetos materiais, suas máquinas.

Os meios para o julgamento dessa investigação são dados na própria concepção do espaço.

Muitas vezes acontece que aquilo que consideramos único e não relacionável nos dá, nele mesmo, estas relações com meios dos quais nós somos capazes de ver as relações com outros, determinando e determinado por eles.

Assim, na Terra há o fenômeno do peso, que Newton nos trouxe pela relação da Terra com o Sol e os outros Planetas. Nosso globo terrestre foi determinado, em relação aos outros corpos do Sistema Solar, por meio de uma relação que subsistia na própria Terra.

E assim, o próprio espaço traz dentro de si relações nas quais podemos determiná-lo como relacionados a outros espaços. Assim dentro do espaço temos as concepções do ponto e da linha, da linha e do plano, o que realmente envolve a relação dos espaços com espaços maiores.

Onde um segmento de uma linha reta termina e a outra começa é um ponto, e a linha reta por si só pode ser gerada pelo movimento do ponto.

Uma porção de um plano é delimitada por uma linha reta, e o próprio plano pode ser gerado por uma linha reta se deslocando em uma direção não contida em si mesma.

Novamente, duas porções do espaço sólido são limitadas umas às outras por um plano; e o plano, deslocando em uma direção não contida nela mesma, pode gerar um espaço sólido.

Assim, continuando, nós podemos dizer que o espaço é o que delimita duas porções do espaço superior de cada um, e que o nosso espaço irá gerar o espaço superior se movendo numa direção que não contenha ele mesmo.

Outra indicação da natureza do espaço em quatro dimensões pode ser obtida considerando o problema do arranjo de objetos.

Se eu tiver uma série de espadas de diferentes graus de brilho, posso representá-las em relação a estas qualidades por pontos ao longo de uma reta.

Se eu colocar uma espada no ponto A (figura 1), e considerá-la tendo certo brilho, então as outras espadas podem ser arranjadas em série ao longo da linha, como em A, B, C, etc., de acordo com seu grau de brilho.

Figura 1

Se agora eu considerar outra qualidade, digamos comprimento, eles podem ser arranjados em um plano. Partindo de A, B, C, eu consigo encontrar pontos para representar os diferentes graus de comprimento ao longo de linhas como AF, BD, CD, partindo de A, B e C.

Figura 2

Os pontos nessas linhas representam diferentes graus de comprimento com o mesmo grau de brilho. Assim todo o plano é ocupado por pontos que representam todas as variedades concebíveis de brilho e de comprimento.

Introduzindo uma terceira qualidade, digamos nitidez, eu posso desenhar, como na figura 3, qualquer número de linhas retas. As distâncias ao longo destas linhas verticais representam graus de nitidez, portanto, os pontos F e G representam espadas de certos graus definidos das três qualidades mencionadas, e todo o espaço servirá para representar todos os graus imagináveis destas três qualidades.

Figura 3

Se eu agora trouxer uma quarta qualidade, assim como peso, e tentar encontrar uma forma de representação, como fiz com as outras três qualidades, eu encontrarei uma dificuldade. Cada ponto do espaço foi tomado por uma combinação concebível das três qualidades já estabelecidas.

Para representar quatro qualidades da mesma forma que representei três, eu necessito de outra dimensão de espaço.

Assim podemos indicar a natureza do espaço de quatro dimensões ao dizer que é um tipo de espaço que seria dar posições representativas de quatro qualidades, uma vez que o espaço tridimensional dá posições representativas de três qualidades.

CAPÍTULO II – A ANALOGIA DO MUNDO PLANO

Correndo o risco de certa prolixidade proporei a experiência de uma criatura hipotética confinada ao movimento em uma superfície plana. Assim, obterei uma analogia que servirá em nossas consultas subsequentes, porque a mudança em nosso conceito, que fazemos passando das formas e movimentos em duas dimensões para aquelas em três, oferece um padrão com a qual poderemos passar para a concepção de uma existência em um espaço de quatro dimensões.

Um pedaço de papel em uma mesa plana oferece a imagem de uma existência bidimensional. Se supuséssemos que o ser representado pelo pedaço de papel não tivesse o conhecimento da espessura que ele projetaria acima da superfície da mesa, fica claro que ele não tem o conhecimento de objetos com uma descrição similar, a não ser pelo contato com suas bordas. Seu corpo, e os objetos em seu mundo, tem uma espessura da qual ele não tem consciência. Uma vez que a direção que se estende acima da mesa é desconhecida para ele, ele pensará que os objetos de seu mundo se estendem em duas dimensões apenas. As figuras, para ele, estão totalmente delimitadas por suas linhas, assim como os objetos sólidos são, para nós, a sua superfície. Ele não pode conceber se aproximar do centro do círculo, excetuando se romper a circunferência, porque a circunferência inclui o centro na direção do movimento que é possível para ele. A superfície plana, sobre a qual desliza e com a qual está sempre em contato, será desconhecida para ele; não existem diferenças pelas quais ele reconheça sua existência.

Contudo, para o propósito de nossa analogia, esta representação é deficiente.

Um ser assim descrito não tem nada sobre ele para afastar, a superfície sobre a qual desliza não oferece nenhum meio pelo qual ele pode se mover em uma ou outra direção. Colocado sobre uma superfície sobre a qual deslize livremente, ele está numa condição análoga a qual estaríamos se fossemos suspendidos no espaço. Não há nada que ele possa afastar em nenhuma direção conhecida por ele.

Portanto vamos modificar nossa representação. Suponhamos um plano vertical do qual partículas deste material deslize, nunca deixando a superfície. Deixemos estas partículas possuírem uma força de atração e se juntarem em um disco; este disco representaria o globo de um ser plano. Ele deve ser concebido como existente na borda.

Seja “1” o representante deste disco vertical de matéria plana e “2” o plano que está sobre ele parado em cima da borda, enquanto nós estamos na superfície da nossa terra.

Figura 4

A direção da força de atração de sua matéria dará a esta criatura o conhecimento de subir e descer, determinando a ele uma direção no espaço plano. Também, se ele consegue se mover na superfície de sua terra, ele terá o senso de direção paralela à sua superfície, que chamaremos de para frente e para trás.

Ele não terá senso de direita e esquerda – isto é, não terá o senso da direção que nós reconhecemos e estendemos para fora do plano para nossa direita ou esquerda.

A distinção de direita ou esquerda é uma que devemos supor que falta, a fim de nos projetarmos na condição de um ser plano.

Deixe o leitor se imaginar, como se ele estivesse olhando ao longo do plano (veja a figura 4), e se tornando mais e mais identificado com o corpo fino na figura, até que, finalmente, ele olha paralelamente à superfície do plano da terra, e para cima e para baixo, perdendo o senso da direção que vai da direita para a esquerda.

Esta direção será uma dimensão desconhecida para ele.

Nossas concepções espaciais estão tão intimamente conectadas àquelas que derivamos da existência da gravitação que é difícil perceber a condição de um ser do plano, sem imaginá-lo em um ambiente material com uma direção definida de   cima para baixo. Daí a necessidade de nosso esquema elaborado de representação, que, quando incorporarmos a sua importação, pode ser dispensada para algo mais simples como de um objeto deslizando sobre uma superfície plana, que está na nossa frente.

É obvio que devemos supor alguns meios pelos quais os seres do plano são mantidos em contato com a superfície na qual desliza. A suposição mais simples de fazer é que existe uma gravidade transversal que o mantém no plano. Esta gravidade deve ser imaginada como diferente da atração exercida por sua matéria e como se fosse imperceptível para tal ser.

Nesta fase do nosso questionamento eu não quero entrar na questão de como o ser do plano poderia alcançar o conhecimento da terceira dimensão, mas simplesmente investigar sua consciência no plano.

É obvio que a existência de um ser no plano deve ser muito limitada. Uma linha reta levantada da superfície de sua terra oferece uma barreira para seu progresso. Um objeto, como uma roda cuja rotação gira em torno de seu eixo, seria desconhecida para ele, por não existir um modo concebível para que ele possa chegar ao centro dela sem atravessar a circunferência. Ele teria discos giratórios, mas não poderia chegar ao centro deles. O ser do plano pode representar o movimento de qualquer ponto do seu espaço para outro, por meio de duas linhas retas desenhadas em ângulos retos entre si.

Seja AX e AY dois desses eixos. Ele pode realizar a transição de A para B indo pelo eixo AX até C, e depois de C pela paralela CB de AY.

Figura 5

O mesmo resultado pode, logicamente, ser obtido movendo até D pelo eixo AY e depois pela paralela de AX partir de D até B, ou, ainda e logicamente, se movendo pela diagonal composta por estes movimentos axiais.

Por meio de movimentos paralelos a estes dois eixos ele pode (excetuando por obstáculos materiais) ir de qualquer ponto de seu espaço para outro ponto.

Se agora, nós supusermos uma terceira linha desenhada de “A” com ângulos retos em relação ao plano, fica evidente que em nenhum movimento nas duas dimensões, que ele conhece, irão levá-lo ao menor grau na direção representada por AZ.

Figura 6

As linhas AZ e AX determinam um plano. Se ele pudesse ser levado de seu plano, e transferido para o plano AXZ, ele poderia estar em um mundo exatamente igual a seu mundo. De qualquer linha de seu mundo que vá para fora de seu espaço o levaria a um mundo exatamente igual ao dele.

De qualquer ponto de seu mundo pode ser desenhada uma linha paralela a AZ em uma direção não conhecida por ele. Se supormos o quadrado da figura 7 para ser um quadrado geométrico para cada ponto dele, interiormente assim como em seu contorno, uma linha reta pode ser desenhada paralelamente a AZ.

Figura 7

A montagem destas linhas constitui uma figura sólida, da qual o quadrado do plano é a base. Se considerarmos o quadrado como sendo um objeto no mundo do ser plano devemos considerar uma espessura muito pequena pois cada coisa deve possuir as três dimensões. Essa espessura ele não percebe, mas pensa neste objeto real como um quadrado geométrico. Ele pensa nele como possuindo apenas área, e não degrau de solidez. As bordas que se projetam para fora do plano, por uma pequena extensão, ele pensa como tendo meramente comprimento e largura – sendo, de fato, linhas geométricas.

Com o primeiro passo para a compreensão da terceira dimensão virá, para um ser do plano, a convicção que ele, previamente, havia formado uma concepção errada da natureza dos objetos materiais. Ele os concebeu como formas geométricas de apenas duas dimensões.

Se existe uma terceira dimensão, essas figuras são incapazes realmente existirem. Assim, ele admitiria que todos os seus objetos reais tinham uma certa espessura, embora muito pequena, na dimensão desconhecida, e que as condições de sua existência exigiam a suposição de uma folha alargada de matéria, do contato com o qual, em seus movimentos, seus objetos nunca divergiam.

Concepções análogas devem ser formadas por nós na suposição da existência de uma quarta dimensão. Nós devemos supor uma direção na qual nunca poderemos apontar estendendo de cada ponto do nosso espaço. Devemos desenhar uma distinção entre um cubo geométrico e um cubo de matéria real. Devemos supor que o cubo de matéria real, tenha uma extensão numa direção desconhecida, real, mas tão pequena que seja imperceptível por nós. De cada ponto do cubo, tanto no interior quanto no exterior, devemos imaginar que é possível desenhar uma linha numa direção desconhecida.

A montagem dessas linhas constituiria um sólido maior. As linhas que saem da face de um cubo para uma direção desconhecida irão constituir um outro cubo partindo daquela face. Deste cubo tudo o que viríamos, em nosso espaço, seria a face.

Novamente, assim como o ser do plano pode representar qualquer movimento em seu espaço de dois eixos, também nós podemos representar qualquer movimento em nosso espaço tridimensional por meio de três eixos. Não existe um ponto em nosso espaço que não podemos mover com algumas combinações de movimentos nas direções marcadas fora desses eixos.

Assumindo uma quarta dimensão, nós devemos supor um quarto eixo, que chamaremos AW. Devemos supor que seja, em ângulo reto, para cada um dos três outros eixos: AX, AY, AW. Assim como os dois eixos, AX e AZ determinam um plano que é similar ao plano original onde supúnhamos que o ser do plano existia, mas que saiu dele, e apenas o encontra dele em uma linha; assim em nosso espaço, se tomarmos quaisquer dos três eixos assim como: AX, AY, AW, eles determinam um espaço como o nosso mundo espacial. Este espaço sai do nosso espaço, e se formos transferidos para ele nos encontraremos em um espaço exatamente similar ao nosso.

Devemos desistir de qualquer tentativa de imaginar este espaço em relação ao nosso, assim como o ser do plano devia desistir de tentar imaginar um plano com ângulos retos ao seu plano.

Um espaço deste e o nosso correm em direções diferentes do plano AX e AY. Eles se encontram neste plano, mas nada mais tem em comum, assim como o espaço plano de AX e AY e o AX e AZ correm em direções diferentes e tem apenas a linha AX em comum.

Omitindo todas as discussões sobre a forma como um ser do plano poderia conceber a teoria de uma existência tridimensional, imaginemos como, com os meios a sua disposição, ele poderia representar o espaço tridimensional.

Existem duas formas nas quais o ser do plano poderia pensar sobre os nossos corpos sólidos. Ele pode pensar no cubo, figura 8, como uma composição de cessões paralelas ao seu plano, cada uma na terceira dimensão, um pouco mais distantes de seu plano do que o anterior.

Figura 8

Essas sessões ele poderia representar como uma série de figuras planas em seu plano, mas nesta representação ele destruiria a coerência deles numa figura maior.

O conjunto de quadrados A, B, C, D, representam as seções paralelas do plano do cubo demonstrado na figura, mas não estão em suas posições propriamente relativas.

O ser do plano pode desenhar um movimento na terceira dimensão assumindo saltos descontínuos de uma seção para outra. Assim, um movimento ao longo da borda do cubo da esquerda para a direita seria representado, no conjunto de seções do plano, como a sucessão dos cantos das seções de A, B, C, D. Um ponto se movendo de A através de BCD em nosso espaço deve ser representado no plano como aparecendo em A, depois em B, e assim por diante, sem passar pelo plano intermediário.

Nestas seções o ser do plano sai, logicamente, da extensão na terceira dimensão; a distância entre quaisquer duas seções não é representada. Para realizar esta distância a concepção de movimento pode ser empregada.

A figura 9 representa um cubo que passa transversalmente a um plano.

Figura 9

Para o ser do plano aparecerá como um objeto quadrado, mas a matéria da qual este objeto é composto será continuamente alterada. Uma partícula de matéria tomará a posição da outra, mas não virá de nenhum lugar ou não irá para nenhum lugar no espaço que o ser do plano conhece.

A forma análoga de representar um sólido superior, em nosso caso, é concebê-lo como uma composição de seções, cada uma colocada um pouquinho acima, na direção desconhecida, do que a anterior.

Nós podemos representar essas seções como um número de sólidos.

Figura 10

Assim os cubos: A, B, C, D podem ser considerados como as seções em intervalos diferentes na direção desconhecida de um cubo superior. Organizados desse modo, suas qualidades em serem lógicas e consistentes, na figura mais elevada, é destruída: eles são meras representações.

Um movimento na quarta dimensão de A através de B, C, etc., será contínuo, mas só poderemos representá-lo como ocupações das posições em A, B, C, etc., e, assim, sucessivamente.

Nós podemos exibir os resultados dos movimentos em diferentes estágios, mas não mais que isso.

Na representação nós deixamos de fora a distância entre uma seção e a outra; nós consideramos o corpo superior meramente como uma série de seções, e assim deixamos de fora seu conteúdo. A única forma de exibir seu conteúdo é chamar a ajuda da concepção de movimento

Se um cubo superior passar transversalmente pelo nosso espaço, irá aparecer como um cubo isolado no espaço, a parte que ainda não veio para nosso espaço e a parte que já passou pelo nosso espaço será invisível.

Figura 11

A passagem gradual pelo nosso espaço apareceria como a mudança da matéria do cubo a nossa frente. Uma partícula da matéria sucederá a outra, nem vindo e nem indo em nenhuma direção que nós podemos apontar. Desta forma, pela duração da figura, podemos exibir a dimensionalidade mais elevada dela; um cubo de nossa matéria, sob as circunstâncias supostas, ou seja, que tem um movimento transversal ao nosso espaço, desapareceria instantaneamente. Um cubo mais elevado duraria até ter passado transversalmente por nosso espaço em sua total distância de extensão na quarta dimensão.

Como o ser do plano pode pensar que o cubo é constituído por seções, cada uma parecendo com a figura que ele conhece, se estendendo fora do seu plano, assim nós podemos pensar num sólido mais elevado sendo constituído por seções, cada uma parecendo com um sólido que conhecemos, mas se estendendo para fora de nossa dimensão.

Então, tomando um cubo mais elevado, nós podemos olhar nele como o início de um cubo em nosso espaço e estendendo na dimensão desconhecida.

Figura 12

Tome a face A e conceba-a para existir como simplesmente uma face, UM quadrado sem espessura. Desta face o cubo em nosso espaço se estendeu pela ocupação do espaço que nós podemos ver.

Mas desta face se estende igualmente um cubo para a dimensão desconhecida. Podemos pensar no cubo mais elevado, então, tomando o conjunto das seções: A, B, C, D, etc., e considerando que de cada uma delas sai um cubo.

Estes cubos não têm nada em comum um com os outros, e de cada um deles em sua posição real tudo o que podemos ter, em nosso espaço, é um quadrado isolado. É obvio que podemos pegar nossa série de seções de qualquer maneira que quisermos. Podemos pegá-las paralelamente, por exemplo, para qualquer uma das três faces isoladas mostradas na figura.

Correspondendo às três séries de seções com ângulos retos uns aos outros, com os quais podemos fazer os cubos no espaço, devemos conceber um cubo mais elevado, composto de cubos partindo dos quadrados paralelos às faces do cubo, e destes cubos tudo o que existe em nosso espaço são quadrados isolados de onde eles partem.

CAPÍTULO III – O SIGNIFICADO DE UMA EXISTÊNCIA NA QUARTA DIMENSÃO

Obtendo agora a concepção de um espaço de quatro dimensões e formando a analogia que, sem maior dificuldade geométricas, nos permite investigar suas propriedades, eu indicarei ao leitor, cujo interesse é principalmente os aspectos mecânicos, o Capítulo VI e VII. Neste Capítulo cuidaremos do significado geral da questão e no próximo da origem histórica da ideia.

Primeiro, no que diz respeito a questão de saber se existe alguma evidência de que estamos realmente em um espaço de quatro dimensões, voltarei para a analogia do mundo plano.

Um ser em um mundo plano não poderia ter nenhuma experiência de formas tridimensionais, mas ele poderia ter a experiência de movimentos tridimensionais.

Nós vimos que esta matéria tem que ter uma suposição de ter uma extensão, mesmo que ínfima, na terceira dimensão. Portanto, nas pequenas partículas de matéria, movimentos tridimensionais podem ser concebidos. Destes movimentos ele só perceberia as resultantes. Desde que todos os movimentos num mundo plano são bidimensionais, ele só perceberia as resultantes nas duas direções dos pequenos movimentos tridimensionais. Portanto, existiriam fenômenos que ele não conseguiria explicar em sua teoria sobre o mecanismo – movimentos aconteceriam que ele não conseguiria explicar com sua teoria dos movimentos. Assim, para determinar se estamos num mundo de quarta dimensão, precisamos examinar o fenômeno de movimento em nosso espaço. Se ocorrem movimentos que não são explicáveis nas suposições da nossa mecânica tridimensional, devemos ter uma indicação de um possível movimento na quarta dimensão, e, além disso, poderia ser mostrado que tais movimentos seriam   uma consequência de um mecanismo de quatro dimensões nas partículas diminutas de corpos ou de éter, e teremos uma forte presunção em favor da realidade da quarta dimensão.

Ao prosseguir numa subdivisão mais fina e mais fina, chegamos a formas de matéria possuindo propriedades diferentes do que das massas maiores. É provável que em algum estágio no processo chegaremos a uma forma de matéria de tão diminuta subdivisão que suas partículas possuam a liberdade de movimento em quatro dimensões. Esta forma de matéria, eu chamo de um éter de quatro dimensões, e o atribuas propriedades que se aproximam das de um líquido perfeito.

Adiando a discussão detalhada dessa forma de matéria do Capítulo VI, examinaremos agora o significado como um ser do plano chegaria à conclusão que existem movimentos tridimensionais em seu mundo, e explicando a analogia com a qual nós podemos concluir que existem movimentos de quarta dimensão em nosso mundo. Desde que as dimensões da matéria em seu mundo são pequenas na terceira direção, o fenômeno no qual ele detectaria o movimento seriam esses das partículas pequenas de matéria.

Suponhamos que haja um anel em seu plano. Podemos imaginar correntes que fluem em torno deste anel em qualquer uma das duas direções opostas. Isto produziria efeitos diferentes e daria origem a dois campos de influência diferentes. Se um anel com uma corrente nele em uma direção fosse levantado e virado, e colocado novamente no plano, seria idêntico ao anel tendo uma corrente na direção oposta. Uma operação desta forma seria impossível ao ser do plano. Por isto, ele teria em seu espaço dois objetos irreconciliáveis, quer dizer, dois campos de influência para dois anéis com correntes em direções opostas. Por irreconciliáveis no plano, quero dizer objetos que não podem ser transformados um no outro por qualquer movimento no plano.

Ao invés da corrente fluindo nos anéis, podemos imaginar uma forma diferente de corrente. Imagine um número de anéis pequenos amarrados no anel original. Uma corrente ao redor desses anéis secundários daria duas variedades de efeito, ou dois campos de influência, de acordo com sua direção. Essas duas variedades de corrente poderiam ser transformadas uma na outra, tirando um dos anéis, virando-o e colocando novamente no plano. Esta operação é impossível para um ser do plano, portanto, neste caso também haveria dois campos irreconciliáveis no plano. Agora, se o ser do plano encontrasse dois desses campos irreconciliáveis e pudesse provar que eles não poderiam ser explicados pelas correntes dos anéis, ele teria que admitir a existência de correntes em volta dos anéis – isto é, em anéis amarrados ao anel primário. Então ele teria que admitir a existência de um movimento tridimensional, pois essa disposição de correntes é em três dimensões.

Agora em nosso espaço existem dois campos de propriedades diferentes, que podem ser produzidos por uma corrente elétrica em um circuito fechado de anéis. Estes dois campos podem ser transformados um no outro vertendo as correntes, mas eles não podem ser mudados um no outro por qualquer virada dos anéis em nosso espaço; a disposição do campo em relação ao anel é diferente quando viramos o anel e quando revertemos a direção da corrente no anel.

Como hipótese para explicar as diferenças destes dois campos e seus efeitos nós podemos supor as seguintes formas de movimentos espaciais: Primeiro, uma corrente ao longo do condutor; segundo, a corrente em volta do condutor – isto é, de anéis de correntes encadeadas no condutor como um eixo. Nenhuma destas suposições explica os fatos de observação.

Portanto temos que fazer a suposição de um movimento de quatro dimensões. Encontramos que uma rotação de quarta dimensão da natureza, explicada em um capítulo subsequente, tem as seguintes características: Primeiro, nos daria dois campos de influência, um deles poderia ser transformado no outro levantando-se o circuito na quarta dimensão, virando-o, e colocando-o de volta em nosso espaço novamente, exatamente como os dois tipos de campos no plano poderiam ser transformados um no outro por uma inversão da corrente em nosso espaço. Segundo, envolve um fenômeno precisamente idêntico com a característica mais impressionante e misteriosa de uma corrente elétrica, a saber, que é um campo de ação, cuja borda necessariamente encosta em um limite contínuo formado por um condutor. Assim, no pressuposto de um movimento de quatro dimensões na região das minúsculas partículas de matéria, podemos esperar encontrar um movimento análoga ao da eletricidade.

Agora, um fenômeno de ocorrência tão universal como a eletricidade como a eletricidade não pode ser devido à matéria e movimento em qualquer relação muito complexa, mas deve ser visto como uma consequência simples e natural das suas propriedades. Eu infiro que a dificuldade nessa teoria é devido à tentativa de explicar um fenômeno de quatro dimensões por uma geometria tridimensional.

Em vista desta evidencia não podemos desconsiderar o   que nos oferece a simetria. A este respeito, aludirei ao modo simples de produzir imagens de insetos, às vezes praticado pelas crianças. Elas colocam algumas manchas de tinta em uma linha reta em um pedaço de papel, dobre o papel ao longo das manchas e, ao abri-lo, obtém-se a representação realista de um inseto. Se achássemos uma grande quantidade destas figuras, concluiríamos que elas se originaram de um processo de dobramento; a possibilidade contra esse tipo de reduplicação das partes é muito grande para admitir a suposição que foram formadas de qualquer outra forma.

A produção das formas simétricas de seres organizados, embora não seja claro, devido a uma virada de corpos de qualquer tamanho apreciável no espaço de quatro dimensões, pode ser imaginada como devido a uma disposição daquela forma das partículas vivas menores a partir das quais elas são constituídas. Assim, não só a eletricidade, mas a vida, e os processos pelos quais pensamos e sentimos, devem ser atribuídos a essa região de magnitude em que ocorrem movimentos de quarta dimensão.

Não quero dizer, no entanto, que a vida pode ser explicada como movimento em quatro dimensões. Parece-me que toda tendência de pensamento, que tende a explicar os fenômenos da vida e da faculdade de se usar à vontade, como devido a matéria e ao movimento, em alguma relação peculiar, é adotada muito mais para explicar essas coisas do que qualquer consideração à probabilidade.

Claro, se pudéssemos mostrar que a vida era um fenômeno de movimento, deveríamos ser capazes de explicar o grande problema que é obscuro atualmente. Mas existem duas grandes dificuldades no caminho. Seria necessário mostrar que em um germe capaz de se transformar em um ser vivo, havia modificações de estrutura capazes de determinar, no germe desenvolvido, todas as características de sua forma, e não apenas isso, mas de determinar isso em todos os descendentes de tal forma, em uma série infinita. Tal complexidade das relações mecânicas, certa e inegavelmente, não pode ser a melhor maneira de agrupar os fenômenos nessa forma prática. E outra dificuldade é esta, que nenhuma quantidade de adaptação mecânica daria esse elemento de consciência que possuímos e que é compartilhado, em um certo grau modificado, pelo mundo animal.

Nas estruturas complexas que os seres humanos constroem e dirigem, assim como um navio ou um trem ferroviário (e que, se visto por um observador de tal tamanho que o ser humano que o dirige fosse invisível, pareceria apresentar alguns dos fenômenos da vida) a aparência de animação não se deve a qualquer difusão de vida na parte material da estrutura, mas pela presença de um ser vivo.

A antiga hipótese de uma alma, um organismo vivo dentro do ser humano visível, me parece mais racional do que a tentativa de explicar a vida como uma forma de movimento. E quando consideramos a região de tamanho ínfimo, caracterizada por movimentos quadridimensionais, a dificuldade de conceber tal organismo ao lado do corpo desaparece. Lord Kelvin[1] sugere que a matéria é formada a partir do éter. Podemos muito bem supor que os organismos vivos que dirigem os materiais são coordenados com eles, não compostos de matéria, mas constituídos por corpos etéreos, e, como tal, capazes de se moverem através do éter, e capazes de originar corpos vivos através do mineral.

Hipóteses como essa não encontram base para prova ou contraprova no mundo físico. Deixe-nos, portanto, entrar em um campo diferente, e, assumindo que a alma humana é um ser de quarta dimensão, capaz de se mover em quatro dimensões, mas em sua experiência através dos sentidos é limitada em três dimensões, pergunte se a história do pensamento, das produtividades que caracterizam o ser humano, correspondem ao nosso pressuposto. Vamos revisar esses passos pelos quais o ser humano, presumivelmente um ser de quatro dimensões, apesar de seu ambiente corporal, passou a reconhecer o fato da existência de quatro dimensões.

Adiando esta indagação para outro capítulo, aqui vou recapitular o argumento para mostrar que nossa proposta é inteiramente prática e independente de qualquer consideração filosófica ou metafísica.

Se dois tiros são disparados em um alvo, e a segunda bala a atinge em um ponto diferente da primeira, nós supomos que havia alguma diferença nas condições nas quais o segundo tiro foi disparado do que as que afetaram o primeiro tiro. A força do pó, a direção do alvo, a força do vento, ou alguma condição deve ter sido diferente no segundo caso, se o curso da bala não foi exatamente igual ao do primeiro caso. Correspondendo a todas as diferenças no resultado, deve haver alguma diferença nas condições materiais antecedentes. Ao traçar esta cadeia de relações explicamos a natureza.

Mas também há outro modo de explicação que aplicamos. Se perguntarmos a causa que determinado navio foi construído, ou que determinado edifício foi erguido, poderemos investigar as mudanças nas células do cérebro da pessoa que desenhou estes projetos. Cada variação em um navio ou edifício de outro navio ou edifício é acompanhada pela variação no processo que ocorre no interior da matéria do cérebro do projetista. Mas praticamente isto seria uma tarefa muito longa.

Um modo mais eficiente de explicar a produção do navio ou edifício seria investigar os motivos, planos e os objetivos das pessoas que os construíram. Obtemos uma quantidade de conhecimento cumulativo e consistente mais facilmente nesse último modo de raciocínio.

Às vezes aplicamos uma forma e outras vezes a outra forma de explicação.

Mas devemos observar que o método de explicação baseada em objetivos, propósito, volição, sempre pressupõe um sistema mecânico no qual a volição e os objetivos funcionam. A concepção de seres humanos como disposta e agindo por motivos envolve um número de processos uniformes da natureza que podem ser modificadas, e aos quais ele pode fazer aplicações. Nas condições mecânicas de um mundo de três dimensões, o único agente volitivo com o qual podemos demonstrar é o agente humano. Mas quando consideramos o mundo de quatro dimensões as conclusões permanecem perfeitamente abertas.

O método de explicação fundado no propósito e objetivo, certamente, não começa de repente no ser humano e termina nele. Há muito mais por trás da exibição de vontade e do motivo que vemos no ser humano, como tem por trás do fenômeno do movimento; eles são coordenados, nem devem ser resolvidos pelo outro. E o início da investigação desta vontade e do motivo manifestado no campo mecânico tridimensional é na concepção de uma alma -um organismo de quatro dimensões, que expressa seu ser físico superior na simetria do corpo e dá os objetivos e motivos da existência humana.

Nossa primeira tarefa é formar um conhecimento sistemático do fenômeno do mundo de quatro dimensões e encontrar esses pontos nos quais este conhecimento deve ser chamado para completar nossa compreensão mecânica do universo.

Mas uma contribuição subsidiária para a verificação da hipótese pode ser feita passando em revisão a história do pensamento humano, e induzindo se apresenta características, como seria naturalmente esperado, com esta suposição.

CAPÍTULO IV – O PRIMEIRO CAPÍTULO NA HISTÓRIA DO ESPAÇO QUATRO

Parmênides[2] e os pensadores Asiáticos, com opiniões parecidas, propõe uma teoria da existência que está em estreita relação com a concepção de uma relação entre um espaço dimensional superior e inferior. Esta teoria, anterior e em contraste marcado com as principais linhas de pensamento, que iremos descrever depois, forma um círculo fechado por si só. É aquele que em todas as idades teve uma forte atração pelo puro intelecto, e é a forma natural de pensamento para aqueles que se abstém de projetar sua própria vontade na natureza sob o pretexto da causalidade.

De acordo com Parmênides, da Escola de Ela[3], o todo é um, imóvel e imutável. O permanente em meio ao transiente – este ponto de vista para o pensamento, este chão firme para o sentimento sobre a descoberta de que depende toda a nossa vida – não é um fantasma; é a imagem em meio à decepção do verdadeiro ser, do eterno, do imóvel, do único. Assim diz Parmênides.

Mas como explicar esta cena em mudança, essas mutações das coisas?

“Ilusão”, responde Parmênides. Ele fala sobre a verdadeira doutrina do um para distinguir entre a verdade e o erro, – a falsa opinião sobre um mundo em mudança. Ele não é menos memorável pela maneira como defende essa teoria e muito menos pela causa que a defende. É como se de sua firme resolução de ser, ele pudesse brincar com os pensamentos sob o fardo dos quais outros trabalham, pois dele brota a fluência de oposição e hipótese que forma a textura da dialética de Platão[4].

A Mente pode conceber uma figura de maior deleite intelectual do que a de Parmênides, apontando para o único, o verdadeiro, o imutável e, por outro lado, pronto para discutir toda a falsa opinião, formando também uma cosmogenia[5], falsa, “mas minha própria” depois do que estava em voga naquele tempo?

Em apoio à verdadeira opinião ele procedeu, pelo caminho negativo, mostrando a autocontradição nas ideias de mudança e movimento. É de duvidar que suas críticas, salvo em pequenos pontos, tenham sido refutadas com sucesso.

Para expressar sua doutrina na forma moderna ponderada, devemos fazer a afirmação de que o movimento é um fenômeno, não real. Vamos representar sua doutrina.

Imagine uma folha de água parada na qual um bastão inclinado está sendo abaixado pelo movimento vertical descendente.

Figura 13

Seja 1, 2 e 3 (Fig. 13), três posições consecutivas do bastão, A, B, C, que serão as três posições consecutivas do encontro do bastão com a superfície da água. Conforme o bastão for passando, o encontro se move de A para B e para C.

Suponha agora que toda a água seja removida excetuando uma camada extremamente fina de água. Nas posições de encontro do bastão com essa camada haveria uma interrupção na camada. Se supusermos que a camada tem uma propriedade, como da bolha de sabão, de se fechar em torno de um objeto penetrante, então conforme o bastão fizer seu movimento para baixo a interrupção na camada irá seguir.

Se passarmos uma espiral através da camada (figura 14), a intersecção nos dará um ponto se movendo em um círculo mostrado pelos pontos alinhados no quadrado.

Figura 14

Suponha agora que a espiral fique parada e que a camada se mova verticalmente para cima, a espiral inteira será representada na camada nos consecutivos pontos de intersecção. Na camada a evidência permanente da espiral é experimentada como uma série temporal – a gravação da passagem da espiral é um ponto se movendo em círculo. Se, agora, supomos uma consciência conectada com a camada de tal forma que a intersecção da espiral com a camada dê origem a uma experiência consciente, veremos que temos, na camada, um ponto se movendo em forma de círculo, nada sabendo da existência de uma espiral real, o registro das interações sucessivas, pelas quais passa a camada, é o movimento do ponto.

É fácil imaginar estruturas complicadas constituída a partir da espiral, estruturas feitas de filamentos, e de supor também que estas estruturas são distinguíveis uma das outras, em cada seção. Se considerarmos a intersecção destes filamentos, conforme a camada vai passando, sendo átomos de um universo formado de camadas bem finas, teremos corpos correspondentes à estrutura filamentar, e a posição destas estruturas em consideração, umas das outras, darão origem a corpos na camada se movendo um em relação ao outro. Este movimento mútuo é meramente aparente. A realidade é uma estrutura permanente e estacionária, e todos os movimentos relativos representados por um movimento constante da camada, como um todo.

Portanto podemos imaginar um mundo plano, no qual toda a variedade de movimentos é um fenômeno de estruturas consistindo de átomos filamentares atravessando o plano da consciência. Passando para quatro dimensões e nosso espaço, podemos conceber que todas as coisas e movimentos em nosso mundo são a leitura de uma realidade permanente por um espaço de consciência. Cada átomo em cada momento não é o que era, mas uma nova parte daquela linha interminável que é em si mesma. E todo esse sistema revelado sucessivamente no tempo que é senão a sucessão de consciência, separada como é em partes, na sua totalidade, uma vasta unidade.

Representando a doutrina de Parmênides assim, ganhamos um controle mais firme do que se deixarmos suas palavras descansarem, grandiosas e maciças, em nossas Mentes. E ganhamos os meios para representar as fases deste pensamento oriental do qual Parmênides não era um estranho. Modificando sua doutrina intransigente, suponhamos, para voltar ao plano da consciência e da estrutura do átomo filamentar, que estas estruturas estão se movendo – estão agindo, vivendo. Então, no movimento transverso da camada, haveria dois fenômenos de movimento, um pela leitura na camada das existências permanentes como elas são, e outro fenômeno do movimento pelas próprias coisas, pelo seu próprio movimento durante o processo de atravessá-la.

Assim um ser consciente no plano teria, por assim dizer, uma experiência dupla. No cruzamento completo da estrutura, a intersecção com a camada, na qual dá a ele consciência, os movimentos e ações principais que ele passou serão gravações de seu Eu Superior, que existe imóvel e inativo.

Pequenas modificações e derivações desses movimentos e ações representariam as atividades e autodeterminações do ser completo, de seu Eu Superior.

É admissível supor que a consciência no plano tem a participação daquele poder de usar sua própria vontade da qual a existência completa se determina. Assim, o motivo e a vontade, a iniciativa e a vida, do Ser Superior, seriam representadas, no caso do ser na camada, por uma iniciativa e uma vontade capaz, não de determinar qualquer grande coisa ou movimentos independentes em sua existência, mas apenas atividades pequenas e relativamente insignificantes. Em todas as principais características de sua vida, sua experiência seria representativa do estado do Ser Superior, cuja existência determina a sua, enquanto a camada passa. Mas em suas ações mínimas, e aparentemente sem importância, ele compartilharia daquela vontade e determinação pela qual todo o ser que ele realmente é age e vive.

Uma alteração do Ser Superior corresponderia em uma história diferente para ele. Agora vamos fazer a suposição que camada após camada atravessa esta estrutura maior, que a vida do ser real é lida em sucessivas ondas de consciência, de novo e de novo. Haveria uma sucessão de vidas nos diferentes planos avançados de consciência, cada um diferente do anterior e diferindo em virtude daquela vontade e ação que no precedente plano não foram aplicadas ao máximo e coisas aparentemente mais significativas na vida, mas no momento, também aparentemente, sem importância. Em todas as grandes coisas o ser da camada compartilha da existência do seu Eu Superior como se fosse o mesmo a qualquer tempo. Nas pequenas coisas ele compartilha naquele poder de usar sua própria vontade na qual o Ser Superior altera e muda, age e vive.

Assim ganhamos a concepção da vida mudando e desenvolvendo como um todo, a vida na qual nossa separação, cessação e fuga são meramente aparentes, mas em seus eventos e cursos, se altera, muda, desenvolve; e o poder de alterar e mudar isto tudo reside na vontade e no poder que o limitado ser tem de dirigir, orientar, alterar ele mesmo, nas mínimas coisas de sua existência.

Transferindo nossas concepções para aquela de uma existência em uma dimensionalidade superior atravessada por um espaço de consciência, temos uma ilustração de um pensamento que encontrou expressões frequentes e variadas. Quando, entretanto, perguntamos a nós mesmos qual é o grau de verdade nisto, devemos admitir, no extremo que podemos ver, é meramente simbólico.

O verdadeiro caminho na investigação de uma dimensionalidade superior reside em uma outra direção.

O significado da doutrina de Parmênides reside nisto: aqui, vezes sem conta, encontramos que essas concepções na qual o ser humano se introduz, da qual ele não deriva de um simples registro de sua experiência exterior, tem uma correspondência impressionante e significativa com a concepção de uma existência física em um Mundo de espaço superior. Quão perto chegamos do pensamento de Parmênides, nesta maneira de representação, é impossível dizer.

O que eu quero pontuar é a adequação da ilustração, não apenas para dar um modelo estático de sua doutrina, mas capaz como foi, de dar uma modificação plástica em uma correspondência em formas semelhantes. Uma das duas formas deve ser verdadeira – que a quarta dimensão dá um poder incrível da representação do pensamento do oriente, ou que os pensadores do oriente devem estar olhando para a existência de uma quarta dimensão.

Chegando agora ao fluxo principal do pensamento, devemos nos ocupar em alguns detalhes em Pitágoras[6], não pela sua relação direta ao assunto, mas pela sua relação aos investigadores que vem depois dele.

Pitágoras inventou a contagem de dois sentidos. Vamos representar a contagem unidirecional pelos pontos aa, ab, ac, ad, usando sempre pares de letras ao invés de números 1, 2, 3, 4. Coloco um “a” em cada caso inicial por uma razão que aparecerá imediatamente.

Temos uma sequência e uma ordem. Não há concepção de distância necessariamente envolvida. A diferença entre as posições é de ordem e não de distância – apenas quando identificadas com um número de coisas materiais em justaposição aparece a noção de distância.

Agora, além da série simples, eu posso ter, começando com aa, bb, cb, db, e assim por diante, e formar um esquema:

Este complexo ou múltiplo dá uma ordem bidirecional. Posso representá-lo por um conjunto de pontos, se estou disposto para não assumir qualquer relação de distância.

Pitágoras estudou essa maneira dupla de contar em referência a corpos materiais, e descobriu essa propriedade mais notável da combinação de número e assunto que tem seu nome.

A propriedade Pitagórica de um sistema material estendido pode ser exibida de uma maneira que será útil para nós depois, e que, portanto, vou empregar agora, ao invés de usar o tipo de figura que ele mesmo empregou.

Considere um campo duplo de pontos dispostos em linhas regulares. Tal campo será pressuposto no seguinte argumento.

É evidente que, na figura 16, quatro dos pontos determinam um quadrado, que podemos tomar como unidade de medida para áreas.

Figura 16

Mas também podemos medir áreas de outra forma.

A figura 16 (1) mostra quatro pontos determinando um quadrado. Mas quatro quadrados também se encontram em um ponto, figura 16 (2). Portanto um ponto no canto de um quadrado pertence igualmente a quatro quadrados.

Assim podemos dizer que o valor do ponto do quadrado mostrado é um ponto, pois se tomarmos o quadrado na figura 16 (1) ele contém quatro pontos, mas cada um desses pontos pertence igualmente a outros quatro quadrados. Portanto, um quarto de cada ponto pertence ao quadrado (1) na figura 16. Assim, o valor do ponto do quadrado é um ponto.

O resultado da contagem dos pontos é o mesmo que chegou ao compilar as unidades quadradas fechadas.

Assim, se desejamos mensurar a área de cada quadrado podemos tomar o número de pontos que estão dentro do quadrado, contando-os como um ponto cada, e pegar um quarto de número de pontos em seus cantos.

Agora desenhe um quadrado diagonal como mostrado na figura 17.

Figura 17

Dentro dele há um ponto e os quatro cantos contam um ponto a mais; assim seu valor de ponto é 2. O valor é a medida de sua área – o comprimento deste quadrado é dois do dos quadrados unitários.

Olhando agora para os lados desta figura vemos que há uma unidade quadrada em cada um deles – os dois quadrados não contêm pontos, mas tem os quatro pontos de canto cada, o que dá o valor do ponto de cada como um ponto.

Assim vemos que o quadrado da diagonal é igual ao quadrado dos dois lados; ou como é geralmente expresso: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados.

Percebendo este fato podemos prosseguir para perguntar se isso é sempre verdade. Desenhando o quadrado mostrado na fig. 18, podemos contar o número de seus pontos.

Figura 18

São cinco pontos no total. Há quatro pontos dentro do quadrado na diagonal, e assim, com os quatro pontos de seus cantos o valor do ponto é 5 – isto é, a área é 5. Agora os quadrados nos lados são respectivamente de área 4 e 1. Por isso, neste caso, também o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados dos lados. Esta propriedade da matéria é uma das primeiras grandes descobertas da matemática aplicada. Vamos provar depois que não é uma propriedade do espaço. Por agora, basta observar que as posições que as posições em que os pontos estão organizados é inteiramente experimental.

É por meio de partes iguais de qualquer material, ou as mesmas partes de material movidas de um lugar a outro, que os pontos estão arranjados.

Pitágoras depois perguntou qual deve ser a relação para que o quadrado desenhado no sentido inclinado seja igual a um não inclinado. Ele descobriu que um quadrado, cujo lado é cinco, pode ser colocado ou de retangularmente ao longo das linhas de pontos, ou em posição inclinada. E este quadrado é equivalente a dois quadrados de lados 4 e 3.

Aqui ele encontrou uma relação numérica incorporada em uma propriedade da matéria. Os números imanentes nos objetos produzem a igualdade de uma maneira muito satisfatória para compreensão intelectual.

E ele descobriu que os números quando imanentes no som – quando as cordas de um instrumento musical recebiam certas proporções de comprimento – não eram menos cativantes para o ouvido do que a igualdade de quadrados era para a razão. Que maravilha que ele atribuiu um poder ativo para os números.

Devemos lembrar que, compartilhando como nós mesmos a busca do permanente em fenômenos mutantes, os gregos não têm essa concepção do permanente na matéria que nós temos. Para eles as coisas materiais não eram permanentes. No fogo, coisas sólidas desapareceriam; desapareceriam absolutamente. A pedra e a terra tinham uma existência mais estável, mas eles também cresciam e se deterioravam. A permanência da matéria, a conservação da energia, era desconhecida para eles.  E essa distinção que desenhamos tão facilmente entre coisas fugazes e permanentes da sensação, entre o som e o objeto material, por exemplo, não tem o mesmo significado para eles do que tem para nós.

Imagine, por um momento, que as coisas materiais são fugazes, desaparecendo, e devemos entrar com uma apreciação muito melhor pela busca do permanente que, com os gregos, assim como conosco, é a demanda intelectual primária.

O que é aquilo, que em meio a umas mil formas permanece o mesmo, que podemos reconhecer sob todas suas vicissitudes, dos quais os diversos fenômenos são as aparências?

Pensar que isso é número não está tão distante de ser isso. Com uma apreensão intelectual que afastou as evidências para sua aplicação, os atomistas afirmaram que havia partículas materiais eternas, que, por sua união, produziam todas as variedades de formas e estados dos corpos. Mas, em vista dos fatos observados na natureza, como se sabe, Aristóteles[7] se recusou a aceitar esta hipótese.

Ele afirma, expressamente, que existe uma mudança de qualidade, e que a mudança devido ao movimento é apenas um dos possíveis modos de mudança. Sem um mundo material permanente sobre nós, com o fugaz, o não permanente, ao nosso redor, nós devemos, eu penso, estar preparados para seguir Pitágoras em sua identificação dos números com esse princípio que subsiste em meio a todas as mudanças, que em formas multitudinárias nós apreendemos, inerentemente, na mudança e no desaparecimento das coisas.

E do idealismo numérico de Pitágoras há apenas um passo para o idealismo mais rico e completo de Platão.

O que é apreendido pelo sentido do toque, nós definimos como primário e real, e os outros sentidos dizemos que são meramente preocupados com as aparências. Mas Platão as tomou todas como válidas, dando qualidades de existência. Que as qualidades não eram permanentes no mundo, dado que os sentidos o forçavam a atribuir outro tipo de permanência. Ele formou a concepção de um mundo das ideias, na qual tudo o que é real, tudo o que nos afeta e nos dá a riqueza e a saúde maravilhosa de nossa experiência, não é passageiro e transitório, mas eterno.

E desse real e eterno vemos nas coisas sobre nós as imagens fugazes e transitórias.

E esse mundo de ideias não era exclusivo, onde não havia lugar para as convicções mais íntimas da alma e suas mais autorizadas afirmações. Ali existia a justiça, beleza – o único, o bem, tudo o que a alma exigia ser. O mundo das ideias, a maravilhosa criação de Platão criada para o ser humano, para sua investigação deliberada e seu real desenvolvimento, para tudo o que as incômodas mudanças incompreensíveis de uma experiência áspera dispersa e destrói.

Platão acreditava na realidade das ideias. Ele nos encontra de forma justa e honesta. Divida uma linha em duas partes, ele diz: uma para representar os objetos reais no mundo, a outra para representar as aparências transitórias, assim como a imagem em água parada, o brilho do sol em uma superfície brilhante, a sombra das nuvens.

Pegue outra linha e a divida em duas partes, uma representando nossas ideias, as ocupações ordinárias de nossa Mente, assim como a brancura, a igualdade e a outra representando nosso verdadeiro conhecimento, que é de princípios eternos, assim como beleza, bondade.

Então assim como A está para B, também A¹ está para B¹. Isto é, a alma pode prosseguir, se afastando das coisas reais para uma região da perfeita convicção, onde contempla o que é, não o que brilha no reflexo; contempla o sol, não o brilho na areia; ser verdadeiro, não a opinião casual.

Agora, isso é para nós, assim como era para Aristóteles, absolutamente inconcebível de um ponto de vista científico. Nós podemos entender que um ser é conhecido na plenitude de suas relações; é em suas relações com as circunstâncias que o caráter do ser humano é conhecido; é nos seus atos sob essas circunstâncias que seu caráter existe. Não podemos entender nem conceber qualquer princípio de individuação além da plenitude das relações com arredores entorno.

Agora suponha que Platão está falando sobre o ser humano superior – o ser da quarta dimensão que é limitado em nossa experiência externa por um mundo tridimensional. Não é para suas palavras fazerem um sentido nisso? Um ser assim teria a consciência do movimento que não é o movimento que ele pode ver com seus olhos do Corpo. Ele, em seu próprio ser, conhece uma realidade para a qual a matéria externa dessa terra tão sólida é superficialidade frágil. Ele também conhece um modo de ser, a completude das relações, na qual só pode ser representada no limitado mundo dos sentidos, como o pintor retrata infundadamente a profundeza das florestas, das planícies e do ar. Pensando em tal ser no ser humano, a linha de Platão não era bem dividida?

Vale ressaltar que, se Platão omitisse sua doutrina da origem independente das ideias, ele poderia apresentar exatamente os argumentos da quarta dimensão; a coisa real como pensamos é uma ideia. A ideia do ser do plano de um objeto quadrado é a ideia de uma abstração, ou seja, um quadrado geométrico.

Da mesma forma, nossa ideia de uma coisa sólida é uma abstração, pois em nossa ideia não há a espessura de uma quarta dimensão que é necessária, por menor que seja, para dar realidade. O argumento seria então executado, como uma sombra é para um objeto sólido, assim é o objeto sólido para a realidade. Assim, A e B seriam identificados.

Na alegoria que eu já aludi, Platão, em suas próprias palavras, mostra a relação entre a existência em uma superfície e num espaço sólido. E ele usa esta relação para apontar as condições de um ser superior.

Ele imagina um número de seres humanos presos, acorrentados para que olhem para um muro de uma caverna na qual estão confinados, com suas costas para a estrada e a luz.

Ao longo da estrada passam homens e mulheres, figuras e procissões, mas de todo esse desfile tudo o que os prisioneiros contemplam é a sombra disso na parede para a qual olham.

Suas próprias sombras e as sombras de todas as coisas do mundo são tudo que eles veem, e identificando, eles mesmos, com suas sombras relacionadas como sombras para um mundo de sombras, eles vivem em um tipo de sonho.

Platão imagina um deles saindo de seu meio para o mundo real, e depois retornando para contar-lhes suas condições.

Aqui ele apresenta mais claramente a relação entre a existência em um mundo plano e a existência do mundo tridimensional. E ele usa esta ilustração como um tipo da maneira que devemos proceder para um estado superior da vida tridimensional que conhecemos.

Deve ter perdurado sobre o peso de uma sombra qual caminho ele tomou! – Se quisermos devemos seguir em direção ao sólido mais elevado e a existência de quatro dimensões, ou aquele que faz das ideias as realidades maiores, e a percepção direta daqueles que contatam o mundo mais verdadeiro.

Passando para Aristóteles, abordaremos os pontos que mais se referem imediatamente ao nosso questionamento.

Assim como um cientista atual, ao analisar as especulações do mundo antigo, os trataria com uma curiosidade meio divertida, mas totalmente respeitosa, perguntando sobre tudo e todos os que estão relacionados ao fato, assim Aristóteles, em relação à filosofia da Grécia da forma como encontrou, pergunta, acima de todas as coisas:

‘Isto representa o Mundo? Neste sistema há uma representação adequada do que é?’.

Ele encontra defeitos em todos, alguns pela razão que consideramos as mais importantes, como quando ele critica a Teoria Atômica pela sua redução a todas as mudanças ao movimento.

Mas na alta marcha de sua razão ele nunca perde os sinais do todo; e naquilo que nossas visões diferem das suas não está exatamente na superioridade de nosso ponto de vista, como no fato que ele mesmo enuncia – que é impossível para que um princípio seja válido em todos os ramos da indagação. As concepções de um método de investigação não são as de outro; e nossas divergências estão em nossa exclusiva atenção às concepções úteis de uma forma de apreender a natureza, e não de qualquer possibilidade de encontrar em nossas teorias de dar uma visão de toda a transcendência de Aristóteles.

Ele considera tudo; ele não separa a matéria e a manifestação da matéria; ele dispara tudo junto na concepção de um vasto processo mundial no qual tudo faz parte – o movimento de um grão de pó, o desdobramento de uma folha, o movimento ordenado das esferas no céu – tudo são partes do todo que ele não quer separar em matéria morta e modificações acidentais.

E assim como em nossas teorias, as representações da atualidade, caem diante de sua compreensão de fato inigualável, assim a doutrina das ideias falhou. Não é um relato adequado da existência, como Platão mesmo mostrou em seu “Parmênides”, isto só explica as coisas colocando seu lado duplo ao lado delas.

Por sua própria parte Aristóteles inventou uma grande definição que, com uma espécie de poder próprio, abrange o caminho do fenômeno para conceitos limitantes de qualquer opinião, para à existência que todas as experiências apontam.

Na definição de Aristóteles sobre a matéria e a forma como constituinte da realidade, como na visão mística de Platão do reino das ideias, a existência de uma dimensão mais elevada está implicitamente envolvida.

Substância, de acordo com Aristóteles, é relativa, não absoluta.

Em tudo que há está a matéria pela qual é composta, a forma que exibe; mas esses estão indissoluvelmente conectadas e nenhuma delas pode ser pensada sem a outra.

Os blocos de pedra dos quais uma casa é construída são o material do construtor; mas no que diz respeito ao pedreiro, eles são a questão da pedra com a forma que ele impôs a elas. Palavras são o produto final do gramático, mas são mera substância para o orador ou poeta.

O átomo é, conosco, aquilo da qual as substâncias químicas são feitas, mas olhando de outro ponto de vista é o resultado de processos complexos.

Em nenhum lugar encontramos a finalidade. A matéria em uma esfera é a matéria, adicionada da forma, de outra esfera de pensamento.

Fazendo uma aplicação óbvia para a geometria, existem figuras planas como a limitação de diferentes porções do plano de uma a outra. Nas linhas determinadoras a questão separada dos planos mostra sua determinação em forma.

E como o plano é a questão relativamente a determinações no plano, assim o plano existe em virtude da determinação do espaço. Um plano é aquele em que o espaço sem forma tem uma forma sobreposta, e dá uma realidade de relações reais. Não podemos recusar de levar esse processo de raciocínio um passo à frente, e dizer que o espaço em si é o que dá forma ao espaço superior. Assim como uma linha é a determinação do plano, e o plano do sólido, assim o espaço sólido em si é a determinação do espaço superior.

Como uma linha por si só é inconcebível sem o plano que separa, assim o plano é inconcebível sem os sólidos que o limita em ambos os lados. E assim o próprio espaço não pode ser positivamente definido. É a negação da possibilidade de movimento em mais do que três dimensões. A concepção de espaço demanda àquela do espaço superior. Como uma superfície é fina e matematicamente sem a substância da qual é a superfície, assim a matéria em si é fina sem a matéria superior.

Assim como Aristóteles inventou o método algébrico de representar quantidades desconhecidas com meros símbolos, não necessariamente com linhas determinadas em comprimento, como era o hábito dos geométricos gregos, e assim saiu do caminho destas objetivações e pensamentos que, parecendo máquinas independentes de raciocínio, abastecem o matemático com as armas analíticas, assim na formulação da doutrina da matéria e da forma, de potencialidade e atualidade, da relatividade da substância, ele produziu uma outra forma de objetivações da Mente – uma definição que tem a força vital e uma atividade por si só.

Em nenhum de seus escritos, até onde sabemos, ele levou isto à conclusão legítima do lado da matéria, mas em direção das qualidades formais ele foi levado à sua concepção limitada daquela existência da forma pura que está além de toda a determinação conhecida da matéria. O motor imóvel de todas as coisas é o princípio supremo de Aristóteles. Nesta direção, para participar de sua perfeição, todas as coisas se movem. O Universo, de acordo com Aristóteles, é um processo ativo – ele não adota a concepção ilógica que um dia foi colocada em movimento e continua assim desde então.

Há espaço para atividade, vontade, autodeterminação, no sistema de Aristóteles, e para o contingente e acidental também. Nós não o seguimos, porque estamos acostumados a encontrar na natureza infinitas séries, e não nos sentimos obrigados a transmitir uma crença nos últimos limites para os quais eles parecem apontar.

Mas além do impulso até o limite, como um princípio relativo, esta doutrina de Aristóteles quanto à relatividade da substância é irrefragável em sua lógica. Ele foi o primeiro a mostrar a necessidade deste caminho de pensamento, que quando seguido, leva a uma crença de um espaço de quarta dimensão.

Antagonista como era a Platão em sua concepção de uma relação prática das razões do mundo dos fenômenos, ainda assim em um ponto eles coincidiam.

E nisto ele mostrou a sinceridade de seu intelecto. Ele estava mais ansioso em nada perder ao invés de explicar o tudo.

E aquilo em que muitos detectaram uma inconsistência, uma inabilidade em se libertar da escola de Platão, nos aparece em conexão com nosso inquérito como uma instância da agudeza de sua observação. Para além de todo o conhecimento dado pelos sentidos, Aristóteles reconheceu que existe uma inteligência ativa, uma Mente não como um recipiente passivo de impressões do exterior, mas um ser ativo e originário, capaz de compreender o conhecimento em primeira mão. Na alma ativa, Aristóteles reconhece alguma coisa no ser humano que não é produzida pelo seu meio exterior, algo que cria, cuja atividade é conhecimento perpassado do sentido. Isso, ele diz, é o imortal e eterno no ser humano.

Portanto vemos que Aristóteles não estava longe do reconhecimento da existência da quarta dimensão, tanto fora como dentro do ser humano, e o processo de realizar adequadamente as figuras dimensionais superiores a que devemos vir posteriormente é uma simples redução para a prática de sua hipótese de uma alma.

O próximo passo do desdobramento no drama do reconhecimento da alma relacionada com a concepção científica do mundo, e, ao mesmo tempo, o reconhecimento daquele superior que um mundo tridimensional apresenta a aparência superficial, se consolidou vários séculos mais tarde. Se passamos o tempo intermediário sem uma palavra é porque a alma estava ocupada com a afirmação de si mesma ou outras maneiras além do que o conhecimento.

Quando tomou a tarefa de conhecer este mundo material em que se encontrou, e de desviar o curso da natureza inanimada, e veio esse objetivo maior, refletiu de volta como um espelho, este conhecimento dele mesmo.

CAPÍTULO V – O SEGUNDO CAPÍTULO NA HISTÓRIA DA QUARTA DIMENSÃO: LOBATCHEWSKY, BOLYAI E GAUSS

Antes de entrar em uma descrição do mundo de Lobatchewsky[8] e Bolyai[9] não será demais dar uma breve descrição deles, os materiais nos quais se pode encontrar um artigo de Franz Schmidt no volume quarenta e dois de Mathematische Annalen, e na edição em inglês de Lobatchewsky.

Lobatchewsky foi um homem dos mais completos e de maravilhosos talentos. Quando jovem era cheio de vivacidade, carregando sua exuberância tão longe que caiu em sérios problemas por judiar de um professor e por outras extravagâncias. Salvo pelos bons ofícios do matemático Bartels[10], que apreciava suas habilidades, ele conseguiu se segurar dentro dos limites da prudência. Professor designado em sua própria Universidade, Kasan, ele cumpria com seus deveres sob um regime reacionário pietista[11], que se cercou de bajuladores e hipócritas. Estimando, provavelmente, os interesses de seus alunos como superiores a qualquer tentativa de uma vã resistência, ele se tornou um tirano, dando uma incrível quantidade de aulas e desempenhando os mais variados deveres oficiais. Apesar de todas as suas atividades ele encontrou tempo para fazer importantes contribuições para a ciência. Sua teoria dos paralelos é muito ligada ao seu nome, mas um estudo de seus escritos mostra que ele foi um homem capaz de seguir a matemática em suas principais linhas de avanço, e com um julgamento igual para discernir o que eram estas linhas.

Apontado como reitor da Universidade, ele faleceu com idade avançada, cercado de amigos, honrado com os resultados de suas atividades beneficentes por toda a sua volta. Para ele nenhum assunto era menor, desde os fundamentos da geometria até o melhoramento dos fogões com os quais os camponeses aqueciam suas casas.

Ele nasceu em 1793. Seu trabalho científico ficou desconhecido até que, em 1867, Houel[12], o matemático francês, chamou a atenção à sua importância.

Johann Bolyai de Bolyai nasceu em Klausenburg, uma cidade na Transilvânia, em 18 de dezembro de 1802. Seu pai, Wolfgang Bolyai, um professor do Colégio Reformista de Maross Vasarhely, manteve o ardor dos estudos matemáticos, o que fez com que ele fosse escolhido como companheiro de Gauss[13] em seus dias como estudantes em Göttingen.

Ele encontrou um aluno ansioso em Johann. Ele conta que o garoto pulava em sua frente como um demônio. Assim que ele enunciava um problema o garoto lhe dava a solução e queria sempre mais. Como um rapaz de treze anos seu pai, às vezes, o mandava para substituir seu lugar quando ele não podia dar aulas. Os alunos ouviam a ele com mais atenção do que seu pai, pois achavam que ele era mais claro nas suas explanações.

Numa carta para Gauss, Wolfgang Bolyai escreve – “Meu menino é de constituição forte. Ele aprendeu a reconhecer muitas constelações e as figuras ordinárias da geometria. Ele faz aplicações de suas anotações, desenhando, por exemplo, as posições das estrelas com suas constelações. No último inverno, no campo, vendo Júpiter ele perguntou: ‘Como é que podemos vê-lo aqui tão bem quanto na cidade? Ele deve estar bem longe de nós”. E para três lugares diferentes para os quais ele havia ido ele me pediu para contar a ele em uma palavra. Eu não sabia do que ele estava falando, e então ele me perguntou se uma estava alinhada com a outra e todas em uma reta, ou se eram um triângulo.

“Ele gosta de cortar figuras de papel com uma tesoura, e sem eu ter dito a ele sobre triângulos ele percebeu que o triângulo reto que ele havia cortado era a metade de um retângulo. Eu exercitei seu corpo com cuidado, ele consegue cavar bem na terra com suas pequenas mãos. A flor pode cair e não há frutos. Quando ele completar quinze eu quero mandar ele para você para que seja seu aluno”.

Em sua autobiografia Johann diz: “Meu pai chamou minha atenção para as imperfeições e lacunas na teoria dos paralelos. Ele me falou que ele conseguiu resultados mais satisfatórios que seus predecessores, mas não obteve conclusões perfeitas ou satisfatórias. Nenhuma de suas premissas tinha o grau necessário de certeza geométrica, embora bastassem para provar o décimo primeiro axioma e aparentavam aceitáveis da primeira vez”.

Ele me implorou, ansiosamente e não sem razão, para me manter distante e evitar todas as investigações neste assunto, se eu não desejasse viver a vida inteira em vão”.

Johann, perante o fracasso de seu pai em obter qualquer resposta de Gauss, em resposta a uma carta na qual ele pede ao grande matemático para fazer de seu filho “um discípulo da verdade em uma terra distante”, entrou na Escola de Engenharia de Viena. Ele escreve de Temesvar, onde foi nomeado subtenente em 1823: “Temesvar, 3 de novembro de 1923.

“Querido Bom Pai, tenho muito a escrever sobre a minha descoberta que não tenho outra forma de verificar senão escrevendo em uma folha de papel. Eu quero uma resposta a minha carta de quatro folhas”.

“Estou irredutível em minha determinação de publicar um trabalho sobre Paralelos, assim que colocar meus materiais em ordem e tiver recursos’.

“No momento presente ainda não fiz descoberta alguma, mas o caminho que tenho seguido quase certamente me promete a realização do meu objetivo, se houver alguma possibilidade de existir”.

‘Ainda não alcancei meu objetivo, mas ponderei coisas tão estupendas que estava dominado por mim mesmo e seria uma vergonha eterna se fossem perdidos.

Quando você os visualizar se sentirá da mesma forma. Agora só posso dizer que fiz um mundo novo do nada. Tudo o que te mandei antes é uma casa de cartas em comparação à torre. Estou convencido de que não será menos para a minha honra do que se já tivesse descoberto’.

A descoberta que Johann aqui fala foi publicada como um apêndice ao Tentamento de Wolfgang Bolyai.

Ao enviar o livro para Gauss, Wolfgang escreve, após uma interrupção de dezoito anos em sua correspondência: “Meu filho é primeiro tenente dos Engenheiros e logo será Capitão. Ele é um bom jovem, um bom tocador de violino, um esgrimista hábil, e corajoso, mas já teve muitos duelos, e é distinto mesmo para um soldado. No entanto ele é notável – luz na escuridão e escuridão na luz. Ele é um matemático apaixonado com capacidades extraordinárias … Ele pensará mais no julgamento sobre seu trabalho do que toda a Europa.”

Do seu livro ele recebeu a seguinte resposta: “Você me regozijou, meu querido e inesquecível amigo, com suas cartas. Demorei para responder a primeira porque esperei a chegada do livro prometido”.

“Agora alguma coisa sobre o trabalho do seu filho”. “Se eu começar dizendo que ‘eu não devo louvar’ você ficará cambaleando por um momento. Mas não posso dizer nada diferente. Louvar é louvar-me a mim mesmo, pelo caminho que seu filho invadiu e os resultados aos quais ele foi levado são quase exatamente os mesmos de minhas reflexões, alguns dos quais datam de trinta a trinta e cinco anos atrás”.

“Na verdade, estou maravilhado ao extremo. Eu achava que nada fosse conhecido sobre meu trabalho durante minha vida, já que pouco é dedicado à escrita. A maioria das pessoas tem pouca percepção do problema, e encontrei muito poucos que tivessem interesse nas opiniões que eu lhes expressei. Para ser capaz de fazer isto primeiramente deveria ter uma vida real sentindo pelo que se deseja, e para tanto a maioria das pessoas está em completa escuridão”.

“Ainda assim era a minha intenção em comprometer tudo para escrever no correr do tempo, para que ao menos não perecesse comigo”.

“Estou profundamente surpreso que esta tarefa me será poupada, e estou acima de tudo feliz neste que é o filho do meu velho amigo que de uma forma tão marcante me precedeu”.

A impressão que recebemos do inexplicável silêncio de Gauss para com seu velho amigo é resolvida por esta carta. Assim ficamos aliviados. Gauss não falhou ao perceber a significância vasta de seus pensamentos, com certeza de ser maior em seus efeitos nas eras futuras com a falta de compreensão no presente. No entanto, não há uma palavra ou sinal em sua escrita de reivindicar os pensamentos para ele mesmo.

Ele não publicou uma simples linha neste assunto. Pela forma como ele silenciosamente abandona essa medida de pensamento transformador, nós podemos apreciar sua grandeza.

É um longo passo da serenidade de Gauss para a vida perturbada e apaixonada de Johann Bolyai – ele e Gauss, as duas figuras mais interessantes na história da matemática.

Para Bolyai, o soldado selvagem, o duelador, não estava de acordo com o mundo. É relatado sobre ele que foi desafiado por treze oficiais de sua guarnição, uma coisa que não é provável que aconteça considerando quão diferente ele pensava de todos os outros. Ele lutou com todos eles em sucessão – sendo a única condição dele que pudesse tocar seu violino no intervalo de cada oponente. Ele desarmou ou feriu todos os seus antagonistas.

Facilmente pode-se imaginar que um temperamento como o dele não era agradável aos seus superiores militares. Ele foi aposentado em 1833.

Sua descoberta épica não despertou atenção. Ele parece ter concebido a ideia de que seu pai o traiu de uma forma inexplicável em sua comunicação com Gauss, e ele desafiou o excelente Wolfgang para um duelo. Ele passou sua vida em pobreza, muitas vezes, diz sua biografia, procurando arrebatar-se da dissipação e se dedicar novamente à matemática. Mas seus esforços não tiveram resultado. Ele faleceu no dia 27 de janeiro de 1860, falhando com o mundo e consigo mesmo.

As teorias que estão geralmente conectadas com os nomes de Lobatchewsky e Bolyai guardam uma relação curiosa e singular quando o assunto é espaço superior.

Para demonstrar esta relação, devo pedir ao leitor para contar, cuidadosamente, o conjunto de pontos com a qual irei estimar o volume de certas Figuras.

Nenhum processo matemático, além de simplesmente contar, será necessário.

Suponhamos que temos a nossa frente, como na Figura 19, um plano coberto com pontos em um intervalo regular, colocados de tal forma que cada quatro determinam um quadrado.

Figura 19

Agora é evidente que se cada quatro pontos determinam um quadrado, então quatro quadrados se encontram em um ponto.

Assim, considerando um ponto interno do quadrado como contido nele, nós podemos dizer que um ponto no canto do quadrado pertence a este e também a quatro outros de forma igual: pertencendo, um quarto deste, a cada quadrado.

Figura 20

Assim o quadrado ACDE (Figura 21) contém um ponto, e tem quatro pontos nos quatro cantos. Sendo que um quarto de cada um dos quatro pertence ao quadrado, os quatro pontos juntos contam como um ponto, e o ponto valor do quadrado é de dois pontos – o ponto interior e os quatro dos cantos formam dois pontos pertencentes a ele exclusivamente.

Figura 21                                           Figura 22

Agora a área desse quadrado é de duas unidades de quadrado, como podemos ver desenhando duas diagonais na Figura 22.

Também notamos que o quadrado em questão é igual à soma dos quadrados dos lados AB, BC, do triângulo retângulo ABC.

Assim reconhecemos a proposição que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados do triângulo retângulo.

Agora suponha que façamos, a nós mesmos, a pergunta de determinar o paradeiro no sistema ordenado de pontos, o fim de uma linha viria quando ela virava em um ponto, mantendo uma extremidade fixa no ponto.

Podemos resolver este problema num caso particular. Se pudermos encontrar um quadrado repousando, entre os pontos, que é igual a um que esteja regularmente, podemos saber que os dois lados são iguais e que o lado inclinado é igual ao lado direto. Portanto o volume e a forma de uma figura que permanece inalterada será o teste se ela for rotacionada sobre um ponto, e que, com isso, podemos dizer que seu lado, na primeira posição, se transformaria no lado em sua segunda posição.

Agora, um quadrado assim pode ser encontrado naquele cujo lado é cinco unidades de comprimento.

Figura 23

Na Figura 23, no quadrado de AB, temos:

9 pontos no interior ………………………  9

4 pontos nos cantos ………………………  1

4 lados com 3 pontos cada,

considerando como 1 ½ de cada lado,

porque pertencem igualmente

a dois quadrados ………………………….   6

O total é 16.

Temos 9 pontos no quadrado em BC.

No quadrado em AC temos:

24 pontos no interior ……………. 24

4 pontos nos cantos ……………..   1

Ou 25 pontos no total.

Assim vemos novamente que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados.

Agora tome o quadrado AFHG, que é mais largo do que o quadrado AB. Ele contém 25 pontos.

16 no interior ……………..  16

16 nos lados, valendo ….    8

4 nos cantos ……………….    1

Totalizando 25.

Se dois quadrados são iguais nós concluímos que os lados são iguais. Assim, a linha AF girando em torno de A irá mover de tal forma que num momento irá coincidir com AC.

Isso é preliminar, mas envolve todas as dificuldades matemáticas que irão se apresentar por si mesmas.

Há duas alternações em um corpo cujo volume não foi alterado.

Um é o que nós temos considerado, a rotação, o outro é o que chamamos de cisalhamento.

Considere um livro, ou um monte de páginas soltas. Elas podem ser deslizadas de tal forma que cada uma deslize sobre a anterior e o todo assuma a forma b da Figura 24.

Figura 24

Essa deformação não é cortada sozinha, mas é acompanhada da rotação.

O corte pode ser considerado como sido produzido de outra forma.

Tome o quadrado ABCD (Figura 25), e suponha que seja puxada para fora pelas diagonais em ambos os lados e, proporcionalmente, comprimido pela outra diagonal.

Figura 25

Irá assumir a forma da Figura 26.

Figura 26

Esta compressão e expansão, ao longo de duas linhas de ângulos retos, é chamado cisalhamento; é equivalente ao deslizamento ilustrado acima, combinado com uma virada.

No cisalhamento puro um corpo é comprimido e estendido em duas direções de ângulos retos, de tal forma que o volume continue inalterado.

Agora nós sabemos que corpos materiais resistem ao cisalhamento – cisalhamento violenta o arranjo interno das suas partículas, mas elas viram como um todo sem tal resistência interna.

Mas existe uma exceção. Em um líquido, cisalhamento e rotação ocorrem de forma igualmente fácil, não há resistência em relação à cisalhamento quanto há em relação à rotação.

Agora, suponha que todos os corpos sejam reduzidos ao estado líquido, no qual irão cisalhar e rotacionar igual e facilmente, e que então foram reconstruídos como sólidos, mas de uma forma que o cisalhamento e a rotação trocaram de lugar.

Ou seja, suponhamos que quando se tornarem sólidos, novamente, haveria cisalhamento sem resistência, mas a rotação iria violentar seu arranjo interno.

Isto é, nós teríamos um mundo no qual o cisalhamento tomaria o lugar da rotação.

Um cisalhamento não altera o volume do corpo: um habitante de um Mundo assim olharia para um corpo cisalhado como nós olhamos para um corpo rotacionado. Ele diria que tem a mesma forma, apenas um pouco virado.

Imaginemos um Pitágoras, neste Mundo, fazendo investigações, como não seria.

A Figura 27 representa um quadrado não cisalhado.

Figura 27

A Figura 28 representa um quadrado cisalhado.

Figura 28

Não é a figura na qual o quadrado na Figura 27 se transformaria, mas o resultado do cisalhamento de um quadrado não desenhado. É uma figura simples, inclinada, colocada agora como nós fazemos um cisalhamento de um quadrado qualquer. Agora, uma vez que os corpos deste Mundo de cisalhamento não oferecem resistência ao cisalhar, e mantêm seu volume quando cisalhados, um habitante acostumado a eles não consideraria que tivessem alterado sua forma ao cisalhar. Ele chamaria ACDE como quadrado tanto quanto o quadrado da Figura 27. Nós chamaremos estas formas de: quadrados cisalhados. Contando os pontos em ACDE, encontraremos:

2 internos = 2

4 nos cantos = 1

Totalizando 3.

Agora, o quadrado no lado AB tem 4 pontos, do lado BC tem 1 ponto. Aqui o quadrado cisalhado na hipotenusa não tem 5 pontos, mas 3; não é a soma dos quadrados dos lados, mas a diferença.

Esta relação sempre se mantém. Veja a Figura 29.

Figura 29

Quadrado cisalhado na hipotenusa:

7 internos ………….. 7

4 cantos …………….  1

Total ………………..   8

Quadrado no lado – que o leitor pode desenhar por ele mesmo:

4 internos ……. 4

8 nos lados ….. 4

4 nos cantos …  1

Total …………..  9

E o quadrado do outro lado é 1. Assim, neste caso novamente a diferença é igual ao quadrado cisalhado na hipotenusa, 9 – 1 = 8.

Portanto no Mundo cisalhado o quadrado da hipotenusa será igual à diferença entre os quadrados dos lados de um triângulo retângulo.

Na Figura 29 bis um outro quadrado cisalhado é desenhado no qual a relação acima pode ser testada.

Figura 29 bis

Qual seria agora a posição de uma linha virada pelo cisalhamento?

Devemos colocar isso da mesma forma que previamente fizemos com nossa girada.

Sendo que o corpo cisalhado permanece o mesmo, devemos encontrar dois corpos iguais, um da forma direta, um da forma cisalhada, que contenham o mesmo volume. Então o lado de um se tornará o lado do outro, porque as duas figuras são cada uma das quais no que a outra se torna quando cisalhada.

Podemos resolver o problema num caso particular.

Figura 30

Na Figura ACDE (Figura 30) temos:

15 internos ……… 15

4 cantos …………..   1

Totalizando …….. 16

Agora no quadrado ABGF temos 16:

9 internos …….  9

12 na lateral …  6

4 cantos ………   1

Totalizando …  16

Assim o quadrado de AB, quando cisalhado, se tornaria o quadrado cisalhado ABDE.

E assim o habitante desse Mundo diria que a linha AB se tornou a linha AC. Estas duas linhas seriam, para ele, duas linhas de igual comprimento, uma virou um pouco da outra.

Isto é, colocando cisalhamento no lugar de rotação, teremos uma figura diferente, como resultado do cisalhamento, do que teríamos de nossa rotação ordinária. Como consequência teremos uma posição para o fim da linha de comprimento invariável, quando virada pelo cisalhamento, diferente da posição que assumiríamos virando pela rotação.

Uma haste de material no Mundo cisalhado, se virado sobre A, passaria da posição AB para a posição AC.

Diríamos que o comprimento alteraria quando se tornasse AC, mas esta transformação de AB pareceria para um habitante do Mundo cisalhado como se fosse AB, sem alterar seu comprimento.

Se agora supormos uma comunicação de ideias que se daria entre um de nós e um habitante do Mundo cisalhado, iria evidentemente ter uma diferença entre seus pontos de vista sobre distância e os nossos.

Nós diríamos que a linha AB aumentou de comprimento ao se tornar AC. Ele diria que nossa linha AF (Figura 23) diminuiu de tamanho ao se tornar AC. Ele pensaria que aquilo que chamamos de linha igual, na realidade, seria uma mais curta.

Nós diríamos que uma virada real teria suas extremidades em posições que chamamos de distâncias iguais. Assim ele também – mas a posição seria diferente. Ele poderia, como nós, apelar para as proporções da matéria. Sua haste, para ele, altera tão pouco quanto a nossa para nós.

Agora, existe algum padrão para o qual podemos apelar, para dizer qual dos dois está correto em seu argumento? Não existe padrão.

Podemos dizer que, com a alteração de posição, a configuração e forma de seu objeto alteraram. Ele poderia dizer que: a configuração e forma de nosso objeto se alterou, no que nós chamamos de alteração meramente de posição. Portanto a distância independentemente da posição é inconcebível, ou praticamente a distância é apenas uma propriedade da matéria.

Não existe princípio ao qual qualquer das partes, nessa controvérsia, pudesse apelar. Não há nada que conecte a definição de distância com nossas ideias nem com as dele, excetuando o comportamento de um pedaço de matéria.

Para o estudo dos processos que acontecem em nosso Mundo a definição de distância dada tomando-se a soma dos quadrados é da maior importância para nós. Mas para a questão do puro espaço sem fazer qualquer pressuposto desnecessário, o Mundo cisalhado é tão possível e tão interessante quanto nosso Mundo.

Foi a geometria de tais Mundos concebíveis que Lobatchewsky e Bolyai estudavam.

Este tipo de geometria, evidentemente, não tem nada diretamente com o espaço da quarta dimensão.

Mas uma conexão surge nesse caminho. É evidente que, ao invés de tomar um simples quadrado cisalhado como eu fiz, e definir isto como o que mudou no arranjo das partículas de um sólido que sofrerão, sem oferecer resistência, devido a suas ações mútuas, eu poderia tomar um complexo movimento, composto de um cisalhamento e uma rotação em conjunto, ou algum outro tipo de deformação.

Suponhamos uma alteração escolhida e definida como uma simples rotação, então o tipo, de acordo com a qual todos os corpos serão alterados por sua rotação, é fixada.

Olhando os movimentos desse tipo, podemos dizer que os objetos alteravam suas formas assim como suas rotações. Mas para os habitantes daquele Mundo iria parecer inalterado, e nossas figuras nos movimentos deles iriam parecer alteradas.

Num mundo assim as características da geometria são diferentes.

Nós vimos uma diferença destas no caso de nossa ilustração do Mundo do cisalhamento, onde o quadrado da hipotenusa era igual à diferença, não a soma, dos quadrados dos lados.

Em nossa ilustração temos as mesmas leis das linhas paralelas como em nosso Mundo de rotação ordinária, mas no geral as leis das linhas paralelas são diferentes.

Em um desses Mundos, de constituição diferente de matéria, através de um ponto podem existir duas paralelas para uma determinada linha. Em um outro desses Mundos   pode ter nenhuma, isto é, sempre uma linha desenhada paralelamente à outra irá encontrá-la, após um tempo.

Agora foi precisamente nesse caso das paralelas que Lobatchewsky e Bolyai descobriram estes Mundos diferentes. Eles não pesaram neles como Mundos diferentes de matéria, mas descobriram que o espaço não necessariamente significa que nossa lei das paralelas é verdadeira. Eles fizeram distinção entre as leis do espaço e as leis da matéria, embora esta não seja a forma na qual declararam seus resultados.

A forma pela qual eles foram levados a estes resultados foi a seguinte. Euclides declarou a existência de linhas paralelas como um postulado – colocando francamente esta proposição não comprovada – que uma linha e apenas uma paralela a uma determinada linha poderia ser desenhada, como uma demanda ou algo que deve ser assumido. As palavras de seu nono postulado são as seguintes:

‘Se uma linha reta encontra outras duas linhas retas e os ângulos internos do mesmo lado forem iguais a dois ângulos retos, estas duas linhas retas nunca se encontrarão. ’

Os matemáticos de épocas posteriores não gostaram desta assunção, e como não podiam provar esta proposição chamaram de axioma – o décimo primeiro axioma.

Muitas tentativas foram feitas para provar este axioma; ninguém duvidava de sua verdade, mas não podiam encontrar meios para demonstrá-lo. Por fim, um italiano, Sacchieri, incapaz de encontrar uma prova, disse: ‘Suponhamos que não seja verdade.’ Ele deduziu os resultados da possibilidade de duas paralelas a uma linha através de um ponto, mas sentindo que estava ficando muito complexo para a razão humana, ele devotou a segunda metade de seu livro a refutar o que ele havia assumido na primeira parte.

Então Bolyai e Lobatchewsky, com passo firme, entraram no caminho proibido. Não pode haver evidência maior da natureza indomável do espírito humano, ou de seu destino manifesto para conquistar todas as limitações que o vinculam dentro da esfera do senso do que essa grande afirmação de Bolyai e Lobatchewsky.

Pegue uma linha AB e um ponto C.

Figura 31

Nós dizemos, vemos e sabemos que no ponto C só podemos traçar uma linha paralela a AB.

Mas Bolyai diz: ‘Eu desenharei duas.’ Seja CD paralela a AB, isto é, não se encontra com AB, ou ainda, não se encontra com AB até a uma distância muito longa, e seja linhas além de CD que também não se encontra com AB; seja haver uma região entre CD e CE, na qual nenhuma linha encontre AB. CE e CD produzidos antes a partir de C darão uma região similar do outro lado de C.

Figura 32

Nada tão triunfante, alguém poderia quase dizer tão insolente, ignorando o senso do que foi escrito antes.

O ser humano tem batalhado contra as limitações do corpo; lutou contra elas; desprezou-as; conquistou-as. Mas ninguém jamais pensou simplesmente: e se o corpo, os olhos corporais, os órgãos da visão, toda essa vasta experiência do espaço, nunca tivesse existido. A competição de longa data da alma com o corpo, a batalha pelo domínio, tinha chegado a uma culminação.

Bolyai e Lobatchewsky simplesmente pensaram e se o corpo não existisse. A batalha pelo domínio, a luta e combate da alma tivesse terminado; eles dominaram, e o húngaro desenhou sua linha.

Podemos pontuar alguma conexão, como no caso de Parmênides, entre estas especulações e o espaço superior? Podemos supor que tenha sido alguma percepção interna da alma de um movimento não conhecido pelos sentidos, que resultou nessa teoria tão livre dos laços do sentido? Nenhuma destas suposições parece ser possível.

Praticamente, no entanto, metageometria tem uma grande influência em trazer o espaço superior a uma posição de destaque, como uma hipótese de trabalho. Isso pode ser atribuído à tendência da Mente em se mover na direção de menor resistência.

Os resultados da nova geometria não poderiam serem negligenciados; o problema das paralelas ocupou um lugar muito proeminente no desenvolvimento do pensamento matemático para que sua solução final fosse negligenciada. Mas essa independência absoluta de todas as considerações mecânicas, esse corte perfeito das intuições familiares, era tão difícil que quase todas as outras hipóteses eram mais fáceis de aceitar, e quando Beltrami[14] mostrou que a geometria de Lobatchewsky e Bolyai era a geometria das linhas mais curtas desenhadas em determinadas superfícies curvilíneas, as definições ordinárias de medidas foram retidas, a atenção foi levada para a teoria do espaço superior. Podemos ilustrar a teoria de Beltrami simplesmente considerando um ser hipotético vivendo em uma superfície esférica.

Seja ABCD o equador de um globo, e AP, BP, linhas meridianas desenhadas do polo, P.

Figura 33

As linhas AB, AP, BP parecem perfeitamente retas para uma pessoa se movendo na superfície da esfera e inconsciente de sua curvatura. Agora AP e BP ambos fazem ângulos retos com AB. Portanto, eles satisfazem a definição de paralelas. No entanto, se encontram em P. Assim um ser que vive numa superfície esférica, e inconsciente de sua curvatura, iria descobrir que as linhas paralelas iriam se encontrar. Ele também encontraria que os ângulos no triângulo eram maiores que dois ângulos retos. No triângulo PAB, por exemplo, os ângulos A e B são ângulos retos, então os três ângulos do triângulo PAB são maiores do que dois ângulos retos.

Agora, em um dos sistemas da metageometria (muito depois de Lobatchewsky ter mostrado a maneira como outros sistemas são possíveis, além do dele) os ângulos de um triângulo são maiores do que dois ângulos retos.

Então um ser vivendo numa esfera teria conclusões sobre seu espaço que são os mesmos que ele teria se vivesse no plano: a matéria que tinha tais propriedades como são pressupostas por um desses sistemas de geometria.

Beltrami também descobriu uma certa superfície na qual poderia ser desenhado mais do que uma linha “reta” por um ponto que não se encontraria com outra linha dada. Utilizo a palavra “reta” como equivalente à linha que tem a propriedade de ser mais curta entre quaisquer dois pontos. Assim, sem desistir dos métodos ordinários de medida, foi possível encontrar condições nas quais um ser do plano teria necessariamente a experiência correspondente à geometria de Lobatchewsky.

E pela consideração de um espaço superior, e uma curva sólida neste espaço superior, foi possível explicar uma experiência no espaço de três dimensões.

Agora, é muito mais fácil conceber a dimensionalidade superior do espaço do que imaginar que uma haste em rotação não se move de tal forma que seu final descreva um círculo. Por isso, uma concepção lógica que se achou mais difícil do que a do espaço de quarta dimensão, o pensamento voltou para o último como uma simples explicação das possibilidades que Lobatchewsky despertou. Os pensadores se acostumaram a lidar com a geometria do espaço superior – foi Kant[15], disse Veronese[16], que primeiramente usou a expressão “espaços diferentes” – e com familiaridade a inevitabilidade da concepção estava consolidada.

A partir deste ponto é um pequeno passo para adaptar o conceito mecânico ordinário para o espaço superior existente, e então o reconhecimento de sua existência objetiva não pode mais ser adiado. Aqui, também, como em tantos outros casos, verifica-se que a ordem e conexão de nossas ideias é a ordem e conexão das coisas.

Qual é a significância do trabalho de Lobatchewsky e Bolyai?

Deve ser reconhecida como algo totalmente diferente do conceito de um espaço superior; é aplicável aos espaços de qualquer número de dimensões. Ao imergir a concepção de distância na matéria é a que a ela propriamente pertence, o trabalho deles promete ser o maior auxiliar em análise da distância efetiva de quaisquer duas partículas como o produto de condições materiais complexas e não pode ser medido por regras rígidas e rápidas. Seu significado final é completamente desconhecido. É um desprendimento dos laços dos sentidos, não coincidindo com o reconhecimento de uma dimensionalidade superior, mas indiretamente contributivo para o mesmo.

Então, finalmente, chegamos a aceitar o que Platão tinha no interior de sua mão; o que a doutrina de Aristóteles da relatividade da substância implica. O vasto Universo, também, tem seu superior, e ao reconhecê-lo, encontramos que a direção que está dentro de nós já não fica inevitavelmente fora do nosso sistema de conhecimento

CAPÍTULO VI – O MUNDO SUPERIOR

É realmente estranho, a maneira pela qual devemos ser para pensar sobre um mundo superior.

Estes objetos simples análogos aos que estão à nossa volta por todos os lados em nossa experiência diária como uma porta, uma mesa ou uma roda são remotos e irreconhecíveis no mundo de quatro dimensões, enquanto as ideias abstratas de rotação, estresse e tensão, elasticidade, em que a análise resolve os elementos familiares de nossa experiência diária, são transferíveis e aplicáveis sem qualquer dificuldade.

Assim estamos na posição inusitada de sermos obrigados a contrastar a experiência diária e habitual de um ser quadridimensional, a partir do conhecimento das teorias abstratas do espaço, da matéria, do movimento dele; em vez de, como no nosso caso, passar às teorias abstratas que formam a riqueza das coisas sensíveis.

O que seria uma roda em quatro dimensões? Qual o eixo para a transmissão de potência que um ser quadridimensional usaria?

Estudemos a roda de quatro dimensões e o eixo de quatro dimensões. E não é uma questão fútil ou insignificante. Pois na tentativa de penetrar na natureza superior, compreender dentro de nosso cerne que transcende todas as analogias, porque o que sabemos são visões meramente parciais disso, o caminho puramente material ou físico permite um meio de abordagem que buscamos com menor probabilidade de erro, do que se usarmos o caminho mais frequente das concepções de enquadramento que, em sua elevação e beleza, nos parecem idealmente perfeito.

Aqui é como se estivéssemos em uma curva, movendo, a cada momento, na tangente dela, todas as vezes que   nos envolvemos com nossos próprios pensamentos, com o desenvolvimento de nossos próprios ideais.

Para onde vamos, o que criamos e exaltamos como perfeito, não representa o caminho verdadeiro da curva, mas nossa própria direção no presente – uma tendência condicionada pelo passado, e por uma energia vital de movimento essencial, mas somente verdadeiro quando perpetuamente modificado. Por este corretor eterno de nossas aspirações e ideais, o universo material afasta, sublimemente, das coisas simples que podemos tocar e manusear, para o profundo infinito do espaço estrelado, no uno e no todo não influenciado pelo que pensamos ou sentimos, apresentando um fato imóvel para o qual, pense que isso seja bom ou seja maligno, podemos, porém, nos conformar, com toda essa impassibilidade com uma referência a algo além de nossas esperanças e nossos medos individuais, nos apoiando e nos  dando o  nosso ser.

E para este grande ser nós apresentamos esta questão: “Você também, qual é seu superior?”.

Ou para colocar em um modo que levará nossas conclusões para uma condição de uma fórmula não estéril, atacando o problema no seu lado mais acessível: “O que é a roda e o eixo mecânico da quarta dimensão?”.

Adentrando nessa questão devemos elaborar um plano de procedimento. O método que adotarei é traçar os passos de raciocínio com o qual um ser confinado no movimento em um mundo bidimensional poderia chegar à concepção de nosso giro e rotação, e depois aplicar um processo análogo à consideração de movimentos superiores. O ser do plano deve ser imaginado como uma figura não abstrata, mas com um corpo real possuindo todas as três dimensões. Sua limitação ao plano deve ser resultado de condições físicas.

Portanto pensaremos nele como uma figura recortada em um pedaço de papel num plano liso. Deslizando sobre esse plano, e entrando em contato com outras figuras igualmente finas como ele na terceira dimensão, ele irá apreendê-los apenas pelas bordas. Para ele, eles serão completamente delimitados pelas linhas. Um corpo “sólido” será, para ele, uma extensão bidimensional, o interior dele só poderá ser alcançado penetrando através das linhas delimitadas.

Agora um ser do plano pode pensar em nossa existência tridimensional de duas formas.

Primeira, ele pode pensar nela como uma série de seções, cada uma delas como o sólido que ele conhece se estendendo em uma direção desconhecida para ele, que se estende transversalmente através de seu universo tangível, que está em uma direção perpendicular a cada movimento que ele faz.

Segunda, renunciando a tentativa de pensar em um sólido tridimensional em sua totalidade, ele pode considerá-lo como consistindo de um número de seções planas, cada uma exatamente igual aos corpos bidimensionais que ele conhece, mas estendendo para fora de seu espaço bidimensional.

Um quadrado repousado em seu espaço, ele considera um sólido delimitado por quatro linhas, cada uma delas estando em seu espaço.

Um quadrado em pé com ângulos retos ao seu plano aparece para ele como simples linhas em seu espaço, exceto que a linha se estende na terceira dimensão.

Ele pode pensar em um corpo tridimensional consistindo de um número destas seções, cada uma delas partindo de uma linha em seu espaço.

Agora, já que em seu mundo ele pode fazer qualquer desenho ou modelo envolvendo somente duas dimensões, ele pode representar cada seção vertical como é realmente, e pode representar um giro de uma dimensão conhecida para uma dimensão desconhecida como um giro de uma para outra de suas dimensões conhecidas.

Para ver o todo, ele deve renunciar a parte do que ele tem, e tomar o todo, parte por parte.

Considere agora um ser do plano em frente de um quadrado, figura 34.

Figura 34

O quadrado pode virar em torno de qualquer ponto de seu plano – digamos o ponto A. Contudo, não pode virar entorno de uma linha, como AB. Para que possa girar em torno da linha AB, o quadrado deve deixar o plano e se mover na terceira dimensão. Este movimento está fora de seu alcance de observação, e, portanto, exceto por um processo de raciocínio, inconcebível para ele.

Rotação será para ele uma rotação sobre um ponto.

Rotação sobre a linha será inconcebível para ele.

O resultado da rotação sobre a linha ele pode apreender.

Ele pode ver as primeiras e últimas posições ocupadas em uma meia revolução sobre a linha AC. O resultado de uma meia revolução será colocar o quadrado ABCD do lado esquerdo ao invés do lado direito da linha AC. Isto corresponderia a uma puxada de todo o corpo ABCD através da linha AC, ou de produzir um corpo sólido com o exato reflexo dele na linha AC. Seria como se o quadrado ABCD se tornasse sua imagem, a linha agindo como um espelho.

Tal inversão das posições das partes do quadrado seria impossível em seu espaço. A ocorrência disto seria uma prova da existência de uma dimensionalidade maior.

Deixe-o agora, adotando a concepção de um corpo tridimensional como uma série de seções deitadas, cada uma removida um pouco a frente do que a precedente, em direção ao ângulo reto ao seu plano, em relação ao cubo, figura 35, como uma série de seções, cada um parecendo o quadrado que forma sua base, todas rigidamente conectadas entre si.

Figura 35

Se agora ele virar o quadrado sobre o ponto A no plano zy, cada seção paralela se torna o quadrado que ele move. Em cada seção há um ponto de repouso, verticalmente sobre A. Agora ele concluiria que ao virar um corpo tridimensional existe uma linha que está em repouso. Isto é, o giro tridimensional é um giro em torno de uma linha.

De forma similar consideremo-nos limitados a um mundo tridimensional por uma condição física. Imaginemos que existe uma direção em ângulo reto para todas as direções que podemos nos mover, e que somos impedidos de passar nesta direção por um vasto sólido, contra o qual, em cada movimento, escorreguemos como o ser do plano desliza em relação à sua folha plana.

Podemos então considerar um corpo quadridimensional consistindo de uma série de seções, cada uma paralela ao nosso espaço, e cada uma um pouquinho mais distante do que a anterior em direção à dimensão desconhecida.

Tome o corpo mais simples de quatro dimensões – uma que comece como um cubo, figura 36, no nosso espaço, e consistindo de seções, cada uma como um cubo da figura 36, afastando-se do nosso espaço.

Figura 36

Se virarmos o cubo que está baseado em nosso espaço sobre uma linha, ou seja, por exemplo, na figura 36 virarmos o cubo sobre a linha AB, não apenas este, mas todos os cubos paralelos se moveriam em torno da linha. O cubo que vemos se move sobre a linha AB, o cubo além dela sobre uma linha paralela a AB e assim por diante. Assim, todo o corpo quadridimensional se move em torno de um plano, pois a montagem destas linhas é a nossa maneira de pensar sobre o plano, que a partir da linha, como no nosso espaço, escorre na direção desconhecida.

Nesse caso tudo o que vemos do plano sobre o qual o giro acontece é a linha AB.

Mas é óbvio que o plano do eixo pode estar no nosso espaço. Um ponto próximo ao plano determina o espaço tridimensional. Quando começa a girar em volta do plano não se move para nenhum lugar em nosso espaço tridimensional, mas se move para fora dele. O ponto não consegue mais girar em volta do plano no espaço tridimensional como um ponto não consegue se mover em torno de uma linha no espaço bidimensional.

Agora aplicaremos o segundo modo de representação para este caso de girar em torno de um plano, construindo nossa analogia passo a passo do giro em um plano sobre um ponto, aquele do espaço em relação à linha e assim por diante.

De forma a reduzir nossas considerações para àquelas de maior simplicidade possível, vamos perceber como um ser do plano iria pensar sobre o movimento no qual um quadrado gira em torno de uma linha.

Seja a figura 34, ABCD, um quadrado de seu plano, e representado em duas dimensões de seu espaço pelos eixos Ax, Ay.

Agora o movimento no qual o quadrado gira em torno da linha AC envolve a terceira dimensão.

Ele não pode representar o movimento de todo o quadrado em seu giro, mas ele pode representar o movimento de partes dele. Seja o terceiro eixo perpendicular ao plano do papel ser chamado de eixo z. Dos três eixos x, y, z, o ser do plano só consegue representar dois deles em seu espaço. Vamos, então, desenhar, na figura 35, dois eixos x e z. Aqui ele tem em seu plano a representação do que existe no plano que está perpendicular ao seu espaço.

Nesta representação o quadrado não será mostrado, porque a linha AB está contida apenas no plano de xy.

O ser do plano terá diante de si, na figura 35, a representação de uma linha AB de seu quadrado de dois eixos, x e z, com ângulos retos. Agora será óbvio para ele que, ao girar como ele sabe, com um giro sobre um ponto, a linha AB pode girar em torno de A, e ocupar todos os pontos intermediários, assim como AB1, vem, após meia revolução a ficar em Ax produzido através de A.

Novamente, assim como ele pode representar o plano vertical através de AB, assim ele pode representar o plano através de A”B”, figura 34, e de forma parecida ele pode ver que as linhas A”B” podem girar em torno de A” até que fique na direção oposta da qual estava no início.

Agora estas duas giradas não são inconsistentes. No seu plano, se AB gira em torno de A, e A”B” em torno de A”, a consistência do quadrado seria destruída, seria um movimento impossível para um corpo fixo fazer. Mas no giro que ele estudou, porção por porção, não há nada inconsistente. Cada linha do quadrado pode girar desta forma, assim ele poderia descobrir que o giro de todo o quadrado como a soma do giro de todas as partes isoladas. Estes giros, se fossem feitos em seu plano, seriam inconsistentes, mas com a virtude da terceira dimensão se tornam consistentes, e o resultado delas é que o quadrado gira em torno da linha AC e fica numa posição que é a imagem espelhada do que era na primeira posição. Portanto ele percebe um giro em torno da linha renunciando a um de seus eixos, e representando seu corpo parte por parte.

Vamos aplicar esse método para girar um cubo de tal forma que se torne uma imagem espelhada de si mesmo. Em nosso espaço podemos construir três eixos independentes, x, y, z, demonstrado na figura 36.

Suponha que existe um quarto eixo w, com ângulos retos em relação a cada um deles. Nós não podemos, mantendo todos os três eixos, x, y, z, representar w em nosso espaço; mas se renunciarmos um de nossos três eixos podemos colocar o quarto eixo em seu lugar, e podemos representar o que está neste quadrado, determinado pelos dois eixos que mantemos com o quarto eixo.

Vamos supor que deixamos o eixo y de fora, e que representamos o eixo w como ocupando sua direção. Temos na figura 37 o desenho deveríamos ver do cubo.

Figura 37

O quadrado ABCD permanece inalterado, pois este está no plano xz, e ainda temos aquele plano. Mas deste plano o cubo se estende ao eixo y. Agora o eixo y se foi, e nada mais temos do cubo senão a face ABCD.

Considerando agora a face ABCD, vemos que está livre para girar em torno da linha AB. Pode girar da direção x para a w em torno desta linha. Como demonstra a figura 38, e pode-se continuar, evidentemente, essa rotação até ficar do outro lado do eixo z no plano xz.

Figura 38

Também podemos pegar uma seção paralela da face ABCD, e então deixando de lado todo o espaço, excetuando o plano daquela seção, introduzir o eixo w, indo em direção ao velho y. Essa seção pode ser representada pelo mesmo desenho, figura 38, e vemos que pode girar em torno da linha da sua esquerda até meia volta e correr para a direção oposta à qual estava no princípio.

Esse girar de seções diferentes não são inconsistentes, e juntando todos irão trazer o cubo da posição mostrada na figura 36 para a da figura 41.

Uma vez que temos três eixos à nossa disposição em nosso espaço, não somos obrigados a representar o eixo w de forma particular. Podemos deixar qualquer eixo que quisermos desaparecer, e deixar o quarto eixo tomar seu lugar.

Na figura 36 suponha o eixo z desaparecer. Temos então simplesmente o plano de xy e o quadrado base do cubo ACEG, figura 39, será tudo que podemos ver dele.

Figura 39

Observe agora o eixo w tomando o lugar do eixo z e teremos, na figura 39 novamente, a representação do espaço xyw, no qual tudo o que existe do cubo é seu quadrado base. Agora, girando de x para w, esta base pode girar em torno da linha AE, isto é demonstrado na figura 40, e finalmente será, após meia revolução, ficando do outro lado do eixo y.

Figura 40

De forma similar podemos girar seções paralelas à base da rotação de xw, e cada uma delas ficará na posição oposta da qual ocupava no início.

Assim, novamente, o cubo vai da posição na figura 36 para a da figura 41.

Figura 41

Neste giro de x para w, vemos que toma lugar com a rotação das seções paralelas da face frontal sobre linhas paralelas a AB, ou então podemos considerá-la a rotação das seções paralelas à base em torno de AE. É a rotação do cubo inteiro em torno do plano ABEF.

Duas seções separadas não podem girar em torno de duas linhas separadas em nosso espaço sem conflito, mas seu movimento é consistente quando consideramos outra dimensão. Justamente, então, como um ser do plano pode pensar na rotação de uma linha como uma rotação de um número de pontos, essa rotação não interferindo como deveria se tomassem lugar no espaço bidimensional, assim podemos pensar sobre a rotação de um plano como a rotação de um número de seções de um corpo sobre o número de linhas no plano, essas rotações não serão inconsistentes num espaço quadridimensional, como as são no espaço tridimensional.

Nós não somos limitados a uma direção em particular, para as linhas do plano sobre a qual supomos que a rotação de uma seção em particular seja feita. Vamos desenhar uma seção do cubo, figura 36, de modo que: A, F, C, H formem um plano inclinado.

Figura 42

Agora já que as quatro dimensões são de ângulos retos ao plano ACEG, nosso espaço é então determinado pelo plano ACEG, e seu eixo perpendicular. Se deixarmos esse eixo desaparecer e supomos um quarto eixo, w, aparecendo em seu lugar, temos uma representação do espaço que vai à quarta dimensão partindo do plano ACEG. Nesse espaço veremos simplesmente a seção ACEG do cubo, e nada mais, porque um cubo não se estende a nenhuma distância na quarta dimensão.

Se, mantendo esse plano, trazemos a quarta dimensão, teremos um espaço na qual simplesmente essa seção do cubo existe e nada mais. Esta seção pode girar em torno da linha AF, e seções paralelas podem girar em torno de linhas paralelas. Portanto considerando a rotação em torno do plano podemos desenhar quaisquer linhas que queiramos e considerar a rotação tomando lugar em seções em torno delas.

Para deixar este ponto mais claro, vamos tomar duas linhas paralelas, A e B, no espaço de xyz, e façamos CD e EF serem duas hastes correndo acima e abaixo do plano xy, partindo dessas linhas. Se girarmos estas hastes em nosso espaço em torno das linhas A e B, como ponto superior de uma, F, está abaixando; o ponto inferior da outra, C, está subindo. Elas irão se encontrar e conflitar. Mas é provável, para estas duas hastes, cada uma delas girar em torno das duas linhas sem alterarem suas distâncias relativas.

Para visualizar isto suponhamos que o eixo y desapareça, e que o eixo w tome seu lugar. Não veremos mais as linhas A e B, pois elas correm na direção de y partindo dos pontos G e H.

A figura 43 é uma figura de duas hastes vistas no espaço xzw.

Figura 43

Se elas girarem na direção mostrada pelas setas – na direção de z para w – elas se moverão paralelamente uma a outra, mantendo sua distância relativa.

Cada uma delas irá girar em torno de sua própria linha, mas sua rotação não será inconsistente com a formação de um corpo rígido.

Agora vamos supor um plano central com hastes cruzando-o em todos os pontos, como CD e EF cruzam o plano de xy, para se ter uma imagem da massa da matéria estendida em distâncias iguais de cada lado do plano diametral. Se duas destas varas podem girar, assim podem todas, e toda a massa da matéria pode girar em torno do plano diametral.

Essa rotação em torno do plano corresponde, na quarta dimensão, à rotação em torno do eixo de três dimensões. Rotação de um corpo em torno de um plano é análogo à rotação de uma haste em torno de um eixo.

Em um plano temos a rotação em torno de um ponto; no espaço tridimensional a rotação em torno de uma linha axial; e a rotação quadridimensional em torno de um plano axial.

O eixo dos seres da quarta dimensão pela qual ele transmite poder é um disco girando em torno de seu plano central – todo o contorno inteiro corresponde ao eixo de rotação em nosso espaço. Ele pode conferir a rotação em qualquer ponto e retirá-la em qualquer outro ponto do contorno, assim como a rotação em torno da linha pode ser transmitida em um ponto final da haste e ser retirada em outro ponto final.

Uma roda da quarta dimensão pode facilmente ser descrita via analogia da representação que um ser do plano formaria por si mesmo de uma de nossas rodas.

Suponhamos uma roda que se move transversalmente pelo plano, de tal forma que todo o disco, que eu consideraria sólido e sem raios, entram em contato com o plano ao mesmo tempo. Irá parecer uma porção circular de matéria plana envolvendo completamente uma porção menor e menor – o eixo.

Essa aparência duraria, supondo que o movimento da roda continue até atravessar o plano, pela extensão de sua espessura, quando ficaria no plano apenas o disco pequeno que seria a seção do eixo. Não haveria meios óbvios no plano de princípio com o que o eixo pudesse ser tocado, excetuando pela passagem da substância da roda. Mas a possibilidade de alcançá-lo sem destruir a substância da roda seria mostrada com a existência contínua da seção do eixo após o desaparecimento da roda.

De forma similar uma roda da quarta dimensão movendo transversalmente pelo nosso espaço iria aparecer primeiramente como uma esfera sólida, envolvendo completamente outra esfera sólida. A esfera exterior representaria a roda, e ficaria até a roda atravessar nosso espaço com uma distância igual à sua espessura. Então apenas a esfera menor permaneceria, representando a seção do eixo. A esfera maior pode se mover em volta do menor bastante livremente.

Qualquer linha no espaço poderia ser tomada como eixo, e em torno dessa linha a esfera exterior poderia girar, enquanto a esfera menor permanecesse parada.

Mas em todas estas direções de revolução, haveria uma linha, na realidade, que permaneceria inalterada, essa é a linha que se estica na quarta dimensão, seguindo o eixo do eixo. A roda da quarta dimensão pode girar em qualquer número de planos, mas todos esses planos são tais que existe uma linha em ângulo reto a todos eles não afetadas pela rotação deles.

Uma objeção é experimentada, às vezes, quanto à esta forma de raciocínio de um mundo plano para uma dimensionalidade superior.

Quão artificial, argumenta-se, é esta concepção de um mundo plano. Se alguma existência real confinada a uma superfície pudesse ser mostrada para existir, existiria um argumento para um parente para o qual nossa existência tridimensional seria superficial. Mas, tanto de um lado quanto do outro do espaço que estamos familiarizados, os espaços com menos ou mais do que três dimensões são meramente concepções arbitrárias.

Em resposta a isto, gostaria de observar que um ser do plano teria uma dimensão de possibilidade de movimentos a menos do que nossas três, e que nós temos um quarto a menos do que os do espaço superior. Pode muito bem ser que haja certa quantidade de liberdade de movimentos que seja exigida como condição de uma existência organizada, e que não seja possível uma existência material com mais limitações de dimensionalidades que a nossa.

Isto é bem visto se tentarmos construir os mecanismos de um mundo bidimensional. Não poderia existir um tubo, pois a menos que se juntasse totalmente numa extremidade duas linhas paralelas seriam completamente separadas. A possibilidade de uma estrutura orgânica, sujeita a condições como esta, é altamente problemática; ainda assim, possivelmente nas circunvoluções do cérebro poderia haver uma maneira de existência a ser descrita como bidimensional.

Devemos supor a aumento na superfície e uma diminuição da massa realizada até certo ponto para encontrar uma região que, embora sem mobilidade dos constituintes, seria descrita como bidimensional.

Mas, por mais artificial que seja a concepção de um ser do plano, não é menos para ser usada na passagem para a concepção de uma dimensionalidade maior do que a nossa, e, assim, a validade da primeira parte da objeção desaparece diretamente, encontramos evidências de tal estado de existência.

A segunda parte da objeção tem mais peso.

Como é possível conceber que um espaço e criaturas quadridimensionais deveriam ser confinadas a uma existência tridimensional?

Em resposta eu diria que sabemos, de fato, que a vida é essencialmente um fenômeno de superfície. A amplitude dos movimentos que podemos fazer é muito maior ao longo da superfície da Terra do que é acima ou abaixo.

Agora, temos que conceber a extensão da superfície sólida aumentada, enquanto os movimentos possíveis transversais a ela são diminuídos na mesma proporção, para obter a imagem de um mundo tridimensional em um espaço quadridimensional.

E como o nosso habitat é o encontro do ar e da terra em nosso mundo, assim devemos pensar no lugar de encontro de dois como a condição do nosso universo. O encontro de que dois? O que a vastidão pode ser no espaço superior que se alonga de uma forma tão perfeita que nossas observações astronômicas falham em detectar a menor curvatura?

A perfeição do nível sugestiona um líquido – um lago em meio a um vasto cenário! – onde o assunto do universo flutua de forma parecida.

Mas esse aspecto do problema é conhecido como as condições fronteiriças da matemática.

Podemos rastrear todas as consequências dos movimentos de quatro dimensões até o último detalhe. Então, sabendo o modo de agir que seria característico das partículas mais minúsculas, se elas fossem livres, podemos tirar conclusões sobre o que elas realmente fazem do que é a restrição delas. Ou as duas coisas, as condições materiais e o movimento, um é conhecido, e o outro pode ser inferido.

Se o lugar do universo for o encontro de dois, haveria uma unilateralidade para o espaço. Se for de modo que o que se estende em uma direção no desconhecido é diferente do que o que se estende na outra, então, no que diz respeito aos movimentos que participam dessa dimensão, haveria uma diferença em que direção o movimento tomou lugar. Isto poderia ser mostrado na dissimilaridade dos fenômenos, que, no que diz respeito a todos os movimentos tridimensionais, são perfeitamente simétricos.

Para tomar um exemplo, meramente com o objetivo de especificar nossas ideias, não por nenhuma probabilidade inerente a ele; se pudesse ser demonstrado que a corrente elétrica na direção positiva é exatamente igual à corrente elétrica na direção negativa, excetuando a reversão dos componentes de movimento do espaço tridimensional, então a dissimilaridade da descarga dos polos positivo e negativo seriam uma indicação de uma unilateralidade do nosso espaço.

A única causa de diferenças nas duas descargas seria devido a um componente na quarta dimensão, que dirigiu em uma direção transversal ao nosso espaço, se encontrou com uma resistência diferente à que encontrou quando dirigida na direção oposta.

CAPÍTULO VII – AS EVIDÊNCIAS PARA A QUARTA DIMENSÃO

O método necessariamente empregado na busca por evidências de uma quarta dimensão consiste, primariamente, na formação da concepção de figuras e movimentos em quatro dimensões. Quando estamos de posse disso é possível chamar a ajuda da observação, sem eles podemos ter passado toda a nossa vida na presença familiar de fenômenos da quarta dimensão sem reconhecer sua natureza.

Para tomar uma das concepções que já formamos, o girar de uma coisa real em sua imagem espelhada seria uma ocorrência difícil de se explicar, exceto no pressuposto de uma quarta dimensão.

Não conhecemos tal rotação. Mas existem uma multiplicidade de formas que mostram uma certa relação com um plano, uma relação de simetria, que indica mais do que uma justaposição acidental das partes. Na vida orgânica o tipo universal é de simetria à direita e à esquerda, existe um plano de cada lado das quais as partes se correspondem. Agora vimos que em quatro dimensões um plano toma o lugar de uma linha em três dimensões. No nosso espaço, a rotação em torno de um eixo é o tipo de rotação, e a origem de corpos simétricos sobre uma linha, como a Terra é simétrica sobre um eixo, pode ser facilmente explicado. Mas, onde há simetria sobre um plano, nenhum movimento físico simples, como estamos acostumados a ver, é suficiente para explicá-lo. Em nosso espaço um objeto simétrico deve ser construído por adições iguais em ambos os lados do plano central. Tais adições sobre tal plano são pouco prováveis a qualquer outro incremento.

A probabilidade contra a existência de uma forma simétrica na natureza inorgânica é esmagadora em nosso espaço, e nas formas orgânicas seria tão difícil de produzir como qualquer outra variedade de configurações. Para ilustrar esse ponto podemos tomar a diversão de uma criança de fazer, a partir de pontos de tinta em um pedaço de papel, uma representação parecida com a vida de um inseto, simplesmente dobrando a folha de papel. Os pontos se espalham por uma linha simétrica, e dão a impressão de uma forma segmentada com antenas e patas.

Agora vendo um número de tais figuras devemos, naturalmente, inferir um dobramento. Pode, então, uma dobradura na quarta dimensão explicar a simetria das formas orgânicas? A dobradura não pode ser feita nos corpos que vemos, mas pode ser daqueles componentes inferiores, os elementos finais da matéria viva com as quais, giradas de uma forma ou de outra, se tornam destros ou canhotos, e assim produzir uma estrutura correspondente.

Existe algo na vida não incluída em nossas concepções de movimentos mecânicos. Essa alguma coisa é um movimento quadridimensional?

Se olharmos para isto de um ponto de vista mais amplo, há algo de impressionante no fato de que onde tem vida, surge um conjunto completamente diferente de fenômenos para aqueles no mundo inorgânico.

Os interesses e valores da vida, como conhecemos em nós mesmos, como sabemos que existe ao nosso redor em formas subordinadas, é inteira e completamente diferente a qualquer coisa que a natureza inorgânica demonstre. E nos seres vivos temos um tipo de forma, uma disposição de matéria que é inteiramente diferente daquela mostrada na matéria inorgânica.

A simetria à direita e à esquerda não ocorre nas configurações de matéria morta. Temos instâncias de simetria sobre um eixo, mas não sobre um plano. Pode-se argumentar que a ocorrência de simetria em duas dimensões envolve a existência de um processo tridimensional, como quando cai uma pedra na água e faz anéis e ondulações, ou quando a massa de material macio rotaciona em torno de um eixo.

Pode-se argumentar que simetria em qualquer número de dimensões é uma evidência de uma ação em uma dimensionalidade mais elevada.

Portanto considerando seres vivos, há uma evidência em ambas: na sua estrutura e também em seu modo diferente de atividade, de um algo que vem de fora para o mundo inorgânico.

E as objeções que ocorrerão prontamente, como aquelas derivadas de formas de cristais gêmeos e da estrutura teórica de moléculas químicas, não invalidam o argumento; pois nessas formas também o presumível assento da atividade que os produz se encontra naquela região tão minuciosa na qual, necessariamente, nós colocamos o assento de um movimento em quatro dimensões.

Por outro lado, a existência de formas simétricas é digna de nota. É intrigante conceber como podem existir duas formas exatamente iguais que não são sobrepostas. Tal par de figuras simétricas como as duas mãos, direita e esquerda, mostra uma limitação em nosso poder de movimento, pelo qual não podemos superar a outra, ou uma influência definida e compulsiva de espaço na matéria, infligindo limitações que são adicionais às propriedades das partes.

No entanto, deixaremos de lado o argumento a ser tirado da consideração da simetria como inconclusiva, retendo a indicação valiosa que eles oferecem. Se for em virtude da existência do movimento da quarta dimensão que a simetria existe, é somente nas partículas muito pequenas dos corpos que o movimento deve ser encontrado, pois não existe uma inclinação em quatro dimensões de nenhum objeto do tamanho que podemos observar. A região do extremamente diminuto é a que devemos investigar. Devemos procurar por um fenômeno que, ocasionando movimentos do tipo que sabemos, ainda é inexplicável por qualquer tipo de movimento que conhecemos.

Agora nas teorias das ações das partículas de umidade dos corpos uns sobre os outros, e nos movimentos do éter, os matemáticos assumiram tacitamente que os princípios mecânicos são os mesmos que prevalecem no caso dos corpos que podem ser observados; foi assumido, sem provas, que a concepção de movimento sendo tridimensional mantém além da região das observações nas quais foi formada.

Portanto, não é de nenhum fenômeno explicado pela matemática que possamos obter uma prova de quatro dimensões.

Todo fenômeno que foi explicado é explicado como tridimensional. E, além disso, uma vez que na região muito pequena não encontramos movimento de corpos rígidos que agem um ao outro à distância, mas substâncias elásticas e fluidos contínuos como o éter, teremos uma tarefa dupla.

Devemos formar a concepção dos movimentos possíveis de matéria elástica e líquida da quarta dimensão, antes de podermos começar a observar. Vamos, portanto, pegar a rotação quadridimensional sobre um plano, e perguntar o que acontece no caso de substâncias de extensão fluídica. Se existem movimentos de quarta dimensão, esse tipo de rotação deve existir, e as proporções mais finas da matéria devem exibi-lo.

Considere, por um momento, uma haste de matéria flexível e extensível. Ela pode girar sobre um eixo, mesmo que não reto; um anel de borracha indiana pode virar de dentro para fora.

O que isso seria no caso de quatro dimensões?

Consideremos uma esfera de nossa matéria tridimensional tendo uma espessura definida. Para representar esta espessura vamos supor que de cada ponto da esfera da figura 44 hastes se projetem de ambos os lados, para dentro e para fora, como em D e F.

Figura 44

Eixo de x emerge da folha para o observador

Podemos ver apenas a porção externa, porque as partes internas estão escondidas pela esfera horizontal. Agora considere a seção determinada pelo plano xy.

Isso será um círculo como demonstrado na figura 45.

Figura 45

Se deixarmos cair o eixo x, esse círculo será tudo o que teremos da esfera. Sendo, agora, o eixo w o que emerge da folha, no plano do antigo eixo x teremos o espaço yzw e nesse espaço tudo o que teremos da esfera será o círculo. A figura 45, então, representa tudo o que existe da esfera no espaço de yzw. Nesse espaço é evidente que as hastes CD e EF podem girar a circunferência como um eixo.

Se a questão do invólucro da esfera é suficientemente extensível para permitir que as partículas C e E se tornem tão separadas quanto seriam nas posições D e F, então a faixa de matéria representada por CD e EF e uma multiplicidade de hastes como elas podem girar a circunferência circular.

Portanto, essa seção particular da esfera pode virar de dentro para fora, e o que vale para uma seção vale para todas. Então em quatro dimensões a esfera inteira pode, se extensível, virar de dentro para fora. Além disso, qualquer parte dela, uma porção em forma de tigela, por exemplo, pode virar de dentro para fora, e assim por diante, porção por porção.

Isso realmente não é mais do que tínhamos antes na rotação sobre um plano, excetuando que podemos ver que o plano pode, no caso de uma matéria extensível, sendo curva, e ainda jogar a parte de um eixo.

Se supusermos que a concha esférica seja de matéria quadridimensional, nossa representação será um pouco diferente.

Suponhamos que haja uma pequena espessura na matéria de quatro dimensões. Isso não faria diferença na figura 44, porque mostra apenas a visão no espaço xyz. Mas quando deixamos cair o eixo x, e colocamos o eixo w, então as hastes CD e EF, que representam a matéria da concha, terão uma espessura perpendicular ao plano do papel no qual são desenhados.

Se eles tiverem uma espessura na quarta dimensão irão demonstrar essa espessura, quando observada na direção do eixo w.

Supondo que estas hastes, então, sejam pequenas lajes amarradas na circunferência do círculo na figura 45, vemos que não haverá, nesse caso, nenhum outro obstáculo à sua volta em torno da circunferência. Podemos ter uma concha de matéria extensível ou matéria fluídica virando de dentro para fora em quatro dimensões.

E devemos relembrar que em quatro dimensões não existe tal coisa como rotação em torno do eixo. Se queremos investigar o movimento dos fluídos em quatro dimensões devemos pegar o movimento em torno de um eixo em nosso espaço, e encontrar o movimento correspondente em torno do plano no quarto espaço físico é o movimento vórtice.

Um vórtice é um turbilhão ou redemoinho – é mostrado nas grinaldas giratórias de poeira vistas em um dia de verão; é exibido em grande escala na marcha destrutiva de um ciclone.

Uma roda rodando girará para fora da água sobre ela.

Mas quando este movimento circular ocorre em um meio líquido é estranhamente persistente. Há, é claro, certa coesão entre as partículas da água pelas quais eles impedem mutuamente nos seus movimentos. Mas em um líquido desprovido de fricção, de modo que qualquer partícula é livre de coesão lateral no seu caminho de movimento, pode ser demonstrado que um vórtice ou redemoinho separa da massa do fluido certa porção, que sempre permanece no vórtice.

A forma do vórtice pode alterar, mas sempre consiste das mesmas partículas do fluido.

Agora, um fato muito marcante sobre um vórtice é que as extremidades do vórtice não podem permanecer suspensas e isoladas do fluido. Elas devem sempre correr para o limite do fluido. Um redemoinho na água que permanece a meio caminho sem chegar ao topo é impossível.

As extremidades de um vórtice devem atingir o limite de um fluido – o limite pode ser externo ou interno – um vórtice pode existir entre dois objetos no fluido, terminando uma extremidade em cada objeto, os objetos sendo limites internos do fluido. Novamente, um vórtice pode ter suas extremidades ligadas entre si, de tal modo que formem um anel. Os anéis circulares do vórtice dessa descrição são normalmente vistos em sopros de fumaça, e que a fumaça viaja em forma de anel é uma prova que o vórtice sempre consiste das mesmas partículas de ar.

Vamos agora perguntar o que um vórtice seria num fluido de quarta dimensão.

Devemos substituir o eixo linear por um eixo plano. Devemos ter, portanto, uma porção de fluido rotacionando em torno de um plano.

Vemos que o contorno desse plano corresponde com as extremidades das linhas do eixo. Portanto, um vórtice quadridimensional deve ter sua borda em um limite do fluido. Haveria uma região de vorticidade com um contorno. Se tal rotação fosse iniciada em uma parte de um limite circular, suas bordas correriam ao redor do limite em ambas direções, até que toda a região interior fosse preenchida com a folha do vórtice.

Um vórtice em um líquido tridimensional pode consistir de uma série de filamentos de vórtice juntos produzindo um tubo ou haste de vorticidade.

Da mesma forma podemos ter em quatro dimensões uma série de folhas de vórtice, uma ao lado da outra, cada uma das quais pode ser pensada como uma porção em forma de tigela de uma concha esférica virando de dentro para fora. A rotação ocorre em qualquer ponto que não esteja no espaço ocupado pela concha, mas deste espaço para a quarta dimensão e retorna novamente.

Existe alguma coisa análoga a isso dentro do alcance da nossa observação?

Uma corrente elétrica responde a essa descrição em todos os aspectos. A eletricidade não flui através de um fio. Seu efeito viaja em ambos os sentidos a partir do ponto de partida do fio.

A faísca que mostra sua passagem no meio desse circuito é posterior àquela que ocorre em pontos próximos ao seu ponto de origem, em ambos os lados.

Além disso, sabe-se que a ação da corrente não está no fio. Está na região cercada pelo fio, esse é o campo de força, o local da exposição dos efeitos da corrente.

E a necessidade de um circuito condutor para a corrente é exatamente o que devemos esperar se fosse um vórtice da quarta dimensão. De acordo com Maxwell toda corrente forma um circuito fechado, e isso, do ponto de vista da quarta dimensão, é o mesmo que dizer que o vórtice deve ter suas extremidades em um limite do fluido.

Assim, na hipótese de uma quarta dimensão, a rotação do éter fluídico daria o fenômeno de uma corrente elétrica. Devemos supor que o éter esteja cheio de movimento, pois quanto mais examinamos as condições que prevalecem na obscuridade do mínimo, mais encontramos que reina um movimento incessante e perpétuo. Portanto, podemos dizer que a concepção de uma quarta dimensão significa que deve haver um fenômeno que apresenta as características da eletricidade.

Sabemos que a luz é uma ação eletromagnética, e que, até agora, é um fenômeno especial e isolado, essa ação elétrica é universal no reino dos minúsculos. Por isso não podemos concluir que, longe da quarta dimensão, sendo remota e distante, sendo uma coisa de importância simbólica, um termo para explicação de fatos duvidosos por uma teoria mais obscura, é realmente o fato mais importante dentro do nosso conhecimento. Nosso mundo tridimensional é superficial. Esses processos, que realmente estão na base de todos os fenômenos da matéria, escapam de nossa observação pela sua minúcia, mas revela ao nosso intelecto uma amplitude de movimento sobrepondo qualquer uma que podemos ver. Em tais formas e movimentos existe um domínio de beleza intelectual máxima, e um dos quais nossos métodos simbólicos se aplicam com uma melhor graça do que com as três dimensões.

CAPÍTULO VIII – O USO DAS QUATRO DIMENSÕES NO PENSAMENTO

Tendo concluído, diante de nós mesmos, esse esboço de conjecturas do mundo de quatro dimensões e tendo juntado aqueles fatos sobre o movimento que podemos ver se se aplicam a nossa experiência real, passamos para outro lado do nosso assunto.

O engenheiro usa desenhos, construções gráficas em uma variedade de maneiras. Ele tem, por exemplo, diagramas que representam a expansão do vapor, a eficiência de suas válvulas. Esses existem ao lado dos planos reais de suas máquinas. Eles não são a figura de algo realmente existente, mas possibilitam a ele pensar sobre as relações que existem em seus mecanismos.

E, além de nos mostrar a existência atual deste mundo que se encontra sob o mundo de movimentos visíveis, a quarta dimensão nos possibilita fazer construções de ideias que servem para representar as relações das coisas, e lançar o que de outro modo seria obscuro em uma forma definida e sugestiva.

Entre a grande variedade de instâncias que estão diante de mim vou escolher duas: uma que lida com um assunto de ligeiro interesse intrínseco, o que, no entanto, em um campo limitado, é um exemplo marcante do método de tirar conclusões e do uso de figuras espaciais mais elevadas[17].

A outra instância é escolhida em função do comportamento que nas nossas concepções fundamentais têm. Nela, procuro descobrir o significado real da teoria da experiência de Kant[18].

A investigação das propriedades dos números é muito facilitada pelo fato que as relações entre os números são também possíveis de ser representadas por números – por exemplo: 12, e 3 são ambos números, e a relação entre eles é 4, outro número. O caminho é assim aberto para um processo de teoria construtiva, sem que seja necessário recorrer a outra classe de conceitos além do que é dado nos fenômenos a serem estudados.

A disciplina do número assim criado é de grande e variada aplicabilidade, mas não é unicamente tão quantitativa como a que nós aprendemos a entender os fenômenos da natureza.

Não é possível explicar as propriedades da matéria simplesmente por números, mas todas as atividades da matéria são energias no espaço. Eles são numericamente definidos e também, podemos dizer, diretamente definidos, ou seja, definidos em direção.

Existe, então, uma disciplina sobre o espaço que, igual à dos números, está disponível na ciência? Não é necessário responder: Sim; geometria. Mas existe um método ao longo dos métodos comuns da geometria, que tacitamente usa e apresenta uma analogia com método de pensamento numérico e que merece ser considerado para uma maior proeminência do que usualmente ocupa.

A relação dos números é um número.

Podemos dizer do mesmo modo que a relação entre formas é uma forma?

Sim, podemos.

Peguemos um exemplo escolhido em função do que temos disponível. Vamos considerar dois triângulos retângulos de uma dada hipotenusa, mas tendo lados de comprimentos diferentes (Figura 46).

Figura 46

Esses triângulos são formas que tem certa relação entre elas. Vamos exibir esta relação como uma figura.

Desenhe duas linhas retas com ângulos retos entre elas, uma sendo HL de nível horizontal e a outra sendo VL de nível vertical (Figura 47).

Figura 7

Por meio dessas duas linhas coordenantes podemos representar um duplo conjunto de magnitudes; uma sendo as distâncias à direita do nível vertical, a outra as distâncias acima do nível horizontal, sendo escolhida uma unidade adequada.

Então a linha marcada como 7 escolherá a linha de pontos cuja distância do nível vertical é 7, e a linha marcada como 1 escolherá a linha de pontos cuja distância do nível horizontal é 1. O ponto de encontro destas duas linhas, 7 e 1, definirá um ponto que, no que diz respeito ao único conjunto de magnitudes é 7, em relação ao outro é 1. Vamos tomar os lados dos nossos triângulos como os dois conjuntos de magnitudes em questão.

Então o ponto (7,1) representa o triângulo cujos lados são 7 e 1. Similarmente, os pontos (5,5) – 5, que é para a direita e no nível vertical e 5 acima do nível horizontal – irá representar o triângulo cujos lados são 5 e 5 (Figura 48).

Figura 48

Portanto obtemos a figura consistindo dos dois pontos (7,1) e (5,5), representando os nossos dois triângulos. Mas podemos ir além, e, desenhar um arco de um círculo sobre O, o ponto de encontro dos níveis horizontal e vertical, que passa por (7,1) e (5,5), afirmam que todos os triângulos retângulos contendo uma hipotenusa cujo quadrado é 50 estão representados pelos pontos desse arco.

Então, cada indivíduo de uma classe sendo representada por um ponto, a classe inteira será representada por uma coleção de pontos formando uma figura. Aceitando essa representação, podemos atribuir um significado definitivo e calculável para a expressão, semelhança ou similaridade entre dois indivíduos da classe representada, a diferença sendo medida pelo comprimento da linha entre dois pontos representativos. Não é necessário exemplificarmos mais, ou mostrar como, correspondendo a diferentes classes de triângulos, obtemos curvas diferentes.

Uma representação desse tipo em que um objeto, algo no espaço, é representado por um ponto, e todas as suas propriedades são deixadas de fora, seus efeitos permanecendo apenas na posição relativa que o ponto representativo suporta em relação aos pontos de outros objetos, podem ser chamados, após a analogia do hodógrafo[19] do Sir William Hamilton, de “Poiógrafo”.

As representações assim feitas têm o caráter de objetos naturais; elas têm um caráter próprio, determinado e definido. Qualquer falta de completude nelas é, provavelmente, devido a uma falta no ponto de completude destas observações que constituem o fundamento de suas construções.

Todo sistema de classificação é um “poiógrafo”. No esquema dos elementos de Mendeléeff[20], por exemplo, cada elemento é representado como um ponto, e as relações entre os elementos estão representados pelas relações entre os pontos.

Até agora, eu simplesmente trouxe proeminentes processos e considerações com as quais estamos todos familiarizados. Mas vale a pena aproveitar nossa total atenção para nossos processos e premissas habituais. Muitas vezes achamos que existem dois deles que tem uma relação um com o outro, e sem trazer isto para a luz devemos nos permitir permanecer sem uma influência mútua.

Existe um fato que nos interessa levar em consideração na discussão da teoria do “poiógrafo”.

No que diz respeito ao nosso conhecimento do mundo, estamos longe daquela condição que Laplace[21] imaginou quando afirmou que uma mente conhecedora poderia determinar as condições futuras de cada objeto, se ela soubesse as coordenadas de suas partículas no espaço, e sua velocidade em cada momento em particular.

Pelo contrário, na presença de qualquer objeto natural, temos uma grande complexidade de condições diante de nós, que não podemos reduzir a posição no espaço e data no tempo.

Existem propriedades de massa, atração aparentemente espontânea, elétricas e magnéticas, que devem ser adicionadas para a configuração espacial. Para encurtar a lista devemos dizer que praticamente o fenômeno do mundo nos apresenta problemas envolvendo muitas variáveis, que devemos considerar como independentes.

Partindo disto, segue-se que, ao fazer “poiografias” devemos estar preparados para usar o espaço de mais de três dimensões.

Se a simetria e integridade de nossa representação for útil para nós, devemos estar preparados para apreciar e criticar figuras de uma complexidade maior que a de três dimensões. É impossível dar um exemplo deste “poiógrafo” que não seja meramente trivial, sem entrar em detalhes de tipos irrelevantes para nosso objetivo. Prefiro introduzir os detalhes irrelevantes, em vez de tratar essa parte do assunto de forma superficial.

Para termos o exemplo de um “poiógrafo” que não nos leve ao complexo incidente sobre sua aplicação na ciência classificatória, sigamos Sra. Alicia Boole Stott[22] em sua representação do silogismo por seus meios. Ela ficará interessada em descobrir que a diferença curiosa que ela detectou tem significância.

Um silogismo consiste em duas afirmações, uma premissa maior e a secundária, com a conclusão que pode ser tirada delas. Assim, veja, por exemplo, a Figura 49.

Figura 49

É evidente, olhando as figuras sucessivas que, se sabemos que a região M está inteiramente dentro da região P, e que também sabemos que a região S está inteiramente dentro da região M, podemos concluir que a região S está inteiramente dentro da região P. M é P, premissa maior; S é M, premissa menor; S é P, conclusão. Dadas as primeiras duas informações devemos concluir que S está em P. A conclusão S é P envolve os dois termos, S e P, que são, respectivamente, chamados o sujeito e o predicado, as letras “S” e “P” sendo escolhidas como referência às partes das noções, que eles se destinam na conclusão. S é o sujeito da conclusão, P é o predicado da conclusão.

A premissa maior que pegamos, aquela que não envolve S, e aqui sempre escreveremos primeiro.

Existem diversas variedades de afirmações possuindo diferentes graus de universalidade e maneiras de assertividade. Essas formas diferentes de afirmações são chamadas de modos.

Tomaremos a premissa maior como uma variável, como uma coisa capaz de diferentes modificações do mesmo tipo, a premissa menor como a outra e os diferentes modos consideraremos como as variações que estas variáveis sofrem.

Existem 4 modos: –

1. A universal afirmativa, chamado modo A: todo M é P.
2. A universal negativa, modo E: nenhum M é P.
3. A particular afirmativa, modo I: algum M é P.
4. A particular negativa, modo O: algum M não é P.

As linhas pontilhadas em 3 e 4, figura 50, denotam que não é sabido se existe ou não um objeto, correspondendo ao espaço ao qual a linha pontilhada delimita; portanto, no modo I nós não sabemos se existe algum M onde não há P, só sabemos que alguns M são P.

Figura 50

Representando a premissa maior em seus vários modos com as regiões marcadas pelas linhas verticais para a direita de PQ, temos na figura 51, subindo pelas quatro letras AEIO, quatro colunas, cada uma delas indicando que a premissa maior está denotada no modo da respectiva letra.

Figura 51

Na primeira coluna para a direita de PQ está o modo A. Agora acima da linha RS marcaremos as quatro regiões das premissas secundárias. Portanto, na primeira fila acima temos todas as regiões entre RS e a primeira linha horizontal acima dela denota que a premissa menor está no modo A. As letras E, I, O, da mesma forma mostram o modo caracterizando a premissa menor nas linhas em oposição a essas letras.

Ainda temos que exibir a conclusão. Para fazer isto devemos considerar a conclusão como uma terceira variável, caracterizada em suas variedades diferentes pelos quatro modos – isso sendo a classificação silogística. A introdução de uma terceira variável envolve a mudança em nosso tipo de representação.

Antes de começarmos com as regiões à direita de uma linha como representação sucessiva da premissa maior em seus modos; agora devemos iniciar com as regiões à direita de um plano. Seja LMNR o plano de face do cubo, figura 52, e o cubo dividido em quatro partes por seções paralelas a LMNR.

Figura 52

A variável, a premissa maior, é representada pelas regiões sucessivas que ocorrem à direita do plano LMNR – essa região à qual está indicada por A, aquela fatia do cubo, é significativa do modo A. Essa quarta parte do cubo representa que cada parte da premissa maior está no modo A.

De forma similar a próxima seção, a segunda com a letra E, representa que para cada um dos dezesseis pequenos espaços cúbicos nele, a premissa maior está com o modo E. A terceira e quarta seção feitas pelas seções verticais denotam a premissa maior com os modos I e O. No entanto, o cubo pode ser dividido de outras formas por outros planos. Deixe a divisão, da qual quatro se esticam da face frontal, corresponder à premissa menor. A primeira parede de dezesseis cubos, de frente ao observador, tem como sua característica que em cada um dos pequenos cubos ou o que quer que seja o caso, a premissa menor no seu modo A. A variável – a premissa menor – varia nas fases A, E, I e O se afastando da face frontal do cubo, ou do plano frontal do qual a face frontal faz parte.

E agora podemos representar a terceira variável da mesma forma precisa. Podemos chegar à conclusão conforme a terceira variável passa pelas suas quatro fases do plano do solo para cima. Cada um dos pequenos cubos da base do cubo inteiro tem essa verdade, ou o que quer que seja o caso, de que a conclusão é, nela mesma, no modo A.

Portanto, para recapitular, a primeira parede dos dezesseis pequenos cubos, a primeira das quatro paredes que, procedendo da esquerda para a direita, constrói todo o cubo, é caracterizado em cada parte dela por isso, que a premissa maior está no modo A.

A próxima parede denota que a premissa maior está no modo E, e assim por diante. Procedendo da frente para trás está a região pela qual a premissa menor está no modo E, e assim por diante. Nas camadas de baixo para cima, a conclusão atravessa seus vários modos começando com A na mais baixa, E na segunda, I na terceira, O na quarta.

No caso geral, na qual as variáveis representadas no “poiógrafo” passam por uma ampla gama de valores, os planos dos quais medimos seus graus de variação em nossa experiência são ampliados indefinidamente.

Nesse caso, entretanto, tudo o que estamos preocupados é com a região finita.

Agora temos que representar, com alguma limitação do complexo que obtivemos, o fato de que nem todas as combinações de premissas justificam qualquer tipo de conclusão.

Isso pode ser simplesmente afetado pela marcação das regiões em que, sendo as premissas definidas pelas posições, é encontrada uma conclusão válida.

Tomando a conjunção da premissa maior, todo M é P, e da secundária, todo S é M, concluímos que todo S é P.

Assim, a região que deve ser marcada na qual temos a conjunção da premissa maior no modo A; premissa menor, no modo A; conclusão, no modo A. Esse é o cubo ocupando o mais baixo à esquerda do cubo maior.

Procedendo dessa forma, encontramos que as regiões que devem ser marcadas são as demonstradas na figura 53.

Figura 53

Discutamos o caso mostrado pelo cubo marcado que aparece no topo da Figura 53. Aqui a premissa maior está na segunda parede à direita – está no modo E e é do tipo nenhum M é P. A premissa menor está no modo caracterizado pela terceira parede da frente. É do tipo algum S é M. Dessas premissas desenhamos a conclusão que algum S não é P, a conclusão no modo O. Agora o modo O da conclusão é representado na camada do topo. Portanto vemos que a marca está correta a este respeito.

Naturalmente, seria possível representar o cubo em um plano pela forma de quatro quadrados, como na Figura 54, se considerarmos cada quadrado representando meramente o início da região que representa.

Figura 54

Portanto o cubo inteiro pode ser representado por quatro quadrados verticais, cada um representando uma prateleira vertical, e as marcações seriam conforme demonstrado. No número 1 a premissa maior no modo A para a região inteira indicada pelo quadrado vertical de dezesseis divisões; para número 2 está no modo E, e assim por diante.

Uma criatura confinada no plano deverá adotar uma maneira tão disjunta para representar o cubo inteiro. Ele seria obrigado a representar aquilo que vemos como inteiro em partes separadas, e cada parte meramente representaria, não seria, este sólido que vemos.

A visão desses quatro quadrados que a criatura do plano teria não seria como a nossa. Ele não veria o interior dos quatro quadrados representados acima, mas cada um estaria inteiramente contido em seus contornos, as fronteiras internas dos quadrados pequenos separados ele não poderia ver, excetuando se removesse os outros quadrados.

Agora estamos prontos para introduzir a quarta variável envolvida no silogismo.

Ao atribuir letras para denotar os termos do silogismo, pegamos S e P para representar o sujeito e predicado na conclusão, portanto na conclusão sua ordem é invariável. Mas nas premissas nós tomamos arbitrariamente a ordem: todo M é P, e todo S é M.

Não há razão porque M ao invés de P não poderia ser o predicado da premissa maior, e assim por diante.

Consequentemente, tomamos a ordem dos termos nas premissas como as quatro variáveis. Nessa ordem há quatro variáveis, e essas variáveis são chamadas figuras.

Usando a ordem na qual as letras são escritas para denotar que a primeira letra é o sujeito, e a segunda escrita é o predicado, temos as seguintes possibilidades:

1^a Figura.     2^a Figura.     3^a Figura.         4^a Figura.

Principal            M  P             P  M            M  P              P  M

Secundária        S  M              S  M            M  S              M  S

Existem, portanto, quatro possibilidades em relação a essas quatro variáveis considerando as premissas.

Usamos nossas dimensões de espaço representando as fases das premissas e a conclusão a respeito ao modo, e para representar de uma forma análoga as variações na figura requeremos uma quarta dimensão.

Agora ao trazer essa quarta dimensão devemos fazer uma mudança em nossas origens de medidas análogas àquilo que fizemos ao passar do plano para o sólido.

Essa quarta dimensão se supõe que funcione perpendicular a qualquer uma das três dimensões do espaço, uma vez que a terceira dimensão espacial funciona em ângulos retos com as duas dimensões do plano, e assim, nos dá a oportunidade de gerar um novo tipo de volume. Se o cubo inteiro se move nessa dimensão, o sólido em si traça um caminho, cada seção, feita em ângulo reto a essa direção que se move, é um sólido, uma repetição exata do próprio cubo.

O cubo, como o vemos, é o início do sólido desse tipo. Representa um tipo de bandeja, pois a face quadrada do cubo é uma espécie de bandeja contra a qual o cubo repousa.

Suponha que o cubo se mova nessa quarta dimensão em quatro etapas, e seja a região do hiper-sólido traçada nos primeiros estágios de seu progresso caracterizada por isso, que os termos do silogismo estão na primeira figura, então podemos representar em cada um dos três estágios subsequentes as três figuras remanescentes. Portanto o cubo inteiro forma a base da qual medimos as variações na figura. Essa primeira figura é válida para o cubo como o vemos, e para aquele hiper-sólido que está dentro do primeiro estágio; a segunda figura é válida para o segundo estágio e assim por diante.

Assim medimos a partir do todo o cubo no que diz respeito às figuras.

Mas dizemos que, quando medimos no próprio cubo com três variáveis, ou seja, as duas premissas e a conclusão, nós medimos com três planos. A base com a qual medimos em todos os casos era a mesma.

Assim, ao medir, nesse espaço superior, devemos ter bases do mesmo tipo a serem medidas, devemos ter bases sólidas.

A primeira base sólida é fácil de ser vista, é o próprio cubo.

A outra pode ser encontrada a partir dessa consideração.

O sólido a partir do qual medimos a figura é aquele em que as demais variáveis passaram por uma gama completa de variedades.

Agora, se queremos medir a respeito dos modos da premissa maior, devemos deixar a premissa menor, a conclusão, percorrer seu alcance. E também a ordem dos termos. Isto é, devemos tomar como base de medição em relação ao modo do principal que representam as variações dos modos do secundário, da conclusão e a variação das figuras.

Agora, as variações do modo do secundário e da conclusão estão representadas no quadrado de face do lado esquerdo do cubo. As variedades das figuras são representadas por estágios de movimento que prosseguem em ângulos retos para todas as direções espaciais, consequentemente em relação à face em questão, a face do lado esquerdo do cubo. Consequentemente movendo a face do lado esquerdo nessa direção teremos um cubo, e nesse cubo todas as variedades da premissa menor, a conclusão e a figura estão representadas.

Assim, outra base de medidas é dada ao cubo, gerada pelo movimento do quadrado do lado esquerdo na quarta dimensão.

Encontramos as outras bases de forma semelhante, uma no cubo gerado pelo quadrado frontal na quarta dimensão assim como ao cubo gerado. As variações no modo da secundária são medidos nesse cubo. A quarta base é encontrada movendo o quadrado da base do cubo na quarta dimensão. As variações da principal, secundária e da figura são dadas nesse cubo. Considerando isso como a base nos quatro estágios a partir dele, as variações de modo da conclusão são dados.

Qualquer uma dessas bases cúbicas pode ser representada no espaço, e o sólido mais elevado gerado a partir delas fica fora de nosso espaço. Só pode ser representado por um dispositivo análogo ao que o cubo representa para um ser do plano.

Ele representa o cubo mostrado acima, pegando quatro seções quadradas e os colocando arbitrariamente a distâncias convenientes umas das outras.

Então devemos representar esse sólido superior por quatro cubos: cada cubo representa apenas o começo do volume mais elevado correspondente. É suficiente para nós, então, se desenharmos quatro cubos, o primeiro representando a região na qual a figura é do primeiro tipo, a segunda aquela região na qual a figura é do segundo tipo, e assim por diante. Esses cubos são meramente os começos das respectivas regiões – eles são as bandejas, por assim dizer, contra os quais os sólidos devem ser concebidos como descansando, a partir do qual eles começam. O primeiro, como é no início da região da primeira figura, está caracterizado pela ordem dos termos das premissas sendo os da primeira figura. O segundo, similarmente, tem os termos das premissas na ordem da segunda figura, e assim por diante.

Esses cubos estão demonstrados abaixo.

Para mostrar as propriedades do método de representação, não pela lógica do problema, farei uma digressão. Quero representar no espaço os modos da premissa menor e da conclusão e as diferentes figuras, mantendo a primária sempre no modo A.

Aqui temos três variáveis em estágios diferentes, a secundária, a conclusão e a figura. Seja o quadrado do lado esquerdo do cubo original imaginado como por si mesmo, sem a parte sólida do cubo, representado por (2) na figura 55.

Figura 55

A, E, I e O na horizontal representam o modo da premissa menor, e A, E, I e O na vertical representam o modo da conclusão. O quadrado inteiro, desde que seja o começo da região da premissa maior, de modo A, é considerado como a premissa maior, modo A.

A partir desse quadrado, suponha que a direção na qual as figuras estão representadas está para o lado esquerdo. Portanto temos um cubo (1) partindo do quadrado acima, no qual o quadrado em si está escondido, mas as letras A, E, I e O da conclusão são vistas. Nesse cubo temos a premissa menor e a conclusão em todos os seus modos, e todas as figuras representadas. No que diz respeito à premissa maior, uma vez que a face (2) pertence à primeira parede da esquerda no arranjo original, e nesse arranjo estava caracterizado pela premissa maior no modo A, podemos dizer que todo o cubo que temos agora representa o modo A da premissa maior.

Daí o pequeno cubo no topo da direita em 1, o mais próximo do observador, é impressão principal, modo A; conclusão, modo A; e figura o primeiro.

O cubo próximo a ele, à esquerda, é a premissa maior, modo A premissa menor, modo A; conclusão, modo A; figura 2.

Então nesse cubo temos as representações de todas as combinações que podem ocorrer quando a premissa maior, permanecendo no modo A, a premissa menor, a conclusão, e as figuras passam por suas variáveis.

Nesse caso não há lugar no espaço para uma representação natural dos modos da premissa maior. Para representá-los devemos supor, como anteriormente, que existe uma quarta dimensão, e partindo desse cubo como base na quarta direção em quatro estágios iguais, todo o primeiro volume correspondendo à premissa maior A, o segundo à premissa maior, modo E, a próxima ao modo I, e a última ao modo O.

O cubo que vemos é como se fosse meramente uma bandeja contra a qual a figura de quatro dimensões repousa. Suas seções em qualquer estágio é o cubo. Mas a transição nessa direção sendo transversal a todo o nosso espaço é representada por nenhum movimento espacial. Podemos exibir estágios sucessivos do resultado da transferência do cubo naquela direção, mas não podemos exibir o produto daquela transferência, mesmo que pequena, naquela direção.

Para retornar ao método original de representação de nossas variáveis, considere a Figura 56.

Figura 56

Esses quatro cubos representam quatro seções da figura derivada da primeira delas movendo-a na quarta dimensão. A primeira porção do movimento, que começa com 1, traça um corpo mais do que sólido, que está inteiramente na primeira figura.

O início deste corpo está demonstrado em 1. A próxima porção do movimento traça um corpo mais do que sólido, que está inteiramente na segunda figura; o início deste corpo está demonstrado em 2; 3 e 4 seguem de uma forma igual. Aqui, então, em uma figura da quarta dimensão temos todas as combinações das quatro variáveis, premissa maior, premissa menor, figura, conclusão, representados, cada variável indo através de suas quatro variações. Esses cubos desconectados desenhados são nossa representação no espaço pela forma de seções desconectadas desse corpo mais elevado.

Agora é apenas um número limitado de conclusões que são verdadeiras – sua verdade depende da combinação particular das premissas e figuras que eles acompanham.

A figura total, assim representada, pode ser chamada de universo de pensamento em relação a esses quatro constituintes, e fora do universo das combinações possivelmente existentes é a província da lógica para selecionar aqueles que correspondem ao resultado de nossas faculdades da razão. Podemos passar por cada uma das premissas em cada modo, e encontrar a conclusão lógica que se segue.

Mas isto é feito nos trabalhos sobre lógica; de forma mais simples e clara eu creio na “Lógica de Jevon[23]”. Como estamos apenas preocupados com a apresentação formal dos resultados usaremos as linhas mnemônicas abaixo, nas quais as palavras entre parênteses se referem às figuras, e não são significativas:

Barbara celarent Darii ferioque [prioris]

Cesare Camestres Festino Baroco [secundæ].

[Tertia] darapti disamis datisi felapton

Bocardo ferison habet [Quarta insuper addit].

Bramantip camenes dimaris fesapo fresinon.

Nessas linhas cada palavra significativa tem três vogais, a primeira vogal refere à premissa maior, e dá o modo daquela premissa, “a” significando, por exemplo, que o modo principal é o modo a. A segunda vogal se refere à premissa menor, e dá o seu modo. A terceira vogal se refere à conclusão e dá o seu modo. Então (prioris) – da primeira figura – a primeira palavra mnemônica é “Barbara”, e isto dá a premissa maior, modo A; premissa menor, modo A; conclusão, modo A. Da mesma forma no primeiro de nossos quatro cubos marcamos o cubo mais baixo do lado esquerdo frontal. Para tomar outro exemplo na terceira figura “Tertia”, a palavra “ferison” nos dá premissa maior, modo E – por exemplo, nenhum M é P, premissa menor, modo I; algum M é S, conclusão, modo O; algum S não é P. A região a ser marcada então no terceiro cubo de representação é aquele da segunda parede na direita para a premissa maior, a terceira parece da frente para a premissa menor, e o do topo para a conclusão.

É fácil de ver que no diagrama esse cubo é marcado, e assim com todas as conclusões válidas. As regiões marcadas na região total mostram quais combinações das quatro variáveis, premissa maior, premissa menor, figura e conclusão existem.

Ou seja, objetivamos todas as conclusões possíveis, e construímos uma variedade ideal, contendo todas as combinações possíveis delas com as premissas, e então, eliminamos tudo aquilo que não satisfazem as leis da lógica.

O resíduo é o silogismo, considerado como o cânone do raciocínio.

Olhando para a forma que representa a totalidade das conclusões válidas, não apresenta qualquer simetria óbvia, ou natureza facilmente caracterizável. Contudo, uma configuração impressionante é obtida se projetarmos a figura quadridimensional obtida numa tridimensional; isto é, se tomarmos no cubo base todos estes cubos que tem um espaço marcado em qualquer lugar nas séries de quatro regiões que se iniciam daquele cubo.

Isto corresponde a abstração das figuras, dando todas as conclusões que são válidas qualquer que seja a figura. Procedendo desta forma obteremos o arranjo dos cubos marcados mostrado na Figura 57.

Figura 57

Veremos que as conclusões válidas estão arranjadas quase simetricamente em torno do cubo – o do topo da coluna partindo de AAA. Existe, no entanto, uma violação de continuidade nesse esquema. Um cubo está desmarcado, que se marcado, daria simetria. É aquele que seria denotado pelas letras I, E, O, na terceira parede à direita, na segunda parede da camada superior. Agora essa combinação de premissas no modo IE, com uma conclusão no modo O, não está anotada em nenhum livro de lógica que eu esteja familiarizado. Vamos olhar por nós mesmos, deve ter algo curioso em conexão com essa ruptura de continuidade no “poiógrafo”.

As proposições I, E nas várias figuras são as seguintes, conforme mostrado no esquema de acompanhamento, na Figura 58: Primeira figura: algum M é P; nenhum S é M. Segunda figura: algum P é M; nenhum S é M. Terceira figura: algum M é P; nenhum M é S. Quarta figura: algum P é M; nenhum M é S.

Figura 58

Examinando essas figuras, vemos, pegando a primeira, que se algum M é P e nenhum S é M, não temos conclusão se a forma S é P nos vários modos. É bastante indeterminado como o círculo representando S está em relação ao círculo representando P. Pode estar dentro, fora ou parcialmente dentro de P. O mesmo é verdade em relação às outras figuras 2 e 3. Mas quando chegamos na quarta figura, desde que M e S estão completamente fora uma da outra, não pode estar dentro de S a parte de P que está dentro de M. Agora, sabemos pela premissa maior que algum P está em M. Entretanto, S não pode conter a totalidade de P. Em palavras, algum P é M, nenhum M é S, portanto S não contém a totalidade de P. Se tomarmos P como sujeito, isso nos dá uma conclusão no modo O sobre P. Algum P não é S.

Mas não nos dá a conclusão sobre S em nenhuma das quatro formas reconhecidas no silogismo e chamada seu modo. Daí a violação da continuidade no “poiógrafo” nos permitiu detectar uma falta de completude nas relações que são consideradas no silogismo.

Vamos exemplificar: Alguns americanos (P) são afrodescendentes (M); nenhum ariano (S) é afrodescendentes (M); arianos (S) não incluem todos os americanos (P).

Para chegar uma conclusão sobre S devemos admitir a afirmação, “S não contém a totalidade de P”, como uma forma lógica válida – é uma declaração sobre S que pode ser feita. A lógica que nos dá a forma “algum P não é S”, e que não nos permite dar a forma exatamente equivalente e igualmente primária, “S não contém a totalidade de P”, é artificial.

E eu quero apontar que esta artificialidade leva a um erro.

Se alguém confiou nas linhas mnemônicas dadas acima, iria concluir que nenhuma conclusão lógica sobre S pode ser tirada na afirmação, “algum P é M, nenhum M é S”.

Mas a conclusão pode ser desenhada: S não contém a totalidade de P.

Não é que o resultado seja dado expresso de outra forma. As linhas mnemônicas negam que qualquer conclusão possa ser extraída nos modos I, E, respectivamente.

Assim, um simples “poiógrafo” em quatro dimensões nos permitiu detectar um erro nas linhas mnemônicas que perduraram desde há muito tempo.

Para discutir o assunto dessas linhas mais plenamente, uma defesa lógica provavelmente diria que uma afirmação em particular não poderia ser uma premissa maior; e assim negar a existência da quarta figura na combinação dos modos.

Considerando o nosso exemplo: alguns americanos são afrodescendentes; nenhum ariano é afrodescendentes. Ele diria que a conclusão é: alguns americanos não são arianos; e a segunda afirmação é a primária. Ele se recusaria a dizer qualquer coisa sobre os arianos, condenando-nos a um silêncio eterno sobre eles, no que diz respeito a estas premissas! Mas, se existe uma afirmação envolvendo a relação das duas classes, deve ser expressiva como uma afirmação sobre qualquer um deles.

Para evitar a conclusão, ‘arianos não incluem todos os americanos’, é puramente improvisado em favor de uma falsa classificação. E o argumento extraído da universalidade da premissa maior não pode ser consistentemente mantido. Isto impediria tais combinações como a principal O, secundária A, conclusão O – isto é, assim como algumas montanhas (M) não são permanentes (P); todas as montanhas (M) são cenário (S); algum cenário (S) não é permanente.

Isso é permitido na ‘Lógica de Jevon’ e sua omissão em discutir I, E, O na quarta figura é inexplicável. Um “poiógrafo” satisfatório do esquema lógico pode ser feito admitindo o uso das palavras: algum, nenhum, ou todos sobre o predicativo assim como sobre o sujeito. Então podemos expressar as afirmações, ‘Arianos não incluem todos os americanos’, desajeitadamente, mas quando sua obscuridade é esclarecida, corretamente, como ‘alguns arianos não são totalmente americanos’. E este método é o que chamamos de ‘quantificação do predicado’.

As leis da lógica formal são coincidentes com as conclusões que podem ser desenhadas sobre as regiões do espaço, que sobrepõem uma à outra nas várias formas possíveis. Não é difícil indicar as relações ou de obter um “poiógrafo” simétrico. Mas entrar nesse ramo da geometria está fora do nosso propósito presente, que é mostrar a aplicação do “poiógrafo” na região finita e limitada, sem nenhuma destas complexidades que atendam seu uso em relação aos objetos naturais.

Se tomarmos as últimas plantas, por exemplo, e, sem assumir direções fixas no espaço como representativas de variações definidas, organize os pontos representativos de tal forma a corresponder à similaridade dos objetos, obteremos configurações de interesse singular; e talvez dessa forma, na criação de formas das formas, corpos com corpos omitidos, poderemos obter algumas informações sobre a estrutura de espécies e gêneros.

CAPÍTULO IX – APLICAÇÃO DA TEORIA DE EXPERIÊNCIA DE KANT

Quando observamos os corpos celestes, percebemos que todos participam de um movimento universal – uma revolução diurna em torno do eixo polar.

No caso das estrelas fixas, isso é a mais absoluta verdade, mas, no caso do Sol e também dos Planetas, o simples movimento de revolução pode ser discernido, modificado e ligeiramente alterado por outros movimentos secundários.

Daí a característica universal dos corpos celestes é que eles se movem em um círculo diurno.

Mas sabemos que esse único grande fato, que é verdadeiro sobre todos eles, tem na realidade nada a ver com eles. A revolução diária que eles, visivelmente realizam, é o resultado das condições do observador. É devido ao observador que estando sobre uma Terra que gira em torno si torna possível fazer uma declaração universal sobre os corpos celestes.

A afirmação universal que é válida sobre cada um dos corpos celestes é a que não diz respeito a eles, e é apenas uma condição do observador.

Agora, existem declarações universais de outros tipos que podemos fazer. Podemos dizer que todos os objetos de experiência estão no espaço e são sujeitos às leis da geometria.

Isso quer dizer que o espaço e tudo o que isto significa é devido a uma condição do observador?

Se uma lei universal em um caso não significa nada que afete os próprios objetos, mas apenas uma condição do observador, isso é verdade em todos os casos? A astronomia há nos mostrado uma vera causa[24] para a afirmação de uma universal.

A mesma causa é rastreada em todos os lugares? Assim como uma primeira aproximação da doutrina da Crítica de Kant[25].

É a apreensão de uma relação na qual, de um lado ou de outro, constituintes perfeitamente definidos entram – o observador humano e as estrelas – e uma transferência dessa relação para uma região em que os membros de ambos os lados são perfeitamente desconhecidos.

Se a espacialidade se deve à uma condição do observador, o próprio observador não pode ser esse nosso próprio corpo – o corpo, como os objetos à sua volta, está igualmente no espaço.

Essa concepção que Kant aplicou, não apenas às intuições dos sentidos, mas aos conceitos da razão – onde quer que seja feita uma declaração universal lhe é oferecida uma oportunidade para a aplicação do seu princípio. Ele construiu um sistema em que quase não se sabe o que mais admirar: a habilidade arquitetônica ou a reticência em relação às coisas nelas mesmas e o observador em si mesmo.

Seu sistema pode ser comparado a um jardim, um tanto formal talvez, mas com o charme de uma qualidade mais que intelectual, uma calma, uma esquisita moderação sobre todos. E do chão ele preparou tão cuidadosamente com aquilo enterrado na obscuridade, que é apropriado e deve ser obscuro, a ciência floresce e a árvore do real conhecimento cresce.

A crítica é um armazém de ideias de profundo interesse.

Aquele que deu uma declaração parcial leva, como veremos ao estudar em detalhes, a uma teoria matemática sugestiva de indagações em várias direções.

A justificativa para o meu tratamento será encontrada entre outras passagens naquela parte da análise transcendental, na qual Kant fala de objetos da experiência sujeitos a formas de sensibilidade, não sujeitos ao conceito da razão.

Kant afirma que sempre que pensamos, pensamos nos objetos no espaço e no tempo, mas ele nega que o espaço e tempo existam como entidades independentes. Ele vai, para explicá-los, e sua universalidade, não os assumindo, como a maioria dos outros filósofos faz, mas para postular sua ausência. Como então é isso, já que para nós o mundo está no espaço e tempo?

Kant tem a mesma posição em relação ao que ele chama de natureza – um grande sistema sujeito à lei e ordem.

‘Como você explica a lei e a ordem na natureza? ’, perguntamos aos filósofos. Todos, excetuando Kant, respondem assumindo a lei e a ordem em algum lugar, e mostrando como podemos reconhecê-los.

Ao explicar nossas noções, os filósofos de um ponto de vista diferente de Kant, assumem as noções de existência fora de nós, e então não é difícil mostrar como eles vem até nós, ou por inspiração ou por observação.

Perguntamos: ‘Porque temos uma ideia de lei na natureza? ”.

‘Porque os processos naturais acontecem de acordo com a lei’, respondem, ‘e a experiência herdada ou adquirida nos dá esta noção. ’.

Mas quando falamos da lei na natureza estamos falando sobre a noção de nós mesmos. Assim tudo o que esses expositores fazem é explicar a nossa noção pela assunção dele.

Kant é muito diferente. Ele não supõe nada. Uma experiência como a nossa é muito diferente da experiência no abstrato. Imagine apenas uma experiência simples, sucessão de estados de consciência? Por que não haveria nenhuma conexão entre si, não haveria nenhuma identidade pessoal, nenhuma memória? Está fora da experiência geral como essa, na qual, em respeito a tudo que chamamos de real, é menos que um sonho, que Kant mostra o Gêneses de uma experiência como a nossa.

Kant considera o problema de explicar o espaço, tempo, a ordem e, assim, logicamente não os pressupõe.

Mas como, quando cada pensamento é sobre coisas do espaço, tempo e da ordem devemos representar para nós mesmos aquele perfeitamente indefinido que é a hipótese necessária de Kant – aquele que não é no espaço ou tempo e não é ordenado. Este é o nosso problema, para representar aquilo que Kant assume que não é sujeito a nenhuma de nossas formas de pensamento, e então mostra algumas funções que trabalhando nelas faz delas algo ‘natural’ sujeito a lei e ordem, em espaço e tempo. Esta função Kant chama de ‘Unidade de percepção’; isto é, o que torna nosso estado de consciência capaz de ser incorporado a um sistema com um Eu, um mundo exterior, memória, lei, causa e ordem.

A dificuldade que encontramos em discutir a hipótese de Kant é que tudo o que pensamos está no espaço e no tempo – como então devemos representar no espaço um espaço não existente, e no tempo uma existência atemporal?

Essa dificuldade é ainda mais evidente quando vamos construir um “poiógrafo”; para um “poiógrafo” é essencial uma estrutura espacial. Mas porque é mais evidente a dificuldade estar mais próxima de uma solução. Se sempre pensamos em espaço, isto é, usando os conceitos espaciais, o primeiro requisito condicionante para adaptá-los à representação de uma existência não espacial, é estar ciente da limitação do nosso pensamento, e assim ser capaz de tomar as medidas necessárias para superar isto.

O problema diante de nós, então, é representar no espaço uma existência não espacial.

A solução é simples. É providenciada pela concepção da alternatividade.

Para que nossas ideias estejam claras vamos voltar atrás para as distinções entre um mundo interno e externo. Ambos, diz Kant, são produtos. Vamos tomar, meramente, estados de consciência, e não fazer a pergunta se são produzidos ou super-induzidos – para fazer tal pergunta é ter chegado muito longe, é ter assumido algo que não rastreamos a origem. Desses estados digamos que simplesmente ocorrem. Vamos, agora, usar a palavra ‘posit’ para uma fase da consciência reduzida a seu último estágio de evanescência; vamos considerar uma posit esta fase de consciência da qual tudo o que pode ser dito é que ocorre.

Seja a, b, c três destes tais posits. Não podemos representá-los no espaço sem colocá-los em certa ordem, como a, b, c. Mas Kant distingue entre as formas de sensibilidade e os conceitos da razão. Um sonho em que tudo acontece ao acaso seria uma experiência sujeita a forma de sensibilidade e apenas parcialmente sujeito ao conceito da razão. É um sujeito parcial ao conceito da razão porque, embora não haja ordem de sequência, ainda assim em qualquer tempo dado existe uma ordem. Percepção de uma coisa no espaço é uma forma de sensibilidade, a percepção de uma ordem é um conceito de razão.

Devemos, portanto, a fim de chegar ao processo que Kant supõe ser constitutivo de uma experiência ordenada, imaginar os posits como estando no espaço sem ordem.

Como os conhecemos eles devem ter alguma ordem: abc, bca, cab, acb, cba, bac, uma ou outra.

Para representá-los sem uma ordem imagine todas essas ordens como existindo igualmente. Introduza o conceito da alternatividade – vamos supor que a ordem abc, e bac, por exemplo, existam igualmente, de tal forma que não podemos falar de a que venha antes ou depois de b. Isto irá corresponder a uma mudança brusca e arbitrária de a por b e b por a, de tal forma, usando as palavras de Kant, que seria possível chamar uma coisa de um nome em um tempo e em outro tempo de outro nome.

Em uma experiência desse tipo teremos um tipo de caos, no qual não existe ordem; é uma variedade não sujeita ao conceito da razão.

Agora, existe algum processo no qual a ordem pode ser introduzida em tal variedade – existe alguma função de consciência em virtude da qual uma experiência ordenada poderia surgir?

Na condição precisa em que os posits estão, como descrito acima, não parece ser possível. Mas se imaginarmos a existência de uma dualidade na variedade, uma função de consciência pode ser facilmente descoberta e produzirá ordem na desordem.

Deixe-nos imaginar cada posit, então, tendo um duplo aspecto.

Seja a como sendo 1a, no qual o aspecto duplo é representado por uma combinação de símbolos. E similarmente seja b como sendo 2b, c como sendo 3c, no qual 2 e b representam aquele aspecto duplo de b, 3 e c aqueles do c.

Desde que a possa arbitrariamente mudar para b, ou c, e assim por diante, as combinações particulares escritas acima não podem ser mantidas. Devemos assumir que é igualmente possível a ocorrência de formas como 2a, 2b, e assim por diante; e com o objetivo de fazer uma representação de todas estas combinações da qual qualquer conjunto é alternativamente possível, devemos tomar cada aspecto com cada aspecto. Devemos, isto é, ter cada letra com cada número.

Vamos, agora, aplicar o método da representação espacial.

Nota – No início do próximo capítulo as mesmas estruturas como estas que seguem irão ser exibidas em maiores detalhes e uma referência a elas irá remover qualquer obscuridade que poderá ser encontrada na passagem que segue imediatamente. Elas estão lá mais carregadas de uma multiplicidade de dimensões, e a significância do processo aqui brevemente explicado ficará mais aparente.

Tome três eixos mutuamente retangulares no espaço 1,2, 3 (figura 59) e em cada marco três pontos, o ponto de encontro em comum sendo o primeiro de cada eixo.

Figura 59

Então por meio desses três pontos em cada eixo, definimos 27 posições, 27 pontos em um conjunto cúbico, mostrado na figura 60, usando o mesmo método de coordenadas como descrito anteriormente.

Figura 60

Cada uma dessas posições pode ser nomeada pelo meio dos eixos e dos pontos combinados.

Então, por exemplo, o marco com o asterisco pode ser 1c, 2b, 3c porque é oposto a c em 1, a b em 2 e a c em 3[26].

Vamos, agora, tratar os estados de consciência correspondentes a essas posições. Cada ponto representa a composição de posits, e a variedade de consciência correspondente a eles é de uma certa complexidade.

Suponha agora que os constituintes, os pontos nos eixos, trocando entre si arbitrariamente, qualquer um se tornando qualquer outro, e também os eixos, 1, 2 e 3, trocando entre si, qualquer um se tornando qualquer outro, e não sendo sujeitos a sistema ou lei algum, isto é, que não existe ordem, e que os pontos abc de cada eixo podem se tornar bac, e assim por diante.

Então cada um dos estados de consciência representados pelos pontos do grupo pode se tornar qualquer outro. Temos uma representação de uma consciência aleatória de um certo grau de complexidade.

Agora vamos examinar, cuidadosamente, um caso particular de troca arbitrária de pontos, a, b, c; como um desses casos, cuidadosamente considerado, torna tudo mais claro.

Figura 61

Considere os pontos na figura 1c, 2a, 3c; 1c, 2c, 3a; 1a, 2c, 3c, e examine o efeito neles quando uma troca na ordem lugar é feita. Vamos supor, por exemplo, que a troca para b, e vamos mostrar os dois conjuntos de pontos que obtemos, o anterior e o posterior, suas trocas conjugadas.

Antes da troca 1c 2a 3c; 1c 2c 3ª; 1a 2c 3c.  }

 Depois da troca 1c 2b 3c; 1c 2c 3b; 1b 2c 3c  } Conjugados

Os pontos circulados na figura 61 representam os pontos conjugados.

É evidente que a consciência, representada primeiramente pelo primeiro conjunto de pontos e depois pelo segundo conjunto de pontos, não terá nada em comum nas duas fases. Não seria capaz de dar conta de si mesmo. Não haveria identidade.

Se, no entanto, pudermos encontrar algum conjunto de pontos no conjunto cúbico, que, quando qualquer troca arbitrária toma lugar nos pontos nos eixos, ou nos eixos em si, se repetem, é produzido, então a consciência representada por estes pontos terá uma permanência. Terá um princípio de identidade. Apesar de nenhuma lei, nenhuma ordem, dos constituintes finais, teria uma ordem, formaria um sistema e as condições de uma identidade pessoal seriam cumpridas.

A questão vem a isso, então. Podemos encontrar um sistema de pontos que seja auto-conjudado, de tal forma que quando qualquer ponto nos eixos se torna outro, ou quando qualquer eixo se torna outro, este conjunto é transformado em si mesmo, sua identidade não é submergida, mas surge superior ao caos de sua constituição?

Este conjunto pode ser encontrado.

Considere o conjunto representado na figura 62, e escreva na primeira das duas primeiras linhas:

Auto-{1a 2b 3c   1b 2a 3c   1c 2a  3b   1c 2b 3a   1b 2c 3a   1a 2c 3b

conjugado {1c 2b 3a   1b 2c 3a   1a 2c 3b   1a 2b 3c   1b 2a 3c   1c 2a 3b

Figura 62

Se agora a torna c e c torna a, teremos o conjunto na segunda linha, que tem os mesmos membros que estão na linha superior. Olhando o diagrama vemos que corresponde simplesmente a girar a figura como um todo[27]. * Qualquer troca arbitrária dos pontos nos eixos, ou dos próprios eixos, reproduz o mesmo conjunto.

Então, uma função, na qual uma consciência aleatória e desordenada pode dar uma ordenada e sistemática, pode ser representada. É notório que é um sistema de seleção. Se fora de todas as formas alternadas são apenas atendidas aquelas que são auto-conjugadas, uma consciência ordenada é formada. A seleção dá uma característica de permanência.

Podemos dizer que a consciência permanente é esta seleção?

Uma analogia entre Kant e Darwin vem à luz.

Aquilo que se afasta do fugaz, em virtude de apresentar uma característica de permanência. Não há necessidade de supor qualquer função de “atender”. A consciência capaz de dar conta de si mesma é uma que é caracterizada por essa combinação. Todas as combinações existem – desse tipo é uma consciência que pode dar conta de si mesma. E a própria dualidade que presumimos pode ser considerada como originada por um processo de seleção.

Darwin se coloca explicando a origem da fauna e flora do mundo. Ele nega tendências específicas.

Ele assume uma variabilidade indefinida – isto é, chance – mas uma chance confinada dentro de limites estreitos quanto à magnitude de qualquer variação consecutiva. Ele demonstrou que os organismos possuem características de permanência; se eles ocorriam, seriam preservados. Então sua consideração de qualquer estrutura ou ser organizado era que possuía características de permanência.

Kant, não assumindo a explicação de qualquer fenômeno em particular, mas aquilo que chamamos de natureza como um todo, tem uma origem das espécies própria, um relato da flora e da fauna da consciência. Ele nega qualquer tendência específica dos elementos da consciência, mas tomando nossa própria consciência, apontou aquela em que se assemelhava a qualquer consciência que pudesse sobreviver, que pudesse dar conta de si mesma.

Ele assume uma chance ou um mundo aleatório, e como tão grande ou pequeno não davam a ele noção do que poderia fazer uso, ele não limitou a chance, a aleatoriedade, de forma alguma. Mas qualquer consciência que é permanente deve possuir certas características – aqueles atributos que dão a ele permanência. Qualquer consciência como a nossa é simplesmente uma consciência que possui estes atributos. O principal é o que ele chama de unidade de percepção, que vimos acima é simplesmente a afirmação que um conjunto particular de fases de consciência com base na aleatoriedade completa será auto-conjugada, e tão permanente.

Assim como acontece com Darwin e com Kant, a razão da existência de qualquer característica vem a isto – mostra que tende à permanência daquilo que possui.

Podemos considerar Kant como o criador da primeira teoria da evolução moderna. E, como tão frequente é o caso, o primeiro esforço foi o mais estupendo em seu escopo.

Kant não investiga a origem de nenhuma parte especial do mundo, assim como seus organismos, seus elementos químicos, as comunidades sociais dos seres humanos. Ele simplesmente investiga a origem do todo – de tudo que é incluído na consciência, a origem da “coisa pensada”, cuja realização progressiva é o universo do conhecimento.

Esse ponto de vista é muito diferente do comum, no qual um ser humano é supostamente colocado em um mundo como aquele que ele pensou, e então para aprender o que ele encontrou desse modelo que ele mesmo colocou em cena.

Todos sabemos que há uma série de questões ao tentar uma resposta para o qual tal pressuposto não é permitido.

Mill[28], por exemplo, explica nossa noção de “lei” por uma sequência invariável na natureza. Mas o que chamamos de natureza é algo dado no pensamento. Assim ele explica o pensamento da lei e ordem pelo pensamento de uma sequência invariável.

Ele deixa o problema onde o encontrou.

A teoria de Kant não é única e sozinha. É uma de uma série de teorias da evolução. A noção de sua importância e significação pode ser obtida pela comparação dela com outras teorias.

Então no mundo teórico da seleção natural de Darwin é feita uma certa suposição, a hipótese da variabilidade indefinida – leve variabilidade é verdadeira, em qualquer lapso de tempo apreciável, mas indefinida nas épocas postuladas de transformação – e toda uma série de resultados é mostrado em seguida.

Essa variação de elemento de chance não é, entretanto, um lugar de descanso final. É um estágio preliminar. Isso tudo supondo que seja um passo preliminar para descobrir o que é. Se cada tipo de organismo pode chegar a existir, aqueles que sobreviverão terão tais e tais características. Esse é o início necessário para determinar quais tipos de organismos podem existir.

Assim a hipótese de Kant de uma consciência aleatória é o início necessário para uma investigação racional da consciência como ela é. Seu pressuposto presume, por assim dizer, o espaço em que podemos observar o fenômeno.

Fornece as leis gerais constitutivas de qualquer experiência. Se, na hipótese de aleatoriedade absoluta nos constituintes, tal e tal sejam constituintes da experiência, então, independente dos constituintes, essas características devem ser universalmente válidas.

Vamos agora examinar mais cuidadosamente o “poiógrafo”, construído com o propósito de exibir uma ilustração da teoria de Kant sobre a apercepção.

Para mostrar a derivação da ordem fora da falta de ordem devemos necessariamente assumir o princípio da dualidade – temos os eixos e os posits nos eixos – existem dois conjuntos de elementos, cada um não ordenado, e é na relação recíproca deles que a ordem, o sistema definitivo, se origina.

Existe alguma coisa na nossa experiência sobre a natureza de uma dualidade?

Certamente existem objetos em nossa experiência que possuem ordem e aqueles que são incapazes de ordem. As duas raízes de uma equação quadrática não têm ordem. Ninguém pode dizer qual vem primeiro. Se um corpo se ergue verticalmente e depois forma um ângulo reto ao seu curso inicial, ninguém pode atribuir prioridade para a direção norte ou leste. Não há prioridade em direções de virar. Associamos giros sem ordem, progressões em uma linha com ordem. Mas nos eixos e pontos assumimos acima que não há tal distinção. É o mesmo se assumimos uma ordem nas viradas e nenhuma ordem nos pontos dos eixos, ou, vice-versa, uma ordem nos pontos e nenhuma nas viradas. Um ser com um infinito número de eixos mutuamente em ângulos retos, com uma definitiva sequencia entre eles e nenhuma sequencia entre os pontos dos eixos, estaria em uma condição formalmente indistinguível de uma criatura que, de acordo com uma suposição mais natural para nós, tem em cada eixo um número infinito de pontos ordenados e nenhuma ordem ou prioridade nos eixos. Um ser em um mundo tão constituído não seria capaz de dizer o que seria giro e o que seria comprimento ao longo do eixo, de modo a fazer uma distinção entre eles. Portanto para tomar uma ilustração pertinente, podemos estar em um mundo com um número infinito de dimensões, com três pontos arbitrários nele – três pontos cuja ordem é indiferente, ou em um mundo com três eixos de sequência arbitrária com um número infinito de pontos ordenados em cada. Não podemos dizer qual é qual, para distinguir uma da outra.

Assim, parece que o modo de ilustração que usamos não é artificial. Realmente existe na natureza uma dualidade do tipo que é necessário para explicar a origem da ordem saindo da desordem – a dualidade, ou seja, a dimensão e posição. Vamos usar o termo grupo para este sistema de pontos que permanecem inalterados, qualquer que seja a mudança arbitrária de seus constituintes.

Percebemos que um grupo que envolve uma dualidade, é inconcebível sem uma dualidade.

Assim, de acordo com Kant, o elemento primário da experiência é o grupo, e a teoria dos grupos seria o ramo mais fundamental da ciência. Devido a uma expressão na crítica a autoridade de Kant, às vezes, é aduzida contra a suposição de um espaço com mais de três dimensões. Parece-me, no entanto, que toda a tendência de sua teoria está na direção oposta, e aponta para uma dualidade perfeita entre dimensão e posição numa dimensão.

Se a ordem e a lei que vemos são devidas as condições da experiência consciente, devemos conceber a natureza como espontânea, livre, sujeita a nenhuma predição que possamos conceber, mas, embora apreendida, sujeita a nossa lógica.

E nossa lógica é simplesmente espacialidade no senso geral – a resultante da seleção do permanente do não-permanente, da ordem da desordem, por meio do grupo e sua dualidade subjacente.

Não podemos pregar nada sobre a natureza, apenas sobre a forma como podemos apreender a natureza. Tudo o que podemos dizer é que tudo o que a experiência nos dá é espacial, sujeito a nossa lógica. Assim, ao explorar os fatos da geometria a partir das relações lógicas mais simples para as propriedades do espaço, de qualquer número de dimensões, estamos meramente observando a nós mesmos, nos tornando conscientes das condições que devemos perceber. Se algum fenômeno se apresentar incapaz de ser explicado sob a suposição do espaço que estamos lidando, então devemos nos habituar ao conceito de um espaço maior, de forma que nossa lógica possa ser igual à tarefa diante de nós.

Ganhamos uma repetição do pensamento que veio anteriormente, sugerido experimentalmente. Se as leis da compreensão intelectual da natureza são as derivadas de considerá-la como uma mudança absoluta, sujeita a nenhuma lei, exceto a derivada de um processo de seleção, então, talvez, a ordem da natureza exija faculdades diferentes do intelecto para apreendê-lo. A fonte e origem das ideias podem ter que ser procuradas em outro lugar que não na razão.

O resultado total da crítica é deixar o ser humano comum onde está, justificado em sua atitude prática em relação à natureza, libertado das amarras de sua própria representação mental.

A verdade de uma imagem reside no seu efeito total. É inútil buscar informações sobre a paisagem examinando os pigmentos. E, em qualquer método do pensamento é a complexidade do todo que nos traz o conhecimento da natureza. As dimensões são bastante artificiais, mas na multiplicidade delas captamos um pouco da natureza.

Devemos, portanto, e isso me parece a conclusão prática de toda a matéria, proceder a forma de apreensão de um grau maior e maior de complexidade, tanto em dimensão quanto em extensão em qualquer dimensão. Tais meios de representação devem sempre ser artificiais, mas na multiplicidade dos elementos com os quais lidamos, por mais incipientemente arbitrárias que sejam, está a nossa chance de apreender a natureza.

E, como uma conclusão do capítulo para essa parte do livro, estenderei as figuras que foram usadas para representar a teoria de Kant, dois passos, para que o leitor tenha a oportunidade de olhar uma figura de quatro dimensões que pode ser delineada sem qualquer aparelho especial, para a consideração do que posteriormente transmitirei.

CAPÍTULO X – A FIGURA DA QUARTA DIMENSÃO

O método utilizado no capítulo anterior para ilustrar o problema da crítica de Kant, oferece um modo singularmente fácil e direto de construir uma série de figuras importantes em qualquer número de dimensões.

Vimos que para representar o nosso espaço um ser do plano deve desistir de um dos seus eixos e, de forma semelhante, para representar as formas mais elevadas, devemos desistir de um entre os nossos três eixos.

Mas há outro tipo de desistência que reduz a construção de formas mais elevadas para uma questão de extrema simplicidade.

Normalmente, temos em uma linha reta qualquer número de posições. A riqueza do espaço em posição é ilimitável, enquanto existem apenas três dimensões.

Proponho desistir desta riqueza de posições e considerar os números obtidos tomando apenas tantas posições quanto há dimensões.

Dessa forma, considero as dimensões e as posições como dois “tipos”, e aplicando a regra simples de selecionar um de cada tipo com cada um dos outros tipos, obteremos uma série de figuras que são dignas de nota porque elas preenchem exatamente o espaço de qualquer número de dimensões (como o hexágono preenche um plano) por repetições iguais deles mesmos.

A regra se tornará mais evidente por uma simples aplicação.

Consideremos uma dimensão e uma posição. Vou chamar o eixo de i, e a posição de o.

Aqui, a figura é a posição o na linha i. Pegue agora duas dimensões e duas posições em cada uma.

Temos as duas posições o; 1 em i, e as duas posições o, 1 em j, na figura 63.

Figura 63

Isso dá origem a certa complexidade. Consideremos que as duas linhas i e j se encontrem na posição em que eu chamo o em cada uma, e considerarei i como uma direção começando igualmente de cada posição em j, e j como começando igualmente de cada posição em i. Obtemos assim a seguinte figura: A é oi e oj, B é 1i e oj, e assim por diante como mostrado na figura 63b.

Figura 63b

As posições em AC são todas as posições oi.

Elas são, se gostaríamos de considerá-las dessa maneira, pontos sem distância na direção i da linha AC. Podemos chamar a linha AC da linha oi. Da mesma forma, os pontos em AB são aqueles sem distância de AB na direção j, e podemos chamá-los de pontos oj e a linha AB a linha oj. Mais uma vez, a linha CD pode ser chamada de linha 1j, porque os pontos estão a uma distância 1 na direção j.

Temos então quatro posições ou pontos nomeados como mostrado e, considerando as direções e as posições como “tipos”, temos a combinação de dois tipos com dois tipos. Agora, selecionando cada um de um tipo com cada um dos outros tipos significará que tomamos 1 do tipo i e com ele o do tipo j; e então, que tomamos o do tipo i e com ele 1 do tipo j.

Assim, temos um par de posições na linha reta BC, na figura 64.

Figura 64

Chamamos essa parte: 10 e 01, se adotarmos o plano de adicionar mentalmente um i ao primeiro e um j ao segundo dos símbolos escritos assim; 01 é uma expressão curta para 0i, 1j.

Chegando agora ao nosso espaço, temos três dimensões, então tomamos três posições em cada uma. Essas posições eu suponho que sejam de iguais distâncias ao longo de cada eixo. Os três eixos e as três posições em cada um são mostrados acompanhando o diagrama, figura 65, dos quais o primeiro representa um cubo com as faces frontais visíveis, o segundo as faces traseiras do mesmo cubo; as posições que eu chamarei de 0, 1 e 2; os eixos, i, j, k.

Figura 65

Eu tomo a base ABC como o ponto de partida, a partir do qual para determinar as distâncias na direção k, e, portanto, cada ponto na base ABC será uma posição ok e a base ABC pode ser chamada de plano ok.

Da mesma forma, medindo a distância da face ADC, vemos que cada posição na face ADC é uma posição oi, e todo o plano da face pode ser chamado de um plano oi. Assim, vemos que, com a introdução de uma nova dimensão, a significação de um símbolo composto, como “oi”, altera-se. No plano significava a linha AC.

No espaço significa todo o plano ACD.

Agora, é evidente que temos vinte e sete posições, cada uma delas nomeada. Se o leitor seguir esta nomenclatura em relação às posições marcadas nas figuras, não terá dificuldade em atribuir nomes para cada uma das vinte e sete posições. A é oi, oj, ok.

Está na distância 0 ao longo de i, 0 ao longo de j, 0 ao longo de k, e pode ser escrito em curto 000, onde os símbolos ijk são omitidos.

O ponto imediatamente acima é 001, pois não há distância na direção i, e uma distância de 1 na direção k. Novamente, olhando para B, está a uma distância de 2 de A, ou do local ADC, na direção i, 0 na direção j do plano ABD e 0 na direção k, medida a partir do plano ABC. Por isso 200 é escrito para 2i, 0j, 0k.

Agora, destas 27 “coisas” ou compostos de posição e dimensão, selecione aqueles que são dados pela regra, cada um de um tipo com cada um dos outros tipos.

Pegue 2 do tipo i. Com isso, devemos ter 1 tipo j, e então, pela regra, só podemos ter um 0 do tipo k, pois, se tivéssemos qualquer outro tipo de k, deveríamos repetir um dos tipos que já tínhamos. Em 2i, 1j, 1k, por exemplo, 1 é repetido. O ponto que obtemos é aquele marcado 210, figura 66.

Figura 66

Procedendo assim, selecionamos o seguinte conjunto de pontos, figura 67.

Figura 67

Eles são acompanhados por linhas, pontilhadas onde estão escondidas pelo corpo do cubo, e vemos que eles formam uma figura – um hexágono que poderia ser retirado do cubo e colocado em um plano.

É uma figura que irá preencher um plano por repetições iguais de si mesmo.

O ser do plano representando essa construção em seu plano levaria três quadrados para representar o cubo. Suponhamos que ele tome os eixos ij em seu espaço e k representa o eixo que sai de seu espaço, figura 68.

Figura 68

Em cada um dos três quadrados mostrados aqui como desenhados separadamente, ele poderia selecionar os pontos dados pela regra, e ele então teria que tentar descobrir a figura determinada pelas três linhas desenhadas. A linha de 210 a 120 é dada na figura, mas a linha de 210 a 201 ou FG não é fornecida. Ele pode determinar FG fazendo outro conjunto de desenhos e descobrindo neles qual é a relação entre essas duas extremidades.

Ele desenharia os eixos i e k em seu plano, figura 69.

Figura 69

O eixo j então sai e ele tem a figura que acompanha. No primeiro desses três quadrados, figura 69, ele pode escolher pela regra os dois pontos 201, 102 – G e K.

Aqui eles ocorrem em um plano e ele pode medir a distância entre eles. Na sua primeira representação ocorrem em G e K em figuras separadas.

Assim, o ser do plano acharia que as extremidades de cada uma das linhas estavam distantes pela diagonal de uma unidade quadrada a partir da extremidade correspondente da última e ele poderia então colocar as três linhas na posição relativa correta.

Ao juntá-los, ele teria a figura de um hexágono.

Podemos também notar que o ser do plano poderia fazer uma representação do cubo inteiro simultaneamente. Os três quadrados, mostrados em perspectiva na figura 70, todos se encontram em um plano, e nesses, o ser do plano poderia escolher qualquer seleção de pontos, bem como em três quadrados separados.

Figura 70

Ele obteria um hexágono juntando os pontos marcados. Esse hexágono, como desenhado, é da forma certa, mas não seria assim se os quadrados reais fossem usados em vez de perspectiva, porque a relação entre os quadrados separados, enquanto se encontram na figura do plano, não é sua relação real. A figura, no entanto, como assim construída, lhe daria uma ideia da figura correta, e ele poderia determinar com precisão lembrando que as distâncias em cada quadrado eram corretas, mas passando de um quadrado para outro, sua distância na terceira dimensão deveria ser levado em consideração.

Chegando, agora, à figura feita selecionando de acordo com a nossa regra, a partir de toda a massa de pontos dada por quatro eixos e quatro posições em cada um, primeiro devemos desenhar uma figura de catálogo na qual toda a montagem é mostrada.

Podemos representar este conjunto de pontos por quatro figuras sólidas. A primeira dando todas as posições que estão a uma distância de 0 do nosso espaço na quarta dimensão; a segunda mostrando todas as que estão à distância 1 e assim por diante.

Essas figuras serão todas, cubos. Os dois primeiros são desenhados mostrando as faces frontais, as duas outras as faces traseiras. Vamos marcar os pontos 0, 1, 2, 3, colocando pontos a essas distâncias ao longo de cada um desses eixos, e suponhamos que todos os pontos assim determinados sejam contidos em modelos sólidos dos quais nossos desenhos na figura 71 são representações.

Figura 71

Aqui percebemos que, como no plano 0i, significava toda a linha a partir da qual a distância na direção i foi medida e, como no espaço, significa todo o plano a partir do qual as distâncias na direção i são medidas, então agora 0h significa todo o espaço em que o primeiro cubo fica – medindo a partir desse espaço por uma distância de um que chegamos ao segundo cubo representado.

Agora, selecionando de acordo com a regra cada um de um tipo com cada um dos outros tipos, devemos tomar, por exemplo, 3i, 2j, 1k, 0h. Este ponto está marcado como 3210 na estrela inferior da figura. É 3 na direção i, 2 na direção j, 1 na direção k, 0 na direção de h.

Com 3i também devemos tomar 1j, 2k, 0h. Este ponto é mostrado pela segunda estrela no cubo 0h.

No primeiro cubo, uma vez que todos os pontos são 0h, só podemos ter variedades em que i, j, k, são acompanhadas por 3, 2, 1.

Os pontos determinados são marcados no diagrama figura 72, e as linhas são desenhadas juntando os pares adjacentes em cada figura, as linhas sendo pontilhadas quando passam dentro da substância do cubo nos dois primeiros diagramas.

Figura 72

Em oposição a cada ponto, em um lado ou outro de cada cubo, é escrito seu nome. Será notado que as figuras são simétricas pela direita e esquerda; e à direita e à esquerda os dois primeiros números são simplesmente trocados.

Agora, essa sendo a nossa seleção de pontos, que figura eles fazem quando todos estão juntos em suas posições relativas adequadas?

Para determinar isso, devemos encontrar a distância entre os cantos correspondentes dos hexágonos separados.

Para fazer isso, mantenha os eixos i, j, no nosso espaço, e desenhe h em vez de k, deixando k sair na quarta dimensão, figura 73.

Figura 73

Aqui temos quatro cubos novamente, no primeiro dos quais todos os pontos são 0k; isto é, pontos a uma distância zero na direção k, a partir do espaço das três dimensões ijh. Nós temos todos os pontos selecionados anteriormente, e algumas das distâncias, que no último diagrama levaram de figura para figura, são mostradas aqui na mesma figura e são capazes de medir. Tomemos, por exemplo, os pontos 3120 a 3021, que no primeiro diagrama (figura 72) estão nas primeiras e segundas figuras. Sua relação real é mostrada na figura 73 no cubo marcado 2k, onde os pontos em questão estão marcados com X na figura 73. Vemos que a distância em questão é a diagonal de um quadrado unitário. Do mesmo modo, descobrimos que a distância entre pontos correspondentes de duas figuras hexagonais é a diagonal de um quadrado unitário. A figura total agora é facilmente construída. Uma ideia disso pode ser obtida desenhando todos os quatro cubos na figura do catálogo em um (figura 74).

Figura 74

Esses cubos são repetições exatas um do outro, então um desenho servirá como uma representação de toda a série, tomando o cuidado de nos lembrarmos de onde estamos, seja em uma figura de 0h, 1h, 2h ou 3h, quando nós escolhemos os pontos necessários. A figura 74 é uma representação de todos os cubos de catálogo colocados em um. Por uma questão de clareza, as faces frontais e as faces traseiras deste cubo são representadas separadamente.

A figura determinada pelos pontos selecionados nos é mostrada abaixo.

Ao colocar as seções juntas, alguns dos contornos neles desaparecem. A linha TW, por exemplo, não é desejada.

Observamos que PQTW e TWRS são cada um a metade de um hexágono. Agora QV e VR estão em uma linha reta.

Por isso, estes dois hexágonos se encaixam, formando um hexágono, e a linha TW só é desejada quando consideramos uma seção de toda a figura, obtendo-se assim o sólido representado na parte inferior da figura 74. As repetições iguais desta figura, chamadas como tetrakaidekagon, irão preencher o espaço tridimensional.

Para fazer a figura em quatro dimensões correspondente temos que levar cinco eixos mutuamente em ângulos retos com cinco pontos em cada um. Um catálogo das posições determinadas em espaço de cinco dimensões pode ser encontrado assim.

Pegue um cubo com cinco pontos em cada um dos seus eixos, o quinto ponto está a uma distância de quatro unidades de comprimento desde o primeiro em qualquer um dos eixos. E uma vez que a quarta dimensão também se estende para uma distância de quatro, devemos representar os sucessivos conjuntos de pontos nas distâncias 0, 1, 2, 3, 4, na quarta dimensão, cinco cubos. Agora, tudo isso se estende para nenhuma distância na quinta dimensão.

Para representar o que reside na quinta dimensão, devemos desenhar, a partir de cada um dos nossos cubos, cinco cubos semelhantes para representar os quatro passos na quinta dimensão. Por essa montagem, obtemos um catálogo de todos os pontos mostrados na figura 75, em que L representa a quinta dimensão.

Figura 75

Agora, como vimos antes, não há nada que nos impeça de colocar todos os cubos que representam os diferentes estágios na quarta dimensão em uma figura, se tomarmos nota quando a observamos, seja ela considerada como 0h, 1h, 2h, etc., cubo. Colocando os cubos de 0h, 1h, 2h, 3h, 4h de cada linha em um, temos cinco cubos com os lados de cada um contendo cinco posições, o primeiro desses cinco cubos representa os pontos 0, e tem os pontos i de 0 a 4, os pontos j de 0 a 4, os pontos k de 0 a 4, enquanto devemos especificar em relação a qualquer seleção que fizemos, se consideramos isso como um 0h, 1h, 2h, 3h, ou uma figura de 4h. Na figura 76 cada cubo é representado por dois desenhos, um da parte dianteira, o outro da parte traseira.

Figura 76

Vamos então organizar os nossos cinco cubos e que nossa seleção seja feita de acordo com a regra. Pegue a primeira figura na qual todos os pontos são 0l. Não podemos ter 0 com nenhuma outra letra. Então, mantendo a primeira figura, que é a posição 0l, tome antes de tudo a seleção que sempre contém 1h. Suponhamos, portanto, que o cubo é um cubo de 1h, e nele nós tomamos i, j, k em combinação com 4, 3, 2 de acordo com a regra.

A figura que obtemos é um hexágono, como mostrado, aquele na frente. Os pontos no lado direito têm as mesmas figuras que as da esquerda, com os dois primeiros números trocados. Em seguida, mantendo-se na figura 0l, suponha que o cubo que está diante de nós represente uma seção a uma distância 2 na direção h. Vamos considerar todos os pontos nela como 2h. Então, temos uma região de 0l, 2h e os conjuntos ijk e 431 sobraram. Devemos então escolher de acordo com nossa regra todos os pontos como 4i, 3j, 1k.

Estes são mostrados na figura e achamos que podemos desenhá-los sem confusão, formando o segundo hexágono da frente. Seguindo assim, ver-se-á que em cada uma das cinco figuras é escolhido um conjunto de hexágonos, que se juntam formam uma figura de três espaços como o tetrakaidekagon.

Essas figuras separadas são os estágios sucessivos nos quais a figura em quatro dimensões em que eles se agrupam pode ser apreendida.

A primeira figura e a última são tetrakaidekagons.

Estes são dois dos limites sólidos da figura. Os outros limites sólidos podem ser rastreados facilmente. Alguns deles são completos de uma face na figura para face correspondente no próximo, como, por exemplo, o sólido que se estende desde a base hexagonal da primeira figura até a base hexagonal igual da segunda figura. Esse tipo de fronteira é um prisma hexagonal. O prisma hexagonal também ocorre em outra série de seção, como por exemplo, no quadrado na parte inferior da primeira figura, o oblongo na base do segundo e o quadrado na base da terceira figura.

Outros limites sólidos podem ser traçados através de quatro das cinco figuras seccionais. Assim, levando o hexágono no topo da primeira figura, encontramos no próximo hexágono também, do qual alguns lados alternados são alongados. O topo da terceira figura também é um hexágono com o outro conjunto de regras alternativas alongadas e, finalmente, chegamos na quarta figura a um hexágono regular.

Estas quatro seções são as seções de um tetrakaidekagon como pode ser reconhecido a partir das seções desta figura que tivemos anteriormente. Daí os limites são de dois tipos, prismas hexagonais e tetrakaidekagons.

Essas figuras em quatro dimensões preenchem exatamente o espaço de quatro dimensões por repetições iguais de si mesmas.

CAPÍTULO XI – NOMENCLATURA E ANALOGIAS PRELIMINARES PARA O ESTUDO DAS FIGURAS DA QUARTA DIMENSÃO

Nas páginas seguintes, adotaremos um método de designação de diferentes regiões do espaço por um esquema de cores sistemático. As explicações foram dadas de forma a não envolver nenhuma referência aos modelos; os diagramas serão considerados suficientes. Contudo para facilitar o estudo, uma descrição de um conjunto de modelos é fornecida em um apêndice que o leitor pode fazer por si mesmo ou obter.

Se forem utilizados modelos, os diagramas nos capítulos XI e XII serão um guia suficiente para indicar seu uso. Os cubos das cores designadas pelos diagramas devem ser escolhidos e usados para reforçar os diagramas. O leitor, na descrição que se segue, deve supor que uma placa ou parede se afasta dele, contra a qual as figuras são colocadas.

Figura 77

Pegue um quadrado, como daqueles mostrados na figura 77 e lhe dê uma cor neutra; chame essa cor de “nula” e seja tal que não faça diferença apreciável em nenhuma cor com a qual ela é misturada. Se não existe uma cor tão real, possamos imaginar tal cor e atribuir a ela as propriedades do número zero, que não faz diferença em nenhum número ao qual é adicionado.

Acima desse quadrado de cor “nula”, coloque um quadrado vermelho. Assim, simbolizamos o acréscimo, adicionando vermelho ao nulo.

Ao lado desse quadrado de cor “nula”, coloque um quadrado amarelo, e represente “ir se afastando”, adicionando amarelo a nulo.

Para completar a figura, precisamos de um quarto quadrado.

Esse é laranja, que é uma mistura de vermelho e amarelo, e representa, de forma apropriada, uma marcha em direção composta de cima e de lado. Temos assim um esquema de cores que servirá para designar o conjunto de quadrados desenhados. Nós temos dois eixos de cores: vermelho e amarelo, e eles podem ocupar, como na figura, a direção para cima e para o lado, ou podem ser girados; em qualquer caso, nos permitem nomear os quatro quadrados desenhados em sua relação um com o outro.

Figura 78

Agora tome, na figura 78, nove quadrados, e suponha que, no final do curso em qualquer direção, a cor comece com as repetições.

Obtemos um quadrado como mostrado.

Figura 79

Agora, na figura 79, suponha que a quantidade de quadrados seja aumentado, mantendo o princípio de coloração já utilizado.

Aqui os nulos permanecem quatro em número. Existem três vermelhos entre o primeiro nulo e o nulo acima, três amarelos entre o primeiro nulo e o nulo ao lado dele, enquanto as laranjas aumentam de forma dupla.

Suponha que esse processo de ampliação da quantidade de quadrados seja feita indefinidamente e a figura total obtida seja reduzida em tamanho; devemos obter um quadrado do qual o interior seja todo laranja, que as linhas em torno dele sejam vermelhas e amarelas, e meramente os pontos de cor nula, como na figura 80. Assim, todos os pontos, linhas e a área teriam uma cor.

Figura 80

Podemos considerar que esse esquema se origina assim: Seja um pequeno ponto se movendo em uma direção amarela e trace uma linha amarela, terminando em um ponto de cor nula. Então, seja a linha inteira assim traçada se movendo em uma direção vermelha. Os pontos de cor nula nas extremidades da linha produzirão linhas vermelhas e terminam em pontos de cor nula. As linhas amarelas compõem um quadrado amarelo, vermelho ou laranja.

Agora, voltando para a figura 78, vemos que essas duas maneiras de nomear, a que começamos e a que chegamos, podem ser combinadas.

Por sua posição no grupo de quatro quadrados, na figura 77, o quadrado nulo tem uma relação com as direções amarela e vermelha. Podemos falar, portanto, da linha vermelha do quadrado nulo sem confusão, ou seja, a linha AB, figura 81, que corre a partir do ponto nulo inicial A na figura como desenhada. A linha amarela do quadrado nulo é a linha horizontal inferior AC, como está situada na figura.

Figura 81

Se desejarmos indicar a linha amarela superior BD, figura 81, podemos falar disso como a linha amarela “r”, ou seja, a linha amarela que é separada da linha amarela primária pelo movimento vermelho.

De forma semelhante, cada um dos outros quadrados tem pontos nulos, linhas vermelhas e amarelas. Embora o quadrado amarelo seja todo amarelo, a linha CD, por exemplo, pode ser referida como sua linha vermelha.

Essa nomenclatura pode ser estendida.

Se os oito cubos desenhados na figura 82 são colocados juntos, como no lado direito do diagrama, eles formam um cubo, e neles, como assim dispostos, uma subida é representada pela adição de vermelho ao zero, ou cor nula, movimento lateral adicionando amarelo, indo para a direita adicionando branco.

Figura 82

O branco é usado como uma cor, como um pigmento, que produz uma mudança de cor no pigmento com o qual é misturado. De qualquer cubo do conjunto inferior, começamos um movimento que nos leva a um cubo mostrando uma mudança em vermelho, de modo que o amarelo claro se torna vermelho, amarelo claro ou laranja claro, chamado ocre. E indo para a direita do nulo à esquerda, temos uma mudança envolvendo a introdução de branco, enquanto a mudança amarela corre de frente para trás. Existem três eixos de cores – o vermelho, o branco, o amarelo – e esses correm na posição que os cubos ocupam no desenho – acima, à direita, ao lado – mas eles podem ser girados para ocupar quaisquer posições no espaço.

Podemos representar convenientemente um bloco de cubos, por três conjuntos de quadrados, representando cada um a base de um cubo.

Assim, o bloco, figura 83, pode ser representado pelas camadas à direita. Aqui, como no caso do plano, as cores iniciais se repetem no final da série.

Figura 83

Procedendo agora para aumentar o número de cubos, obtemos a figura 84, em que as letras iniciais das cores são dadas em vez de seus nomes completos.

Figura 84

Aqui vemos que existem quatro cubos nulos como antes, mas as séries que brotam do canto inicial tendem a se tornar linhas de cubos, assim como os conjuntos de cubos paralelos a eles, começando de outros cantos.

Assim, a partir dos cubos nulos iniciais uma linha de cubos vermelhos, uma linha de cubos brancos e uma linha de cubos amarelos.

Se a quantidade de cubos for amplamente aumentada e o tamanho do cubo inteiro for diminuído, obtemos um cubo com pontos nulos e as bordas coloridas com essas três cores.

Os cubos amarelos claros aumentam de duas maneiras, formando finalmente uma folha de cubos, e o mesmo é verdade para os conjuntos laranja e rosa. Portanto, o cubo assim formado teria linhas vermelhas, brancas e amarelas que cercam as faces cor de rosa, laranja e amarelo claro. Os cubos ocres aumentam de três maneiras e, portanto, o interior inteiro do cubo seria colorido de ocre.

Temos assim uma nomenclatura para os pontos, linhas, faces e conteúdo sólido de um cubo, e pode ser nomeado como exibido na figura 85.

Figura 85

Podemos considerar o cubo a ser produzido da seguinte maneira. Um ponto nulo se move em uma direção, à qual anexamos a indicação de cor amarela; gera uma linha amarela e termina em um ponto nulo. A linha amarela assim gerada se move numa direção na qual damos a indicação de cor vermelha. Isso fica na figura para cima. A linha amarela traça um quadrado amarelo, vermelho ou laranja, e cada um de seus pontos nulos rastreia uma linha vermelha e termina em um ponto nulo.

Esse quadrado laranja se move em uma direção à qual atribuímos a indicação de cor branca, nesse caso a direção é para a direita. O quadrado traça um cubo colorido de laranja, vermelho ou ocre, as linhas vermelhas traçam quadrados vermelhos a brancos ou cor-de-rosa e as linhas amarelas traçam quadrados amarelos claros, cada linha terminando em uma linha de sua própria cor. Enquanto os pontos traçam um nulo mais branco, ou enquanto a linha termina em um ponto nulo.

Agora, retornando ao primeiro bloco de oito cubos, podemos nomear cada ponto, linha e quadrado deles por referência ao esquema de cores, que eles determinam por sua relação um com o outro.

Assim, na figura 86, o cubo nulo toca o cubo vermelho por um quadrado amarelo claro; toca o cubo amarelo por um quadrado rosa e toca o cubo branco por um quadrado laranja.

Figura 86

Existem três eixos aos quais as cores vermelho, amarelo e branco são atribuídas, as faces de cada cubo são designadas tomando essas cores em pares. Juntando todas as cores, obtemos um nome de cor para a solidez de um cubo.

Perguntemo-nos agora como o cubo seria apresentado ao ser do plano. Sem entrar na questão de como ele poderia ter uma experiência real, vejamos como, se pudéssemos transformá-lo e mostrá-lo a ele, sob suas limitações, poderia obter informações sobre isso.

Se o cubo fosse colocado com seus eixos vermelhos e amarelos contra um plano, que estava apoiado contra ele pela sua face laranja, o ser do plano observaria um quadrado rodeado por linhas vermelhas e amarelas e com pontos nulos. Veja o quadrado pontilhado, figura 87.

Figura 87

Podemos tomar o cubo sobre a linha vermelha para que uma face diferente apareça em justaposição com o plano.

Suponha que o cubo virou em torno da linha vermelha. Como ele está girando de sua posição inicial, todo ele, exceto que a linha vermelha, sai do plano – fica completamente fora do alcance da apreensão do ser do plano. Mas quando a linha amarela aponta diretamente para fora do plano, a face rosa entra em contato com ele. Assim, a mesma linha vermelha que resta como ele viu no início, agora em sua direção vem uma face cercada por linhas brancas e vermelhas.

Se chamarmos a direção para a direita, de direção desconhecida, então a linha que ele viu antes, a linha amarela, sai para essa direção desconhecida, e a linha que antes ia para a direção desconhecida, entra. Ela vem na direção oposta da que a linha amarela saiu antes; o interior da face agora contra o plano é rosa. É uma propriedade de duas linhas em ângulos retos que, se alguém sair de uma determinada direção e ficar em ângulo reto, então a outra das duas linhas entra, mas sai da maneira oposta naquela direção dada, como na figura 88.

Figura 88

Agora, essas duas apresentações do cubo pareceriam, ao ser do plano, como corpos materiais perfeitamente diferentes, com apenas essa linha comum em que ambos se encontram.

Mais uma vez nosso cubo pode ser virado sobre a linha amarela.

Nesse caso, o quadrado amarelo desapareceria como antes, mas um novo quadrado viria para o plano após o cubo ter girado com um ângulo de 90 ° sobre essa linha.

O quadrado inferior do cubo entraria, como visto na figura 89.

Figura 89

O cubo suposto em contato com o plano gira em torno da linha amarela inferior e então a face inferior está em contato com o plano.

Aqui, como antes, a linha vermelha que saiu para a dimensão desconhecida, a linha branca de antes que saiu na dimensão desconhecida virá para baixo, no sentido oposto àquele em que a linha vermelha saiu antes.

Agora, se usarmos i, j, k, para as três direções espaciais, i da esquerda para a direita, j de frente para trás, k de baixo para cima; então, usando os nomes das cores para os eixos, temos a primeira ação de todas branco percorre i, amarelo percorre j, vermelho percorre k; então, depois da primeira rodada em torno do eixo k, o branco percorre negativamente j, amarelo percorre i, vermelho percorre k; assim temos a tabela:

i                j                  k

1ª posição        branco      amarelo       vermelho

2ª posição        amarelo    branco-        vermelho

3ª posição        vermelho  amarelo       branco-

Aqui branco com um sinal negativo após ele na coluna sob j significa que o branco corre no sentido negativo da direção j.

Podemos expressar o fato da seguinte maneira: No plano há espaço para dois eixos enquanto o corpo tem três. Portanto, no plano podemos representar dois. Se quisermos manter o eixo que se encaixa na dimensão desconhecida sempre em sentido positivo, então o eixo que originalmente correu na dimensão desconhecida (o eixo branco) deve vir no sentido negativo desse eixo que sai do plano na dimensão desconhecida.

É óbvio que a direção desconhecida, a direção em que as linhas brancas corriam a princípio, é bastante distinta de qualquer direção que o ser do plano conhece. A linha branca pode entrar em direção a ele, ou correr para baixo. Se ele está olhando para um quadrado, que é a face de um cubo (olhando para ele por uma linha), então qualquer uma das linhas delimitadoras permanecendo impassíveis, outra face do cubo pode entrar, qualquer uma das faces, ou seja, que têm a linha branca neles. E a linha branca vem, às vezes em uma das direções espaciais que ele conhece, às vezes em outra.

Agora, esse giro que deixa uma linha inalterada é algo bastante diferente de qualquer giro que ele conhece no plano. No plano, uma figura gira em torno de um ponto. O quadrado pode girar o ponto nulo em seu plano, e as linhas vermelha e amarela trocam de lugar, apenas é claro, como acontece com cada rotação de linhas em ângulo reto, se o vermelho for onde o amarelo estava, o amarelo aparece negativo na direção antiga do vermelho.

Este giro, como o ser do plano o concebe, devemos chamar de girando sobre um eixo perpendicular ao plano. O que ele chama de girar sobre o ponto nulo, chamamos de girar em torno da linha branca, pois está para fora de seu plano. Não há como girar sobre um ponto, há sempre um eixo, e realmente muito mais gira do que o ser do plano está ciente.

Tomando agora um ponto de vista diferente, suponhamos que os cubos sejam apresentados ao ser do plano sendo passados transversalmente ao seu plano. Suponhamos que a folha de matéria sobre a qual o plano e todos os objetos em seu mundo se deslizem, seja de tal natureza que objetos possam passar por ela sem quebrar. Suponhamos que seja da mesma natureza que uma película de uma bolha de sabão, de modo que ele se fecha em torno dos objetos que o atravessam, e, no entanto, o objeto altera sua forma ao passar por ela, suponha que essa película seja adaptada ao contorno do objeto em cada parte, mantendo a superfície plana ininterrupta.

Então, podemos empurrar um cubo ou qualquer objeto através da película e o ser do plano que está sendo deslocado na película conhecerá o contorno do cubo igual e exatamente onde a película o encontra.

A Figura 90 representa um cubo que passa através de uma película plana.

Figura 90

O ser do plano agora entra em contato com uma fatia muito fina do cubo, em algum ponto entre as faces esquerda e direita.

Essa fatia muito fina que ele pensa que não tem espessura e, por conseguinte, sua ideia é o que chamamos de seção. Ela é delimitada por ele por linhas rosa de frente e de trás, vindo da parte da face rosa com que ele está em contato, e acima e abaixo, por linhas amarelas claras. Seus cantos não são pontos nulos, mas pontos brancos, e seu interior é ocre, a cor do interior do cubo.

Agora, suponhamos que o cubo tenha um milímetro em cada dimensão, e que atravesse, da direita para a esquerda, através do plano, então devemos explicar as aparências apresentadas ao ser do plano dizendo: primeiro você tem a face do cubo, isso dura apenas um momento; então você tem uma figura da mesma forma, mas de cor diferente. Isso, que parece não se mover para você em qualquer direção que você conhece, está realmente se movendo transversalmente ao seu mundo plano. Sua aparência é inalterada, mas cada momento é algo diferente – uma seção mais adiante, no branco, a dimensão desconhecida. Finalmente, ao final do minuto, a face aparece exatamente como a face que você viu pela primeira vez. Isso terminou o cubo – é a face mais distante da dimensão desconhecida.

A linha branca, que se estende em comprimento, como o vermelho ou o amarelo, você não vê como extensa; você apreende isso simplesmente como um ponto branco duradouro. O ponto nulo, sob a condição de movimento do cubo, desaparece em um momento, o ponto branco duradouro é realmente a sua apreensão de uma linha branca, correndo na dimensão desconhecida. Da mesma forma, a linha vermelha da face pela qual o cubo está em contato primeiro com o plano dura apenas um momento, é seguida pela linha rosa e essa linha rosa dura em torno de um minuto. Esta linha rosa duradoura é a sua apreensão de uma superfície, que se estende em duas dimensões exatamente como a superfície laranja se estende, como você conhece, quando o cubo está em repouso.

Mas a criatura do plano pode responder: “Esse objeto laranja é substância, substância sólida, delimitada completamente e de todos os lados”.

Aqui, é claro, a dificuldade vem. Seu sólido é nossa superfície – sua noção de um sólido é a nossa noção de uma superfície abstrata sem espessura.

Devemos ter que explicar a ele que, de cada ponto do que ele chamou de sólido, uma nova dimensão surge.

De cada ponto, uma linha pode ser desenhada em uma direção desconhecida para ele, e há uma solidez de um tipo maior do que o que ele conhece. Essa solidez só pode ser realizada por ele, supondo uma direção desconhecida, por meio da qual o que ele concebe como matéria sólida desaparece instantaneamente. No entanto, o sólido superior, que se estende nessa dimensão, bem como naqueles que ele conhece, dura quando ocorre um movimento desse tipo, diferentes seções dela chegam consecutivamente no plano de sua apreensão e tomam o lugar do sólido que ele, no primeiro sinal, concebe ser tudo. Assim, o sólido superior – nosso sólido em oposição à sua área sólida, seu sólido bidimensional, deve ser concebido por ele como algo que tem duração nela, em circunstâncias em que sua matéria desaparece de seu mundo.

Podemos colocar o assunto assim, usando a concepção do movimento.

Um ponto nulo que se move em uma direção afastada gera uma linha amarela e a linha amarela termina em um ponto nulo. Supomos, que é um ponto que se move e marca os produtos deste movimento de tal maneira. Agora suponha que toda essa linha seja assim produzida para se mover em uma direção ascendente; ele traça o sólido bidimensional, e o ser do plano fica com um quadrado laranja. O ponto nulo se move em uma linha vermelha e termina em um ponto nulo, a linha amarela se move e gera um quadrado laranja e termina em uma linha amarela, o ponto mais longe nulo gera uma linha vermelha e termina em um ponto nulo. Assim, por movimento em duas direções sucessivas conhecidas por ele, ele pode imaginar seu sólido bidimensional produzido com todos os seus limites.

Agora, dizemos a ele: “Todo esse sólido bidimensional pode se mover em uma terceira ou uma dimensão desconhecida para você. O ponto nulo que se move nessa dimensão fora do seu mundo gera uma linha branca e termina em um ponto nulo. A linha amarela que se desloca gera um sólido bidimensional amarelo e termina em uma linha amarela, e este sólido bidimensional, que se encontra no seu mundo plano, é delimitado pelo lado oposto pela outra linha amarela. Da mesma forma, cada uma das linhas que cercam seu quadrado traçam uma área, assim como a área laranja que você conhece.

Mas há algo novo produzido, algo que você não tinha ideia antes; é o que é produzido pelo movimento do quadrado laranja. Isso, então, que você não pode imaginar nada mais sólido, ele se move em uma direção aberta e produz um sólido tridimensional. Usando a adição de branco para simbolizar os produtos desse movimento, esse novo tipo de sólido será laranja-claro ou ocre, e será delimitado no lado oposto pela posição final do quadrado laranja que o traçou, e essa posição final, supomos ser colorido como o quadrado em sua primeira posição, laranja com limites amarelos e vermelhos e cantos nulos”.

Esse produto do movimento, que é tão fácil para nós descrever, seria difícil para ele conceber. Mas essa dificuldade está ligada mais na sua totalidade do que com qualquer parte específica dela.

Qualquer linha ou plano disso, mais elevado para ele, sólido, poderíamos mostrar para ele e colocar em seu mundo sensível.

Nós já vimos como o quadrado rosa poderia ser colocado em seu mundo por uma volta do cubo sobre a linha vermelha.

E qualquer seção que possamos conceber feita do cubo poderia ser exibida para ele. Você simplesmente precisa girar o cubo e empurrá-lo, para que o plano de sua existência seja o plano que corta a seção dada do cubo, então a seção parece-lhe um sólido. Em seu mundo, ele veria o contorno, chegaria a qualquer parte dele, cavando nele.

O PROCESSO PELO QUAL UM SER DO PLANO OBTERIA A NOÇÃO DE UM SÓLIDO

Supondo que o ser do plano tem uma ideia geral da existência de um sólido superior – nosso sólido –, devemos seguir detalhadamente o método, a disciplina, pelo qual ele adquiriria uma familiaridade trabalhando com a nossa existência espacial. O processo começa com uma realização adequada de uma figura sólida simples. Para este propósito, vamos supor que oito cubos formem um cubo maior, e primeiro vamos supor que todos os cubos sejam coloridos uniformemente. Vamos considerar que os cubos na figura 91 sejam os oito que fazem um cubo maior.

Figura 91

Agora, embora cada cubo seja suposto ser pintado completamente com a cor, cujo nome está escrito, ainda podemos falar das faces, bordas e cantos de cada cubo como se o esquema de cores que investigamos mantivesse para isto. Assim, no cubo nulo podemos falar de um ponto nulo, uma linha vermelha, uma linha branca, uma face rosa e assim por diante. Estas designações de cores são mostradas no nr. 1 das vistas do tesseract na placa. Aqui, esses nomes de cores são usados simplesmente em seu significado geométrico.

Eles denotam o que a linha particular, etc., referida como teria como sua cor, se, em referência ao cubo particular, o esquema de cores descrito anteriormente fosse realizado.

Se tal bloco de cubos fosse colocado contra o plano e depois passasse por ele da direita para a esquerda, a uma velocidade de um milímetro por minuto, cada cubo sendo um milímetro em cada sentido, o ser do plano teria as seguintes aparências: – Primeiro de todos, quatro quadrados nulos, amarelos, vermelhos, laranja, durando cada um por minuto; e em segundo lugar, tomando os lugares exatos desses quatro quadrados, outros quatro, coloridos de branco, amarelo claro, rosa e ocre. Assim, para fazer um catálogo do corpo sólido, ele teria que colocar lado a lado em seu mundo dois conjuntos de quatro quadrados cada, como na figura 92. O primeiro deve durar um minuto, e então os outros para entrar no lugar deles e também durar um minuto.

Ao falar deles, ele teria que denotar a parte do respectivo cubo que cada quadrado representa.

Figura 92

Assim, no início, ele teria cubo nulo e face laranja, e após o movimento ter começado, ele teria um cubo nulo e uma seção ocre. Como ele poderia obter a mesma seção colorida de qualquer maneira que o cubo passasse, seria melhor para ele chamar essa seção de seção branca, o que significa que é transversal ao eixo branco.

Esses nomes de cores, é claro, são simplesmente usados como nomes, e não implicam neste caso que o objeto esteja realmente colorido. Finalmente, depois de um minuto, quando o primeiro cubo passava além de seu plano, ele teria novamente o cubo nulo e a face laranja.

Os mesmos nomes serão mantidos para cada um dos outros cubos, descrevendo qual face ou seção deles que o ser do plano tem diante dele; e a segunda parede de cubos virá, continuará e sairá da mesma maneira. Na área, ele consegue representar qualquer movimento que realizamos nos cubos, desde que não envolva um movimento na direção do eixo branco. A relação das partes que se sucedem mutuamente na direção do eixo branco é realizada por ele como uma sequência de estados.

Agora, seus meios de desenvolver sua apreensão espacial residem nisso, que o que é representado como uma sequência de tempo em uma posição dos cubos, pode se tornar uma coexistência real, se algo que tenha uma coexistência real se torne uma sequência de tempo.

Devemos supor que os cubos giraram cada um dos eixos, a linha vermelha e a linha amarela, então algo, que foi dado como tempo anterior, agora será dado como o espaço do ser do plano; algo, que foi dado como espaço antes, agora será dado como uma série de tempo como o cubo é passado pelo plano.

As três posições em que os cubos devem ser estudados são as indicadas acima e as duas seguintes. Em cada caso, o ponto nulo original mais próximo de nós no início é marcado por um asterisco. Nas figuras 93 e 94, o ponto marcado com uma estrela é o mesmo nos cubos e na vista do plano.

Figura 93

Na figura 93 o cubo é girado em torno da linha vermelha de modo a apontar para nós e, consequentemente, a face rosa aparece ao lado do plano. À medida que passa, existem duas variedades de aparência designadas pelas figuras 1 e 2 no plano. Estas aparências são nomeadas na figura e são determinadas pela ordem em que os cubos vêm no movimento de todo o bloco através do plano.

Contudo, em relação a esses quadrados, os nomes diferentes devem ser usados, determinados por suas relações no bloco.

Assim, na figura 93, quando o cubo primeiro repousa contra o plano, o cubo nulo está em contato com sua face rosa; à medida que o bloco passa, obtemos uma seção ocre do cubo nulo, mas isso é melhor chamado de seção amarela, pois é feito por um plano perpendicular à linha amarela. Quando o cubo nulo percorreu o plano, ao deixá-lo, teremos novamente uma face rosa.

A mesma série de mudanças ocorre com as aparições do cubo que se seguem às do cubo nulo. Neste movimento, o cubo amarelo segue o cubo nulo, e o quadrado marcado como amarelo em 2 no plano será primeiro “amarelo face rosa”, então “amarelo seção amarela”, depois “ amarelo face rosa”.

Figura 94

Na figura 94, em que o cubo gira sobre a linha amarela, temos certa dificuldade, pois o ser do plano descobrirá que a posição em que seus quadrados serão colocados estará abaixo do que eles ocuparam pela primeira vez. Eles virão onde o suporte era no qual ele estava seu primeiro conjunto de quadrados. Ele superará essa dificuldade, movendo o apoio.

Então, uma vez que os cubos vêm em seu plano pela face amarelo claro, ele terá, tomando o cubo nulo como antes para um exemplo, nulo e face amarelo-claro; nulo, seção vermelha, porque a seção é perpendicular à linha vermelha; e, finalmente, como o cubo nulo deixa o plano, nulo, face amarelo claro. Então, neste caso vermelho seguindo o nulo, ele terá a mesma série de pontos de vista do vermelho que ele tinha do cubo nulo.

Há outro conjunto de considerações a que nos referiremos brevemente.

Suponha que haja um cubo oco, e uma sequência de caracteres estendida através dele de nulo a nulo, r., y., wh., como podemos chamar o ponto diagonal distante, como essa sequência aparecerá ao ser do plano enquanto o cubo se move transversalmente pelo seu plano?

Vamos representar o cubo como um número de seções, digamos 5, correspondendo a 4 divisões iguais feitas ao longo da linha branca perpendicular a ele.

Nós numeramos essas seções 0, 1, 2, 3, 4, correspondendo à distância ao longo da linha branca em que são tomadas, e imaginamos que cada seção venha sucessivamente, tomando o lugar do precedente.

Estas seções aparecem ao ser do plano, contando desde o primeiro, para coincidir exatamente com o anterior.

Mas a seção da sequência de caracteres ocupa um plano diferente em cada uma, do que na seção anterior. A seção da sequência de caracteres aparece na posição marcada pelos pontos. Portanto, a inclinação da fita aparece como um movimento na estrutura marcada pelos lados do cubo.

Se supusermos que o movimento do cubo não seja reconhecido, então a fita aparece para o ser do plano como um ponto móvel. Assim, a extensão na dimensão desconhecida aparece como duração. A extensão inclinada na direção desconhecida aparece como movimento contínuo.

CAPÍTULO XII – O SÓLIDO MAIS SIMPLES DE QUATRO DIMENSÕES

Um ser do PLANO, ao entender a apreender a existência sólida, deve, antes de tudo, perceber que há um senso de direção completamente confortável para ele. O que chamamos de direita e esquerda não existe em sua percepção. Ele deve assumir um movimento em uma direção, e uma distinção de positivo e negativo naquela direção, que não tem nenhuma realidade correspondente a ele nos movimentos que ele pode fazer. Essa direção, essa nova dimensão, ele só pode fazer sentido para si mesmo, trazendo no tempo, e supondo que as mudanças, que ocorrem no tempo, são devidas a objetos de uma configuração definida em três dimensões passando transversalmente ao seu plano e as diferentes seções de que são apreendidas como mudanças de uma e a mesma figura plana.

Ele também deve adquirir uma noção distinta sobre seu mundo plano, ele não deve mais acreditar que é todo o espaço, mas esse espaço se estende para ambos os lados. Para evitar que ele se mova em direção desconhecida, ele deve assumir uma folha, uma folha sólida prolongada, em duas dimensões, contra a qual, em contato com a qual, todos os seus movimentos ocorrem.

Quando pensamos em um sólido de quatro dimensões, quais são as suposições correspondentes que devemos fazer?

Devemos supor um sentido que não temos, um senso de direção que quer, em nós, algo que um ser em um mundo em quatro dimensões tem, e que não temos. É um sentido correspondente a uma nova direção espacial, uma direção que se estende de forma positiva e negativa a partir de todos os pontos do nosso espaço, e que se afasta de qualquer direção espacial que conhecemos. A perpendicular a um plano é perpendicular, não apenas a duas linhas nele, mas a cada linha, e devemos conceber essa quarta dimensão como sendo perpendicularmente a cada e qualquer linha que podemos desenhar em nosso espaço.

E como o ser do plano teve que supor algo que impediu seu movimento no terceiro, a dimensão desconhecida para ele, assim devemos supor algo que nos impede de sair na direção que desconhecemos. Isso, uma vez que devemos estar em contato com ele em cada um dos nossos movimentos, não deve ser uma superfície plana, mas um sólido; deve ser um sólido, que em cada um dos nossos movimentos estamos contra, não dentro. Deve ser suposto como alongamento em toda dimensão espacial que conhecemos; mas não estamos nele, estamos contra isso, estamos ao lado dele, na quarta dimensão.

Ou seja, à medida que o ser do plano se concebe como tendo uma espessura muito pequena na terceira dimensão, da qual ele não está ciente em sua nova experiência, então devemos supor que temos uma espessura muito pequena na quarta dimensão e, portanto, sendo seres de quatro dimensões, para evitar que percebamos que somos seres desse tipo por uma restrição que nos mantém sempre em contato com uma vasta folha sólida, que se estende em todas as direções. Estamos contra essa folha, de modo que, se tivéssemos o poder de um movimento de quatro dimensões, deveríamos nos afastar dele ou através dele; todos os nossos movimentos espaciais, tal como os conhecemos, são tais que, ao fazê-los, mantemos contato com essa folha sólida.

Agora considere a exposição que um ser do plano faria para si próprio quanto à questão do recinto de um quadrado e de um cubo.

Ele diria que o quadrado A, na figura 96, está completamente rodeado pelos quatro quadrados, A perto, A longe, A acima, A abaixo, ou como estão escritos, Ap, Al, Aa, Ab.

Figura 96

Se, agora, ele concebe o quadrado A para se mover na dimensão, para ele, desconhecida, ele irá traçar um cubo, e os espaços delimitadores formarão cubos. Será que isso envolve completamente o cubo gerado por A? Não; haverá duas faces do cubo, feito por A, deixados a descoberto; a primeira, aquela face que coincide com o quadrado A em sua primeira posição; a segunda, a que coincide com o quadrado A na sua posição final. Contra essas duas faces, os cubos devem ser colocados para encerrar completamente o cubo A. Esses podem ser chamados de cubos para a esquerda e para a direita ou Ae e Ad. Assim, cada um dos quadrados envolventes do quadrado A se torna um cubo e são necessários mais dois cubos para encerrar o cubo formado pelo movimento de A na terceira dimensão.

O ser do plano não podia ver o quadrado A com os quadrados Ap, Al, etc., colocado sobre ele, porque o esconderam completamente da vista; e assim nós, no caso análogo em nosso mundo tridimensional, não podemos ver um cubo cercado por outros seis cubos. Esses cubos chamaremos A perto de Ap, A longe de Al, A acima de Aa, A abaixo de Ab, A esquerda de Ae, A direita de Ad, mostrado na figura 97.

Figura 97

Se, agora, o cubo A se move na quarta dimensão para fora do espaço, ele traça um cubo mais alto – um tesserato[29], como pode ser chamado.

Cada um dos seis cubos circundantes realizados no mesmo movimento fará um tesserato também, e estes serão agrupados em torno do tesserato formado por A. Mas eles o encerrariam completamente?

Todos os cubos Ap, Al, etc., estão em nosso espaço. Mas não há nada entre o cubo A e essa folha sólida em contato com a qual cada partícula da matéria é. Quando o cubo A se move na quarta direção, ele começa a partir de sua posição, diga Aĸ e termina em uma posição final Aα (usando as palavras “ana” e “kata” para cima e para baixo na quarta dimensão).

Agora, o movimento nesta quarta dimensão não é limitado por nenhum dos cubos Ap, Al, nem pelo que eles formam quando assim se moverem. O tesserato que A se torna está limitado das maneiras positiva e negativa nessa nova direção pela primeira posição de A e a última posição de A. Ou, se perguntamos quantos tesseratos se encontram em torno do tesserato que A forma, existem oito, do qual um o encontra pelo cubo A, e outro o encontra por um cubo como A no final de seu movimento.

Chegamos aqui a uma coisa muito curiosa. Todo o cubo sólido A deve ser visto apenas como um limite do tesserato.

No entanto, isso é exatamente análogo ao que o ser do plano chegaria em seu estudo do mundo sólido. O quadrado A (figura 96), que o ser do plano vê como uma existência sólida em seu mundo plano, é meramente o limite do cubo que ele supõe gerado por seu movimento.

O fato é que devemos reconhecer que, se houver outra dimensão do espaço, nossa ideia atual de um corpo sólido, como uma que tem apenas três dimensões, não corresponde a nada real, mas é a ideia abstrata de um limite tridimensional que limita um sólido de quatro dimensões, que seria formado por um ser de quatro dimensões. O pensamento do ser do plano de um quadrado não é o pensamento do que devemos chamar de um quadrado real possivelmente existente, mas o pensamento de um limite abstrato, a face de um cubo.

Vejamos, agora, nossos oito cubos coloridos, que formam um cubo no espaço, e perguntar quais adições devemos fazer para representar a coleção mais simples de corpos quadridimensionais – ou seja, um grupo deles da mesma extensão em todas as direções. No espaço plano, temos quatro quadrados.

No espaço sólido, temos oito cubos. Portanto, devemos esperar no espaço de quatro dimensões ter dezesseis corpos de quatro dimensões – corpos que, em espaço de quatro dimensões, correspondem a cubos no espaço tridimensional, e esses corpos chamamos de tesseratos.

Dado então os cubos nulo, branco, vermelho, amarelo e aqueles que compõem o bloco, percebemos que representamos perfeitamente a extensão em três direções (figura 98).

Figura 98

Do ponto nulo do cubo nulo, viajando uma polegada, chegamos ao cubo branco; viajando uma polegada ao longe chegamos ao cubo amarelo; viajando uma polegada acima chegamos ao cubo vermelho. Agora, se houver uma quarta dimensão, então, viajando do mesmo ponto nulo uma polegada nessa direção, devemos chegar ao corpo que está além da região nula.

Eu digo região nula, não cubo; pois com a introdução da quarta dimensão, cada um dos nossos cubos deve se tornar algo diferente dos cubos. Se eles devem ter existência na quarta dimensão, eles devem ser “preenchidos” nessa quarta dimensão.

Agora, assumiremos que, à medida que obtemos uma transferência de nulo para branco, de uma maneira, de nula para amarela em outro, passando de nulo na quarta direção, temos uma transferência de nulo para azul, usando assim as cores brancas, amarelo, vermelho, azul, para designar transferências em cada uma das quatro direções: direita, afastada, acima, desconhecida ou quarta dimensão.

Figura 99

Uma representação do ser do plano de um bloco de oito cubos por dois conjuntos de quatro quadrados

Por isso, como o ser do plano deve representar as regiões sólidas, ele irá para a direita, como quatro quadrados situados em alguma posição em seu plano, arbitrariamente escolhidos, lado a lado com os quatro quadrados originais, então devemos representar essas oito regiões quadridimensionais, que devemos chegar, indo na quarta dimensão de cada um dos nossos oito cubos, com oito cubos colocados em alguma posição arbitrária em relação aos nossos primeiros oito cubos.

Figura 100

Nossa representação de um bloco de dezesseis tesseratos por dois blocos de oito cubos[30].

Assim, dos dois conjuntos de oito cubos, cada um nos servirá como uma representação de um dos dezesseis tesseratos que formam um único bloco no espaço de quatro dimensões.

Cada cubo, como nós temos, é uma bandeja, por assim dizer, contra a qual a figura real de quatro dimensões repousa – assim como cada um dos quadrados que o plano possui é uma bandeja, por assim dizer, contra a qual o cubo que representa, pode descansar.

Se supomos que os cubos sejam de uma polegada de cada lado, então os oito cubos originais darão oito tesseratos das mesmas cores, ou os cubos, estendendo cada uma polegada na quarta dimensão.

Mas depois disso, continuando na quarta dimensão, oito outros corpos, outros oito tesseratos. Eles devem estar lá, se supusermos que o corpo de quatro dimensões que fazemos tem duas divisões, uma polegada cada em cada uma das quatro direções.

A cor que escolhemos para designar a transferência para essa segunda região na quarta dimensão é azul. Assim, a partir do cubo nulo e indo na quarta dimensão, primeiro passamos por uma polegada do tesserato nulo, então chegamos a um cubo azul, que é o início de um tesserato azul. Esse tesserato azul se estende uma polegada mais na quarta dimensão.

Assim, além de cada um dos oito tesseratos, que são da mesma cor que os cubos que são suas bases, são oito tesseratos cujas cores são derivadas das cores dos oito primeiros, adicionando azul. Então:

Nulo dá azul

Amarelo dá verde

Vermelho dá roxo

Laranja dá marrom

Branco dá azul claro

Rosa dá púrpura clara

Amarelo claro dá verde claro

Ocre dá marrom claro

A adição ao azul de amarelo dá verde – essa é uma suposição natural a ser feita. Também é natural supor que o azul adicionado ao vermelho torna roxo. Laranja e o azul podem ser misturados para dar um marrom, usando certas máscaras e proporções. E ocre e azul podem ser misturados para dar um marrom claro.

Mas o esquema de cores é usado apenas para obter um conjunto definitivo e realizável de nomes e distinções visíveis aos olhos. A sua naturalidade é evidente para qualquer pessoa com o hábito de usar cores e pode ser considerada justificável, pois o único objetivo é inventar um conjunto de nomes fáceis de lembrar e que nos dará um conjunto de cores pelas quais os diagramas podem ser facilitados de compreensão. Nenhuma classificação científica de cores foi tentada.

Começando, então, com esses dezesseis nomes de cores, temos um catálogo dos dezesseis tesseratos, que formam um bloco quadridimensional análogo ao bloco cúbico. Mas o cubo que podemos colocar no espaço e olhar não é um dos tesseratos constituintes; é apenas o começo, a face sólida, o lado, o aspecto, de um tesserato.

Agora procederemos para designar um nome para cada região, ponto, borda, face plana, sólido e uma face do tesserato.

O sistema será claro, se olharmos para uma representação no plano de um tesserato com três, e um com quatro divisões em seu lado.

O tesserato composto por três tesseratos de cada maneira corresponde ao cubo composto de três cubos de cada lado, e nos dará uma nomenclatura completa.

Nesse diagrama, figura 101: “1” representa um cubo de 27 cubos, cada um dos quais é o início de um tesserato.

Figura 101

Esses cubos são representados apenas pelos quadrados mais baixos, o conteúdo sólido deve ser entendido. “2” representa os 27 cubos que são o começo dos 27 tesseratos de uma polegada na quarta dimensão. Esses tesseratos são representados como um bloco de cubos colocados lado a lado com o primeiro bloco, mas em suas posições adequadas eles não poderiam estar no espaço com o primeiro conjunto. “3” representa 27 cubos (formando um cubo maior), que são os primórdios dos tesseratos, que começam duas polegadas na quarta direção do nosso espaço e continuam outra polegada.

Figura 102[31]

Na figura 102, temos a representação de um bloco de 4 x 4 x 4 x 4 ou 256 tesseratos. Eles são dados em quatro seções consecutivas, cada uma deve ser tirada uma polegada de distância na quarta dimensão, e ao dar quatro blocos de cubos, 64 em cada bloco. Ele vê, comparando-o com a figura de 81 tesseratos, que o número de diferentes regiões mostra uma tendência diferente de aumento. Mas, levando cinco blocos de cinco divisões a cada direção, isso ficaria ainda mais claro.

Nós vemos, figura 102, que a partir do ponto em qualquer canto, as regiões coloridas brancas só se estendem em uma linha. O mesmo é verdadeiro para amarelo, vermelho e azul.

No que diz respeito ao último, deve-se notar que a linha de azuis não consiste em regiões ao lado do outro no desenho, mas em porções que entram em cubos diferentes. As porções que se situam um ao lado da outra na quarta dimensão devem sempre ser representadas desse modo, quando tivermos uma representação tridimensional.

Novamente, essas regiões, como a rosa, continuam aumentando em duas dimensões. Sobre a região rosa, isso é visto sem sair do próprio cubo, as regiões rosas aumentam em comprimento e altura, mas em nenhuma outra dimensão.

Ao examinar essas regiões é suficiente pegar uma como amostra.

O roxo aumenta da mesma maneira, pois ele vem em uma sucessão de baixo para cima no bloco 2, e sucessivamente de bloco para bloco em 2 e 3. Agora, uma sucessão de baixo para cima representa uma extensão contínua para cima e uma sucessão de bloco para bloco representa uma extensão contínua na quarta dimensão.

Assim, as regiões roxas aumentam em duas dimensões, para cima e para a quarta, então, quando tomamos muitas divisões muito grandes, e cada uma se torna muito pequena, a região roxa forma uma extensão bidimensional.

Da mesma forma, olhando para as regiões coloridas em azul claro, que começa mais próximo de um canto, vemos que os tesseratos que o ocupam aumentam de comprimento da esquerda para a direita, formando uma linha e que existem tantas linhas de tesseratos azul claro pois há seções entre a primeira e a última seção. Daí os tesseratos azuis claros aumentam em número de duas maneiras – na direita e esquerda e na quarta dimensão. Eles finalmente formam o que podemos chamar de superfície plana.

Agora, todas as regiões que contêm uma mistura de duas cores simples, brancas, amarelas, vermelhas, azuis, aumentam de duas maneiras. Por outro lado, aqueles que contêm uma mistura de três cores aumentam de três maneiras. Pegue, por exemplo, a região ocre; isto tem três cores, branco, amarelo, vermelho; e no próprio cubo ele aumenta de três maneiras.

Agora, considere a região laranja; se adicionarmos azul, obtemos um marrom. A região do tesseratos marrom se estende de duas maneiras à esquerda do segundo bloco, nº 2 na figura. Estende-se também da esquerda para a direita em sucessão de uma seção para outra, da seção 2 para a seção 3 em nossa figura.

Assim, os tesseratos marrons aumentam em número em três dimensões para cima, para a frente, quarta dimensão. Daí formam uma região cúbica tridimensional; esta região se estende para cima e para baixo, perto e longe, e na quarta direção, mas é fina na direção da esquerda para a direita.

É um cubo que, quando o tesserato completo é representado em nosso espaço, aparece como uma série de faces nas sucessivas secções cúbicas do tesserato. Compare a figura 103 em que o bloco do meio, 2, está representando um grande número de seções intermediárias entre 1 e 3.

Figura 103

Da mesma forma, da região rosa, por adição de azul, temos a região púrpura clara, que pode ser vista aumentar em três direções, à medida que o número de divisões se torna maior. As três formas em que esta região de tesseratos se estende são para cima e para baixo, direita e esquerda, quarta dimensão. Finalmente, portanto, forma uma massa cúbica de tesseratos muito pequenos, e quando o tesserato é dado nas seções espaciais aparece nas faces que contém as dimensões para cima e para a direita e a esquerda.

Nós chegamos então, como regiões tridimensionais, ocre, marrom, púrpura claro, verde claro.

Finalmente, há a região que corresponde a uma mistura de todas as cores; existe apenas uma região como essa. É aquela que brota de ocre pela adição de azul – essa cor que chamamos de marrom claro.

Olhando para a região castanha clara, vemos que ela aumenta em quatro direções. Assim, os tesseratos dos quais ele é composto aumentam em número em cada uma das quatro dimensões, e a forma que eles formam não permanece fina em nenhuma das quatro dimensões. Consequentemente, essa região se torna o conteúdo sólido do bloco de tesseratos em si; é o verdadeiro sólido de quatro dimensões. Todas as outras regiões são então limites desta região marrom clara. Se supusermos o processo de aumentar o número de tesseratos e diminuir seu tamanho continuado indefinidamente, então os tesseratos coloridos de cor castanha clara se se tornam toda a massa interior, os tesseratos de três cores se se tornam limites tridimensionais, finos em uma dimensão e formam o ocre, o marrom, o azul claro, o verde claro.

Os tesseratos de duas cores se se tornam limites bidimensionais, finos em duas dimensões, por exemplo, o rosa, o verde, o roxo, o laranja, o azul claro, o amarelo claro. Os tesseratos de uma cor se se tornam linhas delimitadoras, finas em três dimensões, e os pontos nulos se tornam cantos limitantes, finos em quatro dimensões. A partir desses limites reais e finos, podemos passar no pensamento às abstrações – pontos, linhas, faces, sólidos – limitando o sólido de quatro dimensões, que neste caso é de cor castanho claro e, sob este pressuposto, a região de cor marrom claro é a única real, é o único que não é uma abstração.

Deve-se observar que, ao tomar um quadrado como a representação de um cubo em um plano, representamos apenas uma face, ou a seção entre duas faces. Os quadrados, desenhados por um plano, não são os próprios cubos, mas representam as faces ou as seções de um cubo. Assim, no diagrama do plano, um cubo de vinte e sete cubos “nulo” representa um cubo, mas é realmente, na posição normal, o quadrado laranja de um cubo nulo, e pode ser chamado de nulo e quadrado laranja.

Um ser do plano se salvaria da confusão se ele nomeasse seus quadrados representativos, não usando apenas os nomes dos cubos, mas adicionando aos nomes dos cubos uma palavra para mostrar a parte de um cubo em que era seu quadrado representativo.

Assim, um cubo nulo de pé contra seu plano o toca com a face laranja nulo, passando por seu plano, tem no plano um quadrado como traço, que é uma seção branca nula, se usarmos a frase seção branca para significar uma seção desenhada perpendicular à linha branca. Da mesma forma, os cubos que tomamos como representativos do tesserato não são o próprio tesserato, mas faces ou seções definidas.

Nas figuras precedentes, devemos dizer então, não nulo, mas “ tesserato nulo cubo ocre”, porque o cubo que realmente temos é aquele determinado pelos três eixos, branco, vermelho, amarelo.

Há outra maneira pela qual podemos considerar a nomenclatura de cores dos limites de um tesserato.

Considere um ponto nulo para mover o rastreamento de uma linha branca de uma polegada de comprimento, e terminando em um ponto nulo, veja a figura 103 ou na placa colorida.

Em seguida, considere essa linha branca com seus pontos terminais próprios para se mover em uma segunda dimensão, cada um dos pontos traça uma linha, a própria linha traça uma área e também oferece duas linhas, sua posição inicial e final.

Assim, se chamamos “uma região” qualquer elemento da figura, como um ponto ou uma linha, etc., cada “região” em movendo um novo tipo de região, “uma região superior”, e dar duas regiões do seu próprio tipo, uma posição inicial e uma posição final. A “região superior” significa uma região com outra dimensão nela.

Agora o quadrado pode se mover e gerar um cubo. O quadrado amarelo claro se move e rastreia a massa do cubo. Ao permitir que a adição de vermelho denote a região feita pelo movimento na direção ascendente, obtemos um sólido ocre. A face amarela claro nas suas posições inicial e final dá os dois limites quadrados do cubo acima e abaixo. Então, cada uma das quatro linhas do quadrado amarelo claro quadrado – branco, amarelo e branco, amarelo oposto a elas, traçam um quadrado delimitador. Portanto, existem em todos os seis quadrados delimitadores, sendo que quatro desses quadrados são designados em cores, adicionando vermelho à cor das linhas geradoras. Finalmente, cada ponto que se move na direção ascendente dá origem a uma linha colorida nula + vermelha ou vermelha, e então há as posições inicial e final dos pontos que dão oito pontos. O número das linhas é evidentemente doze, pois as quatro linhas do quadrado amarelo claro dão quatro linhas na inicial, quatro linhas em sua posição final, enquanto os quatro pontos traçam quatro linhas, que são doze linhas.

Agora, os quadrados são cada um deles limites separados do cubo, enquanto as linhas pertencem, cada um deles, a dois quadrados; assim a linha vermelha é a que é comum aos quadrados laranja e rosa.

Agora suponha que haja uma direção, a quarta dimensão, que é perpendicular a todas as dimensões espaciais já utilizadas – uma dimensão perpendicular, por exemplo, para cima e para a direita, de modo que o quadrado rosa que se desloca nessa direção traça um cubo.

Uma dimensão, além disso, perpendicular às direções para cima e para fora, de modo que o quadrado laranja que se move nessa direção também traça um cubo, e o quadrado amarelo claro, também, movendo-se nessa direção traça um cubo.

Sob essa suposição, todo o cubo que se move na dimensão desconhecida, traça algo novo: um novo tipo de volume, um volume maior. Esse volume maior é um volume de quatro dimensões, e nós o designamos de cor, adicionando azul à cor daquilo que, movendo, o gera.

É gerado pelo movimento do sólido ocre e, portanto, é da cor que chamamos de marrom claro (branco, amarelo, vermelho, azul, misturado). É representado por várias seções como 2 na figura 103.

Agora, esse sólido mais castanho claro tem limites: primeiro, o cubo ocre na sua posição inicial, segundo, o mesmo cubo em sua posição final, 1 e 3, figura 103. Cada um dos quadrados que ligam o cubo, além disso, pelo movimento nessa nova direção traça um cubo, então temos à partir das faces rosa dianteiras do cubo, em terceiro lugar, um cubo rosa azul ou púrpura claro, mostrado como uma face púrpura claro no cubo 2 na figura 103, essa face está em posição para qualquer número de seções intermediárias; quarto, um cubo semelhante da face rosa oposto; em quinto lugar, um cubo rastreado pela face laranja – este é de cor marrom e é representado pela face marrom do cubo da seção na figura 103; sexto, um cubo marrom correspondente à direita; sétimo, um cubo a partir do quadrado amarelo claro abaixo; a dimensão desconhecida está em ângulo reto para isso também. Esse cubo é colorido: amarelo claro e azul ou verde claro; e finalmente, oitavo, um cubo correspondente da face amarelo claro superior, mostrado como o quadrado verde claro na parte superior do cubo da seção.

O tesserato tem, portanto, oito limites cúbicos. Esses o encerram completamente, de modo que seja invisível para um ser de quatro dimensões. Agora, quanto aos outros limites, assim como o cubo tem quadrados, linhas, pontos, como limites, então o tesserato tem cubos, quadrados, linhas, pontos, como limites.

O número de quadrados é encontrado assim – ao redor do cubo são seis quadrados; esses darão seis quadrados em sua inicial e seis em suas posições finais. Então, cada uma das doze linhas de um cubo rastreia um quadrado no movimento na quarta dimensão. Assim, haverá 12 + 12 = 24 quadrados.

Se olharmos para qualquer um desses quadrados, vemos que é a superfície de reunião de dois lados cúbicos. Assim, a linha vermelha por seu movimento na quarta dimensão traça um quadrado púrpura – isso é comum a dois cubos, um dos quais é traçado pelo quadrado rosa se movendo na quarta dimensão e o outro é traçado pelo quadrado laranja se movendo na mesma direção. Para tomar outro quadrado, o amarelo claro, esse é comum ao cubo ocre e ao cubo verde claro.

O cubo ocre vem do quadrado amarelo claro movendo-o na direção ascendente, o cubo verde claro é feito a partir do quadrado amarelo claro movendo-o na quarta dimensão. O número de linhas é trinta e dois, pois as doze linhas do cubo dão doze linhas do tesserato na sua posição inicial, e doze na sua posição final, fazendo vinte e quatro, enquanto cada um dos oito pontos traça uma linha, formando assim trinta e duas linhas por completo.

As linhas são cada uma delas comuns a três cubos, ou a três faces quadradas; pegue, por exemplo, a linha vermelha.

Isso é comum à face laranja, à face rosa e à face que se forma movendo a linha vermelha na quarta dimensão, ou seja, a face púrpura. Também é comum ao cubo ocre, ao cubo roxo pálido e o cubo marrom.

Os pontos são comuns a seis faces quadradas e a quatro cubos; assim, o ponto nulo a partir do qual começamos é comum ás três faces dos quadrados – rosa, amarelo claro, laranja e às três faces dos quadradas feitos movendo as três linhas brancas, amarelas, vermelhas, na quarta dimensão, ou seja, a azul claro, o verde claro, as faces roxas – isto é, para seis faces em total. Os quatro cubos que se encontram nela são o cubo ocre, o cubo púrpura claro, o cubo marrom e o cubo verde claro.

Uma visão completa do tesserato em suas várias apresentações espaciais é dada nas seguintes figuras ou cubos de catálogo, figuras 103-106. O primeiro cubo em cada figura representa a vista de um tesserato colorido conforme descrito como começa a passar transversalmente ao nosso espaço. A figura intermediária representa uma vista em corte quando é em parte, e a figura final representa a extremidade distante, pois está apenas passando. Esses números serão explicados em detalhes no próximo capítulo.

Figura 104

Figura 105

Figura 106

Obtivemos assim uma nomenclatura para cada uma das regiões de um tesserato; podemos falar de qualquer um dos oito cubos delimitadores, as vinte e quatro faces quadradas, as trinta e duas linhas, os dezesseis pontos.

CAPÍTULO XIII – OBSERVAÇÕES SOBRE AS FIGURAS

Uma inspeção nas figuras acima dará uma resposta a muitas perguntas sobre o tesserato. Se tivermos um tesserato de uma polegada em cada sentido, então ele pode ser representado por um cubo – um cubo com eixos brancos, amarelos e vermelhos, e desse cubo como um começo, um volume que se estende para a quarta dimensão. Agora suponha que o tesserato passe transversalmente ao nosso espaço, o cubo do eixo vermelho, amarelo e branco desaparece ao mesmo tempo, é indefinidamente fino na quarta dimensão. Seu lugar é ocupado por aquelas partes do tesserato que estão mais longe do nosso espaço na quarta dimensão. Cada uma dessas seções vai durar apenas por um momento, mas a totalidade delas vai demorar um tempo apreciável de passagem. Se tomarmos a taxa de uma polegada por minuto, as seções levarão todo o minuto em sua passagem em nosso espaço; elas tomarão todo o minuto, exceto o momento em que o cubo inicial e o cubo final ocupam no cruzamento do nosso espaço. Em cada um dos cubos, os cubos da seção, podemos desenhar linhas em todas as direções, exceto na direção ocupada pela linha azul, a quarta dimensão, as linhas naquela direção são representadas pela transição de um cubo de seção para outro. Assim, para nos dar uma representação adequada do tesserato, devemos ter um número ilimitado de cubos da seção intermediários entre o primeiro cubo delimitador, o cubo ocre e o último cubo delimitador, o outro cubo ocre. Praticamente três cubos seccionais intermédios serão encontrados suficientes para a maioria dos propósitos. Tomaremos então uma série de cinco figuras – dois cubos terminais e três seções intermédias – e mostraremos como as diferentes regiões aparecem no espaço quando tomamos cada conjunto de três dos quatro eixos do tesserato como deitados em nosso espaço.

Na figura 107 as letras iniciais são usadas para as cores.

Figura 107

Uma referência à figura 103 mostrará a nomenclatura completa, que é somente indicada aqui.

Nessa figura, o tesserato é mostrado em estágios de figuras distantes de nossa face: primeiro, zero; segundo 1/4 de polegada; terceiro, 1/2 polegada; quarto, 3/4 polegadas; quinto, 1 polegada; que são chamados b0, b1, b2, b3, b4, porque são seções tomadas nas distâncias 0, 1, 2, 3, 4 centímetros de polegadas ao longo da linha azul. Todas as regiões podem ser nomeadas a partir do primeiro cubo, o cubo b0, como antes, simplesmente lembrando que a transferência ao longo do eixo b dá a adição de azul à cor da região no ocre, o cubo b0. No cubo final b4, a coloração do cubo b0 original é repetida.

Assim, a linha vermelha movida ao longo do eixo azul dá um quadrado vermelho e azul ou púrpura. Esse quadrado púrpuro aparece como as três linhas roxas nas seções b1, b2, b3, tomadas a 1/4, 1/2, 3/4 de polegada na quarta dimensão. Se o tesserato se move transversalmente ao nosso espaço, os temos nessa região em particular, antes de tudo uma linha vermelha que dura por um momento, em segundo lugar, uma linha roxa que ocupa seu lugar. Essa linha púrpura dura um minuto, ou seja, todo o minuto, exceto o momento em que passamos o cruzamento do nosso espaço da linha vermelha inicial e final. A linha roxa que durou esse período é conseguida por uma linha vermelha, que dura por um momento; então isso acontecendo o tesserato passa por nosso espaço. A linha vermelha final que chamamos de vermelho az. porque está separada da linha vermelha inicial por uma distância ao longo do eixo para o qual usamos a cor azul. Assim, uma linha que dura representa uma duração da área; está nesse modo de apresentação equivalente a uma dimensão do espaço. Da mesma forma, a linha branca, durante o cruzamento do nosso espaço pelo tesserato, é sucedida por uma linha azul-claro que dura por um minuto, e como o tesserato sai do nosso espaço, cruzando-o, o branco az. A linha aparece como a terminação final.

Pegue agora a face rosa. Movida na direção azul, traça um cubo púrpura clara. Esse cubo púrpuro claro é mostrado em seções em b1, b2, b3 e a face mais distante desse cubo na direção azul é mostrada em b4 – uma face rosa, chamado rosa az., porque está distante da face rosa que começamos com a direção azul. Assim, o cubo que colorimos com púrpura clara aparece como um quadrado duradouro. A face quadrada, a face cor-de-rosa, desaparece instantaneamente, o tesserato começa a se mover, mas o cubo púrpuro claro aparece como um quadrado duradouro. Aqui também a duração é o equivalente a uma dimensão do espaço – um quadrado duradouro é um cubo. É útil conectar esses diagramas com as visualizações dadas na placa colorida.

Vire novamente a face laranja, determinada pelos eixos vermelho e amarelo; a partir dele, um cubo marrom na direção azul, para o vermelho, o amarelo e o azul devem fazer o marrom. Esse cubo marrom é mostrado em três seções nas faces b1, b2, b3. Em b4 é a face alaranjada oposta do cubo marrom, a face chamada laranja az., pois está distante na direção azul da face laranja. À medida que o tesserato passa transversalmente ao nosso espaço, temos então, nessa região, um quadrado laranja desaparecendo instantaneamente, seguido por um quadrado marrom duradouro e, finalmente, uma face alaranjada que desaparece instantaneamente.

Agora, como quaisquer três eixos estarão no nosso espaço, vamos enviar o eixo branco para o desconhecido, a quarta dimensão, e levar o eixo azul para a nossa dimensão espacial conhecida. Uma vez que os eixos branco e azul são perpendiculares uns aos outros, se o eixo branco sair para a quarta dimensão no sentido positivo, o eixo azul entrará na direção do eixo branco ocupado, no sentido negativo.

Por isso, para não complicar as coisas ao ter em conta dois sentidos na direção desconhecida, vamos enviar a linha branca para o sentido positivo da quarta dimensão, e levamos o azul como deslizando no sentido negativo dessa direção que a linha branca deixou. Deixe a linha azul, aqui, deslizar para a esquerda. Temos agora a linha de figuras na figura 108.

Figura 108

O cubo pontilhado mostra onde nós tínhamos um cubo quando a linha branca deslizou em nosso espaço – agora ele retornou ao nosso espaço, e outro limite sólido, outra face cúbica do tesserato entra em nosso espaço. Esse cubo tem eixos vermelhos e amarelos como antes; mas agora, em vez de um eixo branco que deslizou para a direita, há um eixo azul que deslizou para a esquerda.

Aqui podemos distinguir as regiões por cores de uma maneira perfeitamente sistemática. A linha vermelha traça um quadrado de cor púrpura na transferência ao longo do eixo azul pelo qual esse cubo é gerado a partir da face laranja. Esse quadrado de cor púrpura, feito pelo movimento da linha vermelha, é a mesma face púrpura que vimos antes como uma série de linhas na seção b1, b2, b3. Aqui, uma vez que os eixos vermelho e azul estão em nosso espaço, não precisamos de duração para representar a área que determinam. No movimento do tesserato no espaço, essa face púrpura desapareceria instantaneamente.

Da face laranja, que é comum aos cubos iniciais na figura 107 e figura 108, vai na direção azul um cubo de cor marrom. Esse cubo marrom está agora em nosso espaço, porque cada um dos seus três eixos desliza nas direções espaciais, para cima, para longe, para a esquerda. É o mesmo cubo marrom que apareceu como as faces sucessivas nas seções b1, b2, b3. Tendo todos os seus três eixos em nosso espaço, é dado em extensão; nenhuma parte precisa ser representada como uma sucessão. O tesserato está agora em uma nova posição em relação ao nosso espaço, e quando se move em nosso espaço, o cubo marrom desaparece instantaneamente.

Para exibir a outra região do tesserato, devemos lembrar que agora a linha branca desliza na dimensão desconhecida. Onde devemos colocar a seção em distâncias ao longo da linha? Qualquer posição arbitrária no nosso espaço fará; não existe nenhuma maneira pela qual podemos representar sua posição real.

No entanto, como o cubo marrom sai da face laranja à esquerda, deixe-nos colocar essas seções sucessivas para a esquerda. Nós podemos chamá-los br0, br1, br2, br3, br4, porque são seções ao longo do eixo branco, que agora desliza na dimensão desconhecida.

Deslizando do quadrado de cor púrpura na direção branca encontramos o cubo de cor púrpura clara. Isso é representado nas seções br1, br2, br3 da figura 108. É o mesmo cubo representado nas seções b1, b2, b3; na figura 107 os eixos vermelho e branco estão no nosso espaço, o azul fora dele; no outro caso, o vermelho e o azul estão no nosso espaço, o branco está fora dele. É evidente que a face rosa am., oposto a face rosa na figura 107, faz um cubo mostrado em quadrados em b1, b2, b3 no lado oposto aos quadrados de cor púrpuras claras. Também a face amarela clara, na base do cubo b0, faz um cubo verde claro, mostrado como uma série de quadrados de base.

O mesmo cubo verde claro pode ser encontrado na figura 108.

O quadrado de base em br0, é um quadrado verde, pois é incluído por eixos azul e amarelo. A partir dele, um cubo na direção branca, esse é então um cubo verde claro e o mesmo que o mencionado apenas nas seções b0, b1, b2, b3, b4.

O caso é, no entanto, um pouco diferente com o cubo marrom. Esse cubo nós temos inteiramente no espaço na seção br0, na figura 108, enquanto ele existe como uma série de quadrados, os da esquerda, nas seções b0, b1, b2, b3, b4. O cubo marrom existe como um sólido em nosso espaço, como mostrado na figura 108. No modo de representação do tesserato exibido na figura 107, o mesmo cubo marrom aparece como uma sucessão de quadrados. Isto é, à medida que o tesserato se move através do espaço, o cubo marrom realmente seria para nós um quadrado – seria apenas o limite duradouro de outro sólido. Não teria espessura, apenas extensão em duas dimensões, e sua duração mostraria sua solidez em três dimensões.

É óbvio que, se houver um espaço de quatro dimensões, a matéria em três dimensões é apenas uma mera abstração; todos os objetos materiais devem ter uma pequena espessura de quatro dimensões. Nesse caso, a declaração acima será submetida a modificação. O material do cubo que é usado como o modelo do limite de um tesserato terá uma ligeira espessura na quarta dimensão, e quando o cubo é apresentado a nós em outro aspecto, não seria uma mera superfície. Mas é mais conveniente considerar os cubos que usamos como não tendo nenhuma extensão na quarta dimensão. Essa consideração serve para trazer para fora um ponto aludido antes, que, se houver uma quarta dimensão, nossa concepção de um sólido é a concepção de uma mera abstração, e nossa conversa sobre objetos tridimensionais reais pareceria para um ser de quatro dimensões tão incorreto como quando um ser do plano estar falando sobre quadrados reais, triângulos reais, etc.

A consideração das duas visualizações do cubo marrom mostra que qualquer seção de um cubo pode ser vista por uma apresentação do cubo em uma posição diferente no espaço de quatro dimensões. As faces marrons em b1, b2 e b3 são as mesmas seções marrons que seriam obtidas cortando o cubo marrom, br0, através das distâncias diretas ao longo da linha azul, como mostrado na figura 108. Contudo, como essas seções são colocadas no cubo marrom, br0, elas ficam atrás uma da outra na direção azul. Agora, nas seções br1, br2 e br3 estamos olhando essas seções da direção branca – a direção azul não existe nessas figuras. Então nós as vemos em uma direção perpendicular àquela em que elas ocorrem atrás uma da outra em br0. São visões intermediárias, que viriam na rotação de um tesserato. Esses quadrados marrons podem ser vistos a partir de direções intermediárias entre os eixos branco e azul. Deve-se lembrar que a quarta dimensão é perpendicular igualmente aos três eixos espaciais. Portanto, devemos tomar as combinações do eixo azul, com cada um dos nossos três eixos, branco, vermelho e amarelo, um por sua vez.

Na figura 109 tomamos os eixos vermelho, branco e azul no espaço, enviando o amarelo para a quarta dimensão. Se ir no sentido positivo da quarta dimensão, a linha azul virá na direção oposta àquela na qual a linha amarela correu antes. Portanto, o cubo determinado pelos eixos branco, vermelho e azul começará a partir do plano rosa e escorrega em nossa direção. O cubo pontilhado mostra onde o cubo ocre estava. Quando se torna fora do espaço, o cubo que vem em direção a sua face frontal é aquele que entra em nosso espaço nesse giro. Uma vez que a linha amarela agora escorrega na dimensão desconhecida, chamamos as seções am0, am1, am2, am3 e am4, conforme elas são feitas nas distâncias 0, 1, 2, 3 e 4, um quatro de polegada ao longo da linha amarela. Suponhamos que esses cubos dispostos em uma linha que vem em nossa direção – não que seja mais natural do que qualquer outra série arbitrária de posições, mas concorda com o plano previamente adotado.

O interior do primeiro cubo, am0, é aquele derivado do cubo rosa, adicionando azul, ou, como chamamos, de púrpura clara. As faces do cubo são de azul claro, púrpura e rosa. Como desenhado, só podemos ver a face mais próxima de nós, que não é aquela a partir da qual o cubo começa, mas a face no lado oposto tem o mesmo nome de cor que a face voltada para nós.

As seções sucessivas da série am0, am1, am2, etc., podem ser consideradas como derivadas de seções do cubo b0 feitas às distâncias ao longo do eixo amarelo. O que está distante um quarto de polegada da face rosa na direção amarela?

Essa pergunta é respondida tomando uma seção de um ponto um quarto de polegada ao longo do eixo amarelo no cubo b0, na figura 107.

É uma seção ocre com linhas laranja e amarelo claro.

Essa seção, portanto, substituirá a face rosa em am1, quando na direção amarela. Portanto, a primeira seção, am1, começará a partir de uma face ocre com linhas amarelas e laranjas claras. A cor do eixo que se encontra no espaço para nós em azul, portanto, as regiões desse cubo de seção são determinadas em nomenclatura, elas serão encontradas na íntegra na figura 105.

Resta apenas uma figura a ser desenhada, e esta é aquela em que o eixo vermelho é substituído pelo azul.

Aqui, como antes, se o eixo vermelho sai no sentido positivo da quarta dimensão, a linha azul deve entrar em nosso espaço no sentido negativo da direção que a linha vermelha deixou. De acordo com isso, o primeiro cubo entrará abaixo da posição do nosso cubo ocre, aquele com o qual temos o hábito de começar.

Para mostrar esses números, devemos supor que o cubo ocre esteja em um suporte móvel. Quando a linha vermelha se desloca para a dimensão desconhecida, e a linha azul entra para baixo, um cubo aparece abaixo do lugar ocupado pelo cubo ocre. O cubo pontilhado mostra onde o cubo ocre estava. Este cubo desapareceu e um cubo diferente escorrega para baixo em sua base. Esse cubo tem eixos brancos, amarelos e azuis. Seu topo é um quadrado amarelo claro e, portanto, seu interior é amarelo claro + azul ou verde claro. Sua face frontal é formada pela linha branca movendo-se ao longo do eixo azul e, portanto, é azul claro, o lado esquerdo é formado pela linha amarela movendo-se ao longo do eixo azul e, portanto, verde.

Como a linha vermelha agora é executada na quarta dimensão, as seções sucessivas podem ser chamadas v0, v1, v2, v3 e v4, essas letras indicando que nas distâncias 0, ¼, ½, ¾ e 1 polegada ao longo do eixo vermelho, tomamos todo o tesserato que pode ser encontrado em um espaço tridimensional, esse espaço tridimensional não se estende na quarta dimensão, mas para cima e para baixo, à direita e à esquerda, longe e perto.

Podemos ver o que deve substituir a face amarela claro de v0, quando a seção v1 entrar, olhando o cubo b0, na figura 107. O que está distante nele um quarto de polegada da face amarela claro na direção vermelha? É uma seção ocre com linhas laranja e rosa e pontos vermelhos; veja também a figura 103.

Esse quadrado forma o quadrado superior de v1. Agora podemos determinar a nomenclatura de todas as regiões de v1 considerando o que seria formado pelo movimento desse quadrado ao longo de um eixo azul.

Mas podemos adotar outro plano. Vamos tomar uma seção horizontal de v0 e encontrar essa seção nas figuras, da figura 107 ou figura 103, a partir deles determinar o que irá substituí-lo, indo na direção vermelha.

Uma seção do cubo v0 tem lados verde, azul claro, verde, azul claro e pontos azuis.

Agora, esse quadrado ocorre na base de cada uma das figuras da seção, b1, b2, etc. Nelas, vemos que ¼ de polegada na direção vermelha dela fica uma seção com linhas marrons e de púrpura clara e cantos púrpuras, o interior sendo de marrom claro. Portanto, essa é a nomenclatura da seção que em v1 substitui a seção de v0 feita a partir de um ponto ao longo do eixo azul.

Portanto, a coloração como dada pode ser derivada.

Obtivemos um grupo de tesseratos perfeitamente nomeados. Podemos tomar um grupo de oitenta e um deles 3 x 3 x 3 x 3, em quatro dimensões, e cada tesserato terá seu nome: nulo, vermelho, branco, amarelo, azul, etc., e qualquer que seja a visão cúbica que nós tomamos deles podemos dizer exatamente quais lados dos tesseratos estamos lidando, e como eles se tocam[32].

Assim, por exemplo, se tivermos os dezesseis tesseratos mostrados abaixo, podemos perguntar como o nulo toca no azul.

No arranjo dado na figura 111 nós temos os eixos branco, vermelho, amarelo, no espaço, azul correndo na quarta dimensão. Por isso, temos os cubos ocres como bases.

Figura 111

Imagine agora o grupo dos tesseratos para passar transversalmente ao nosso espaço: primeiro de tudo temos o cubo ocre nulo, o cubo ocre branco, etc.; estes desaparecem instantaneamente, e nós mostramos a seção mostrada no cubo do meio na figura 103 e, finalmente, apenas quando o bloco do tesserato se moveu uma polegada transversalmente ao nosso espaço, temos um cubo ocre nulo e, logo depois, entra o cubo ocre de azul.

Assim, o tesserato nulo toca o tesserato azul pelo seu cubo ocre, que está em contato, em cada ponto, com o cubo ocre de azul.

Como o nulo toca o branco, podemos perguntar? Olhando para o início A, figura 111, onde temos os cubos ocres, vemos que o ocre nulo toca ocre branco por uma face laranja. Agora, vamos gerar os tesseratos nulos e brancos por um movimento na direção azul de cada um desses cubos. Cada um deles gera o tesserato correspondente e o plano de contato dos cubos gera o cubo pelo qual os tesseratos estão em contato. Agora, um plano de laranja transportado ao longo de um eixo azul gera um cubo marrom. Por isso, o nulo toca branco por um cubo marrom.

Se perguntarmos de novo, como os vermelhos tocam os tesseratos azuis claros, vamos reorganizar nosso grupo, figura 112, ou melhor, gire-o para que possamos ter uma visão de espaço diferente; deixe o eixo vermelho e o eixo branco escorregarem para cima e para a direita, e deixe o eixo azul entrar no espaço para nós, então o eixo amarelo escorrega para a quarta dimensão. Temos então dois blocos em que os cubos delimitadores dos tesseratos são dados, dispostos de forma diferente em relação a nós – o arranjo é realmente o mesmo, mas parece diferente para nós.

Figura 112

A partir do plano dos eixos vermelho e branco, temos os quatro quadrados dos tesseratos nulo, branco, vermelho e rosa, como mostrado em A, no plano vermelho e branco, inalterados, só deles vem para nós o eixo azul.

Portanto, temos tesseratos nulo, branco, vermelho e rosa em contato com o nosso espaço pelos cubos que possuem o eixo vermelho, branco e azul neles, isto é, pelos cubos de cor púrpura clara.

Seguindo esses quatro tesseratos, temos o que vem ao lado deles na direção azul, ou seja, os quatro azuis, azul claro, púrpura, púrpura clara. Esses estão igualmente em contato com o nosso espaço por seus cubos púrpura clara, de modo que vemos um bloco como o da figura, do qual cada cubo é determinado pelos eixos vermelho, branco e azul.

A linha amarela agora fica fora do espaço; adequadamente uma polegada na quarta dimensão chegamos aos tesseratos que seguem os oito nomes em C, figura 112, na direção amarela.

Essas são mostradas em C.am₀, figura 112. Entre a figura C e C.am₁ está a massa quadridimensional que é formada movendo cada um dos cubos em C de uma polegada na quarta dimensão – isto é, ao longo de um eixo amarelo; para o eixo amarelo agora é executado na quarta dimensão.

No bloco C observamos que o vermelho (cubo púrpura clara) toca o azul claro (cubo púrpura clara) por um ponto.

Agora, esses dois cubos que se movem juntos permanecem em contato durante o período em que traçam os tesseratos vermelho e azul claro. Esse movimento é ao longo do eixo amarelo, consequentemente, vermelho e azul claro tocados por uma linha amarela.

Vimos que a face rosa se movia em uma direção amarela traça um cubo; movido na direção azul também traça um cubo. Vamos nos perguntar o que a face rosa vai traçar se for movida em uma direção dentro do tesserato, igualmente entre as direções amarela e azul. Que seção do tesserato fará?

Figura 113

Se a linha vermelha for movida igualmente nas direções amarela e azul por quatro movimentos iguais de 1⁄4 de polegada cada, ela assume as posições 11, 22, 33 e termina como uma linha vermelha.

Agora, todo esse cubo vermelho, amarelo, azul ou marrom aparece como uma série de faces nas seções sucessivas do tesserato, começando no cubo ocre e deixando o eixo azul na quarta dimensão. Portanto, o plano traçado pela linha vermelha aparece como uma série de linhas nas sucessivas seções, em nosso modo comum de representar o tesserato; essas linhas estão em lugares diferentes em cada seção sucessiva.

Assim, desenhando nosso cubo inicial e as seções sucessivas, chamando-os de b0, b1, b2, b3, b4, figura 114, temos a linha vermelha sujeita a este movimento aparecendo nas posições indicadas.

Figura 114

Vamos agora investigar quais posições no tesserato outra linha na face rosa assume, quando ela é movida de maneira similar.

Pegue uma seção do cubo original contendo uma linha vertical 4, no plano rosa, figura 115. Temos, na seção, a direção amarela, mas não a azul.

A partir desta seção, um cubo se apaga na quarta dimensão, que é formada movendo cada ponto da seção na direção azul.

Desenhando esse cubo temos a figura 116.

Agora, esse cubo ocorre como uma série de seções em nossa representação original do tesserato. Tomando quatro etapas como antes, esse cubo aparece como as seções desenhadas em b0, b1, b2, b3, b4, figura 117, e se a linha 4 for submetida a um movimento igual nas direções azul e amarela, ocupará as posições designadas por 4, 41, 42, 43, 44.

Figura 117

Assim, raciocinando de maneira semelhante sobre cada linha, é evidente que, movido igualmente nas direções azul e amarela, o plano rosa traçará um espaço que é mostrado pela série de planos de corte representados no diagrama.

Assim, o espaço traçado pela face rosa, se for movido igualmente nas direções amarela e azul, é representado pelo conjunto de planos delineados na figura 118, face rosa ou 0, depois 1, 2, 3 e finalmente face rosa ou 4.

Figura 118

Este sólido é um sólido diagonal do tesserato, escorregando de uma face rosa para uma face rosa. Seu comprimento é o comprimento da diagonal de um quadrado, seu lado é um quadrado.

Vamos agora considerar o espaço ilimitado que brota da face rosa estendida.

Esse espaço, se se deslocar na direção amarela, nos dá o cubo ocre do tesserato. Assim, se temos a face rosa dada e um ponto no cubo ocre, determinamos esse espaço particular.

Da mesma forma, sair da face rosa na direção azul é outro espaço, que nos dá o cubo púrpura clara do tesserato. E qualquer ponto tomado no cubo púrpura clara, este espaço saindo da face rosa é fixo.

O espaço de que estamos falando pode ser concebido como balançando ao redor da face rosa, e em cada uma de suas posições ele corta uma figura sólida do tesserato, uma das quais vimos representada na figura 118.

Cada uma dessas figuras sólidas é dada por uma posição do espaço oscilante e somente por ela. Por isso, em cada uma delas, se um ponto é tomado, esse ponto específico do espaço inclinado é fixo. Assim, vemos que, dado um plano e um ponto a partir dele, um espaço é determinado.

Agora, dois pontos determinam uma linha. Novamente, pense em uma linha e um ponto fora dela. Imagine um plano girando em volta da linha. Em algum momento em sua rotação, ele passa pelo ponto. Assim, uma linha e um ponto, ou três pontos, determinam um plano. E finalmente, quatro pontos determinam um espaço. Vimos que um plano e um ponto determinam um espaço e que três pontos determinam um plano; então, quatro pontos determinarão um espaço.

Esses quatro pontos podem ser quaisquer pontos, e podemos tomar, por exemplo, os quatro pontos nas extremidades dos eixos vermelho, branco, amarelo, azul, no tesserato. Esses irão determinar um espaço de inclinação em relação aos espaços de seção que estivemos considerando anteriormente. Esse espaço irá cortar o tesserato em uma determinada figura.

Uma das seções mais simples de um cubo por um plano é aquela em que o plano passa pelas extremidades das três arestas que se encontram em um ponto. Vemos imediatamente que esse plano cortaria o cubo em um triângulo, mas passaremos pelo processo pelo qual um ser do plano trataria, mais convenientemente, o problema da determinação dessa forma, a fim de podermos aplicar o método da determinação da figura em que um espaço corta um tesserato quando passa pelos 4 pontos à distância da unidade de um canto.

Sabemos que dois pontos determinam uma linha, três pontos determinam um plano e, dado quaisquer dois pontos em um plano, a linha entre eles está totalmente no plano.

Vamos, agora, deixar o ser do plano estudar a seção feita por um plano que passa pelos pontos V. Nulo, b. Nulo, e a. Nulo, figura 119.

Figura 119

Olhando para o quadrado laranja, que, como de costume, supomos estar inicialmente em seu plano, ele vê que a linha do V. Nulo para a. Nulo, que é uma linha no plano da seção, o plano, ou seja, através das três extremidades das arestas reunidas em Nulo, corta a face laranja (l.) em uma linha laranja com pontos nulos. Esse, então, é um dos limites da figura da seção.

Vamos deixar, agora, o cubo ser tão girado que a face rosa vem em seu plano. Os pontos V. Nulo e b. Nulo agora estão visíveis. A linha entre eles é rosa com pontos nulos e, como essa linha é comum à superfície do cubo e ao plano de corte, é um limite da figura em que o plano corta o cubo.

Novamente, suponha que o cubo girou de modo que a face amarela clara (a.c.) esteja em contato com o plano do ser do plano.

Ele vê dois pontos, o b. Nulo e o a. Nulo. A linha entre essas se situa no plano de corte. Assim, desde que as três linhas de corte se encontram e envolvem uma parte do cubo entre elas, ele determinou a figura que procurava. É um triângulo com lados laranja, rosa e amarelo claro, todos iguais, e envolvendo uma área ocre.

Agora vamos determinar em que figura o espaço, determinado pelos quatro pontos, V. Nulo, a. Nulo, b. Nulo, a. Nulo, corta o tesserato. Podemos ver três desses pontos na posição primária do tesserato repousando em nossa chapa sólida pelo cubo ocre.

Esses três pontos determinam um plano que está no espaço que estamos considerando, e esse plano corta o cubo ocre em um triângulo, cujo interior é ocre (figura 119 servirá para essa visão), com lados rosa, amarelo claro e laranja e pontos nulos. Indo na quarta direção, num certo sentido, desse lugar passamos para o tesserato, no outro sentido, passamos dele. Toda a área dentro do triângulo é comum ao plano de corte que vemos e um limite do tesserato. Assim, concluímos que o triângulo desenhado é comum ao tesserato e ao espaço de corte.

Figura 120

Aqui vemos três dos quatro pontos através dos quais o espaço de corte passa, V. Nulo, a. Nulo, e b. Nulo. O plano que eles determinam está no espaço de corte, e este plano corta do cubo marrom um triângulo com lados laranja, púrpura e verde, e pontos nulos. A linha laranja dessa figura é a mesma que a linha laranja na última figura.

Agora seja o cubo púrpura clara a girar em nosso espaço, em nossa direção, figura 121.

Figura 121

O espaço de corte que passa pelos quatro pontos, v. Nulo, am., br., b., passa pelo v. Nulo, br., b. e, portanto, o plano que eles determinam reside no espaço de corte.

Este triângulo está diante de nós.

Ele tem um interior púrpura clara e bordas rosa, azul claro e púrpura com pontos nulos.

Isso, já que é todo o plano que é comum a ele, e esse limite do tesserato nos dá uma das faces limitantes de nossa figura seccional. A linha rosa nela é a mesma que a linha rosa que encontramos na primeira figura – aquela do cubo ocre.

Finalmente, deixe o tesserato girar em torno do plano amarelo claro, para que o cubo verde claro entre em nosso espaço. Vai apontar para baixo.

Os três pontos, n. am., n. br., n. b., estão no espaço de corte e o triângulo que determina é comum ao tesserato e ao espaço de corte. Portanto, este limite é um triângulo com uma linha amarela clara, que é a mesma que a linha amarela clara da primeira figura, uma linha azul clara e uma linha verde.

Figura 122

Agora traçamos o espaço de corte entre cada conjunto de três que pode ser feito dos quatro pontos em que ele corta o tesserato, e temos quatro faces que se juntam umas às outras por linhas.

Os triângulos são mostrados na figura 123, como eles se juntam ao triângulo no cubo ocre.

Figura 123

Contudo eles se juntam uns aos outros de uma maneira exatamente semelhante; suas bordas são todas idênticas, dois e dois. Eles formam uma figura fechada, um tetraedro, envolvendo uma parte marrom clara que é a porção do espaço de corte que fica dentro do tesserato.

Não podemos esperar ver essa porção marrom-clara, mais do que um ser do plano poderia esperar ver o interior de um cubo se um ângulo dele fosse empurrado através de seu plano. Tudo o que ele pode fazer é chegar aos limites dele de uma maneira diferente daquela em que ele o faria se passasse direto pelo seu plano.

Assim, nesta seção sólida, todo o interior está perfeitamente aberto na quarta dimensão. Circulando em torno dessa figura nós estaremos, simplesmente, olhando para os limites do tesserato que penetra através da nossa folha sólida. Se o tesserato não fosse atravessado até agora, o triângulo seria pequeno; se fosse para mais longe, deveríamos ter uma figura diferente, cujos contornos podem ser determinados de maneira semelhante.

O método anterior está aberto à objeção de que depende, em vez de inferirmos o que deve ser, do que ver o que é. Consideremos, portanto, que o nosso espaço seccional seja constituído por vários planos, cada um muito próximo do outro, e observe o que é encontrado em cada lugar.

O método correspondente no caso de duas dimensões é o seguinte: o ser do plano pode ver aquela linha do plano seccional através do nulo am., nulo b., nulo v., que se encontram no plano laranja. Vamos, agora, supor que o cubo e o plano da seção passem pela metade do caminho do plano. Substituindo os eixos vermelho e amarelo estão linhas paralelas a eles, seções das faces rosa e amarelo claro.

Figura 124

Onde o plano da seção cortará esses paralelos com os eixos vermelho e amarelo?

Vamos supor o cubo, na posição do desenho, figura 124, virado de tal forma que a face rosa fique contra o seu plano. Ele pode ver a linha do nulo v. apontando para o ponto nulo br., e pode ver (compare figura 119) que ele corta como um paralelo ao seu eixo vermelho, desenhado em um ponto a meio caminho ao longo da linha branca, em um ponto n.

Devo falar do eixo como tendo o comprimento de uma aresta do cubo. Similarmente, deixando o cubo girar de modo que o quadrado amarelo claro se mova contra seu plano, ele pode ver (compare a figura 119) que um paralelo ao seu eixo amarelo desenhado de um ponto, a meio caminho ao longo do eixo branco, é cortado em metade do seu comprimento pelo traço do plano de corte na face amarela clara.

Assim, quando esse cubo passasse pela metade, ele teria – em vez da linha laranja com pontos nulos, o que ele tinha no início – uma linha ocre de metade do comprimento, com pontos amarelos e rosa claro. Assim, à medida que o cubo passasse lentamente pelo seu plano, ele teria uma sucessão de linhas gradualmente diminuindo de comprimento e formando um triângulo equilátero. Todo o interior seria ocre, a linha a partir da qual começaria seria laranja.

A sucessão de pontos nas extremidades das linhas seguintes formaria linhas cor-de-rosa e amarelo-claro e o ponto final seria nulo. Assim, olhando para as linhas sucessivas no plano de corte enquanto ele e o cubo passavam pelo seu plano, ele determinava a figura recortada pouco a pouco.

Chegando agora à seção do tesserato, imaginemos que o tesserato e seu espaço de corte passam lentamente pelo nosso espaço; podemos examinar partes dele e sua relação com partes do espaço de corte. Pegue o espaço de seção que passa pelos quatro pontos, nulo v., br., am., b.; podemos ver no cubo ocre (figura 119) o plano pertencente a esse espaço de seção, que passa pelas três extremidades dos eixos vermelho, branco e amarelo.

Agora deixe o tesserato passar pela metade do espaço.

Em vez de nossos eixos originais, temos paralelos com eles, púrpura, rosa e verde, cada um com o mesmo comprimento dos primeiros eixos, pois a seção do tesserato é exatamente da mesma forma que seu cubo ocre.

Mas o espaço seccional visto nesse estágio da transferência não cortaria a seção do tesserato em um plano disposto como inicialmente.

Para ver onde o espaço seccional cortaria esses paralelos com os eixos originais, deixe o tesserato girar de modo que, a face laranja permanecendo estacionária, a linha azul fique à esquerda.

Figura 125Aqui (figura 125) temos os pontos nulo v., am., b., e do espaço seccional tudo o que vemos é o plano através destes três pontos nele.Nessa figura podemos desenhar os paralelos com os eixos vermelho e amarelo e ver que, se eles começassem em um ponto no meio do eixo azul, cada um deles seria cortado em um ponto de modo a ter metade do comprimento anterior.Balançando o tesserato em nosso espaço sobre a face rosa do cubo ocre, também descobrimos que o paralelo ao eixo branco é cortado pela metade do comprimento pelo espaço seccional.Assim, em uma seção feita quando o tesserato passava pela metade do nosso espaço, os paralelos com os eixos vermelho, branco e amarelo, que agora estão no nosso espaço, são cortados pelo espaço da seção, cada um deles no meio e, nesse estágio do movimento de deslocamento, devemos ter figura 126. Figura 126A seção feita desse cubo, pelo plano no qual o espaço seccional a corta, é um triângulo equilátero com púrpura, azul claro, pontos verdes e linhas púrpura clara, marrom e verde claro.

Assim, o triângulo ocre original, com pontos nulos e linhas rosa, laranja e amarelo claro, seria sucedido por um triângulo colorido da maneira descrita.

Esse triângulo seria, inicialmente, apenas um pouco menor do que o triângulo original, diminuiria gradualmente, até terminar em um ponto, um ponto nulo. Cada uma das suas bordas seria do mesmo comprimento. Assim, as seções sucessivas dos planos sucessivos nos quais analisamos o espaço de corte seriam um tetraedro da descrição mostrada (figura 123) e todo o interior do tetraedro seria marrom claro.

Na figura 127 o tetraedro é representado por meio de suas faces como dois triângulos que se encontram na linha p. (veja figura 124), e dois triângulos traseiros que se juntam a eles, a diagonal da face rosa que supostamente corre verticalmente para cima.

Figura 127

Chegamos agora a um término natural. O leitor pode aprofundar o assunto, mas não encontrará nenhuma novidade essencial. Concluo com uma indicação sobre a maneira pela qual as figuras, dadas anteriormente, podem ser usadas na determinação de seções pelo método desenvolvido acima.

Aplicando esse método ao tesserato, como representado no Capítulo IX, podem ser desenhadas seções feitas por um espaço cortando os eixos equidistantemente a qualquer distância, e também as seções de tesseratos dispostos em um bloco.

Se desenharmos um plano, cortando todos os quatro eixos em um ponto a seis unidades de distância do nulo, teremos um espaço inclinado.

Esse espaço corta os eixos vermelho, branco e amarelo nos pontos LMN (figura 128), e assim, na região do nosso espaço antes de entrarmos na quarta dimensão, temos o plano representado por LMN estendido. Isso é o que é comum ao espaço inclinado e ao nosso espaço.

Figura 128

Este plano corta o cubo ocre no triângulo EFG.

Comparando isso com (figura 72) oh, vemos que o hexágono ali desenhado é parte do triângulo EFG.

Vamos agora imaginar o tesserato e o espaço inclinado juntos para passar transversalmente ao nosso espaço, a uma distância de uma unidade, temos em 1h uma seção do tesserato, cujos eixos são paralelos aos eixos anteriores.

O espaço inclinado os corta a uma distância de cinco unidades, ao longo de cada um. Desenhando o plano através desses pontos em 1h, será encontrado para cortar a seção cúbica do tesserato na figura hexagonal desenhada. Em 2h (figura 72) o espaço inclinado corta os paralelos aos eixos a uma distância de quatro ao longo de cada, e a figura hexagonal é a seção dessa seção do tesserato por ela. Finalmente, quando 3h vem no espaço inclinado, corta os eixos a uma distância de três ao longo de cada um, e a seção é um triângulo, do qual o hexágono desenhado é uma porção truncada. Depois disso, o tesserato, que estende apenas três unidades em cada uma das quatro dimensões, atravessou completamente o espaço transversal e não há mais nada para ser cortado. Assim, juntando as seções do plano nas relações corretas, temos a seção determinada por esse espaço inclinado específico, a saber, um octaedro.

CAPÍTULO XIV – UMA RECAPITULAÇÃO E EXTENSÃO DO ARGUMENTO FÍSICO

Existem[33] duas direções de investigação nas quais a pesquisa da realidade física de uma quarta dimensão pode ser processada. Uma é a investigação do infinitamente grande, a outra é a investigação do infinitamente pequeno.

Medindo os ângulos de imensos triângulos, cujos lados são as distâncias entre as estrelas, os astrônomos procuraram determinar se existe algum desvio dos valores dados pela dedução geométrica. Se os ângulos de um triângulo celeste não coincidirem, juntos, em dois ângulos retos, haveria uma evidência para a realidade física de uma quarta dimensão.

Essa conclusão merece uma palavra de explicação. Se o espaço é realmente quadridimensional, seguem-se algumas conclusões que devem ser evidenciadas claramente, se quisermos enquadrar definitivamente as questões que colocamos na natureza.

Para dar conta de nossa limitação, vamos assumir uma folha de material sólido contra a qual nos movemos. Essa folha deve se estender ao lado de cada objeto em todas as direções nas quais se move visivelmente. Todo corpo material deve deslizar ou escorregar ao longo dessa folha, não se desviando do contato com ela em qualquer movimento que possamos observar.

A necessidade dessa suposição é claramente aparente, se considerarmos o caso análogo de um mundo plano suposicional. Se existissem criaturas cujas experiências estivessem confinadas a um plano, deveríamos levar em conta sua limitação. Se elas estivessem livres para se mover em todas as direções espaciais, teriam um movimento tridimensional; portanto, elas devem ser fisicamente limitadas, e a única maneira pela qual podemos conceber tal limitação a existir é por meio de uma superfície material contra a qual elas deslizam.

A existência dessa superfície só seria conhecida indiretamente por elas. Não está em nenhuma direção delas em que os tipos de movimento que elas conhecem os levam. Se fosse perfeitamente liso e sempre em contato com todo objeto material, não haveria diferença em suas relações com ele, o que direcionaria sua atenção para ele.

Mas se essa superfície fosse curva – se fosse, digamos, na forma de uma vasta esfera – os triângulos que elas desenhariam realmente seriam triângulos de uma esfera, e então esses triângulos seriam grandes o suficiente, os ângulos divergiriam das magnitudes que teriam para os mesmos comprimentos de lados se a superfície fosse plana. Assim, pela medida de triângulos de magnitude muito grande, um ser do plano pode detectar uma diferença das leis de um mundo plano em seu mundo físico, e assim ser levado à conclusão de que haveria, na realidade, outra dimensão no espaço – uma terceira dimensão, bem como as duas que sua experiência comum o familiarizou.

Agora, os astrônomos pensaram que vale a pena examinar as medidas de vastos triângulos desenhados de um corpo celeste para outro, a fim de determinar se há algo como uma curvatura em nosso espaço – isto é, eles tentaram encontrar medições astronômicas se a vasta folha sólida contra a qual, na suposição de uma quarta dimensão, tudo que desliza é curvada ou não. Esses resultados foram negativos. A chapa sólida, se existir, não é curvada ou, sendo curvada, não tem uma curvatura suficiente para causar qualquer desvio observável do valor teórico dos ângulos calculados.

Por isso, o exame do infinitamente grande leva a nenhum critério decisivo. Não prova nem desmente a existência de uma quarta dimensão.

Chegando agora ao julgamento da investigação na direção do infinitamente pequeno, temos que declarar a questão assim: nossas leis do movimento são derivadas do exame de pressões que se movem no espaço tridimensional. Todas as nossas concepções são fundadas na suposição de um espaço que é representado analiticamente por três eixos independentes e variações ao longo deles, isto é, é um espaço no qual existem três movimentos independentes. Qualquer movimento possível nele pode ser composto desses três movimentos, que podemos chamar de para acima, para a direita, para longe.

Para examinar as ações das porções muito pequenas da matéria, com o objetivo de averiguar se há alguma evidência nos fenômenos para a suposição de uma quarta dimensão do espaço, devemos começar definindo claramente quais seriam as leis da mecânica sobre a suposição de uma quarta dimensão. Não adianta perguntar se os fenômenos das menores partículas de matéria são semelhantes – não sabemos o quê. Devemos ter uma concepção definida do que seriam as leis do movimento na suposição da quarta dimensão, e depois investigar se os fenômenos da atividade das partículas menores de assuntos se assemelham às concepções que elaboramos.

Agora, a tarefa de formar essas concepções não é de modo algum descartada levianamente. O movimento no espaço tem muitas características que diferem inteiramente do movimento em um plano; e quando nos preparamos para formar a concepção de movimento em quatro dimensões, descobrimos que há pelo menos um passo tão grande quanto o plano para o espaço tridimensional.

Não digo que o passo seja difícil, mas quero salientar que deve ser dado. Quando formamos a concepção do movimento quadridimensional, podemos fazer uma pergunta racional da natureza. Antes de elaborarmos nossas concepções, estamos perguntando se um desconhecido é como um desconhecido – uma investigação fútil.

Na realidade, os movimentos quadridimensionais são, em todos os aspectos, simples e mais fáceis de calcular do que os movimentos tridimensionais; para movimentos quadridimensionais são simplesmente dois conjuntos de movimentos planos juntos.

Sem a formação de uma experiência de corpos quadridimensionais, suas formas e movimentos, o sujeito pode ser apenas formal – logicamente conclusivo, não intuitivamente evidente. É para essa apreensão lógica que devo apelar.

É perfeitamente simples formar uma familiaridade experiencial com os fatos do movimento quadridimensional. O método é análogo àquele que um ser do plano teria que adotar para formar uma familiaridade experiencial com movimentos tridimensionais, e pode ser brevemente resumido como a formação de um sentido composto por meio do qual a duração é considerada equivalente à extensão.

Considere um ser confinado a um plano. Um quadrado fechado por quatro linhas será para ele um sólido, o interior do qual só pode ser examinado quebrando as linhas.

Se tal quadrado fosse passar transversalmente ao seu plano, ele desapareceria imediatamente. Desapareceria, entrando em nenhuma direção a que ele pudesse apontar.

Se, agora, um cubo for colocado em contato com seu plano, sua superfície de contato apareceria como o quadrado que acabamos de mencionar. Mas se fosse passar transversalmente ao seu plano, rompendo-o, pareceria um quadrado duradouro. A matéria tridimensional dará uma aparência duradoura em circunstâncias nas quais a matéria bidimensional desaparecerá ao mesmo tempo.

Da mesma forma, um cubo quadridimensional, ou, como podemos chamá-lo, um tesserato, que é gerado a partir de um cubo por um movimento de cada parte do cubo em uma quarta dimensão em ângulos retos para cada uma das três direções visíveis no cubo, se se movesse transversalmente ao nosso espaço, apareceria como um cubo duradouro.

Um cubo de matéria tridimensional, uma vez que se estende a nenhuma distância na quarta dimensão, desapareceria instantaneamente, se submetido a um movimento transversal ao nosso espaço.

Ele desapareceria e sumiria, sem ser possível apontar a direção na qual ele se moveu.

Todas as tentativas de visualizar uma quarta dimensão são inúteis. Deve estar conectado com uma experiência de tempo em três espaços.

A noção mais difícil para um ser do plano adquirir seria aquela de rotação sobre uma linha. Considere um ser do plano em frente a um quadrado. Se lhe dissessem que a rotação em torno de uma linha era possível, ele moveria seu quadrado para um lado e para o outro. Um quadrado em um plano pode girar em torno de um ponto, mas girar em torno de uma linha pareceria perfeitamente impossível para o ser do plano. Como poderiam aquelas partes de seu quadrado que estavam de um lado de uma borda virem para o outro lado sem a borda se mover? Ele podia entender seu reflexo na borda. Ele poderia formar uma ideia da imagem de vidro de seu quadrado deitado no lado oposto da linha de uma borda, mas por nenhum movimento que ele sabe, ele pode fazer o quadrado assumir essa posição. O resultado da rotação seria como reflexo na borda, mas seria uma impossibilidade física produzi-lo no plano.

A demonstração de rotação sobre uma linha deve ser, para ele, puramente formal. Se ele concebesse o movimento de um cubo estendendo-se em uma direção desconhecida para longe de seu plano, então ele pode ver a base dele, seu quadrado no plano, girando em torno de um ponto. Ele também pode apreender que cada seção paralela tomada em intervalos sucessivos na direção desconhecida gira da mesma maneira em volta de um ponto. Assim, ele concluiria que todo o corpo gira em torno de uma linha – a linha que consiste na sucessão de pontos em torno dos quais as seções planas giram.

Assim, dado três eixos, x, y, z, se x gira para ocupar o lugar de y, e y gira de modo a apontar para x negativo, então o terceiro eixo remanescente não afetado por esse giro é o eixo sobre o qual a rotação acontece. Este, então, teria que ser seu critério do eixo de uma rotação – o que permanece inalterado, então ocorre uma rotação de cada seção plana de um corpo.

Há outro modo no qual um ser do plano pode pensar em movimentos tridimensionais; e, como fornece o tipo pelo qual podemos pensar mais convenientemente sobre movimentos quadridimensionais, não haverá perda de tempo para considerá-lo em detalhes.

Podemos representar o ser do plano e seu objeto por figuras recortadas em papel, que escorregam em uma superfície lisa.

A espessura desses corpos deve ser considerada tão diminuta que sua extensão na terceira dimensão escapa à observação do ser do plano, e ele pensa neles como se fossem figuras planas matemáticas em um plano, em vez de serem corpos materiais capazes de seguir em frente numa superfície plana. Seja Ax, Ay quaisquer dois eixos e ABCD um quadrado. No que diz respeito aos movimentos no plano, o quadrado pode girar em torno de um ponto A, por exemplo. Não pode girar em torno de um lado, como AC.

Figura 129

Mas se o ser do plano é consciente da existência de uma terceira dimensão, ele pode estudar os movimentos possíveis no espaço amplo, tomando sua figura porção por porção.

Seu plano só pode considerar dois eixos. Mas, uma vez que pode conter dois, ele é capaz de representar uma virada para a terceira dimensão se negligenciar um de seus eixos e representar o terceiro eixo como estando em seu plano. Ele pode fazer um desenho em seu plano do que se levanta perpendicularmente de seu plano. Seja Ax o eixo, que fica perpendicular ao seu plano em A. Ele pode desenhar em seu plano duas linhas para representar os dois eixos, Ax e Az. Seja a figura 130 esse desenho.

Figura 130

Aqui o eixo x ocupou o lugar do eixo y, e o plano de Ax Az é representado em seu plano. Nessa figura, tudo o que existe do quadrado ABCD será a linha AB.

O quadrado se estende a partir dessa linha na direção y, mas nenhuma daquela direção é representada na Figura 130. O ser do plano pode estudar a virada da linha AB nesse diagrama. É simples um caso de plano girando em torno do ponto A. A linha AB ocupa partes intermediárias como AB1 e depois de meia revolução estará em Ax, produzido por A.

Agora, da mesma forma, o ser do plano pode pegar outro ponto, A’ e outra linha, A’B’, em seu quadrado. Ele pode fazer o desenho das duas direções em A’, uma ao longo de A’B’, a outra perpendicular ao seu plano. Ele obterá uma figura exatamente semelhante à da Figura 130 e verá que, como AB pode girar em torno de A, então A’B’ pode girar em torno de A’. Nessa virada, AB e A’B’ não interfeririam um no outro, como aconteceriam se eles se movessem no plano em torno dos pontos A e A’ separados.

Portanto, o ser do plano concluiria que uma rotação ao redor de uma linha seria possível. Ele podia ver seu quadrado quando começou a fazer essa virada. Ele podia ver na metade do caminho quando veio para se posicionar no lado oposto da linha AC. Mas em porções intermediárias, ele não conseguiria enxergá-lo, pois ficaria fora do plano.

Chegando agora à questão de um corpo quadridimensional, vamos concebê-lo como uma série de seções cúbicas, a primeira em nosso espaço, o resto em intervalos, afastando-se de nosso espaço na direção desconhecida.

Não devemos pensar em um corpo quadridimensional como se formado pela movimentação de um corpo tridimensional em qualquer direção que possamos ver.

Refira, por um momento, a Figura 131.

Figura 131

O ponto A, movendo para a direita, traça a linha AC. A linha AC, afastando-se em uma nova direção, traça o quadrado da AEGC, na base do cubo. O quadrado AEGC, movendo-se em uma nova direção, traçará o cubo ACEGBDHF. A direção vertical desse último movimento não é idêntica a qualquer movimento possível no plano na base do cubo.

É uma direção inteiramente nova, em ângulos retos para cada linha que pode ser desenhada na base. Para traçar um tesserato, o cubo deve se mover em uma nova direção – uma direção perpendicular à toda e qualquer linha que possa ser desenhada no espaço do cubo.

As seções cúbicas do tesserato estão relacionadas ao cubo que vemos, já que as seções quadradas do cubo estão relacionadas ao quadrado de sua base que um ser do plano está vendo.

Vamos imaginar o cubo em nosso espaço, que é a base de um tesserato, para virar uma das suas bordas. A rotação carregará todo o corpo com ela e cada uma das seções cúbicas girará. O eixo que vemos em nosso espaço permanecerá inalterado e, da mesma forma, a série de eixos paralelos a ele, sobre os quais cada uma das seções cúbicas paralelas gira. O conjunto de todos estes é um plano.

Por isso, em quatro dimensões, um corpo gira em torno de um plano.

Não existe rotação em torno de um eixo.

Podemos considerar a rotação de um ponto de vista diferente. Considere quatro eixos independentes, cada um em ângulos retos para todos os outros, desenhados em um corpo quadridimensional.

Destes quatro eixos podemos ver três. O quarto se estende normal ao nosso espaço.

Rotação é o giro de um eixo em um segundo, e o segundo giro para tomar o lugar do negativo do primeiro. Envolve dois eixos. Assim, nessa rotação de um corpo quadridimensional, dois eixos mudam e dois permanecem em repouso. A rotação quadridimensional é, portanto, um giro em torno de um plano.

Como no caso de um ser do plano, o resultado da rotação em torno de uma linha apareceria como a produção de uma imagem com aparência de espelho do objeto original do outro lado da linha, então para nós o resultado de uma rotação quadridimensional apareceria como a produção de uma imagem de espelho de um corpo no outro tamanho de um plano. O plano seria o eixo da rotação, e o caminho do corpo entre suas duas aparências seria inimaginável no espaço tridimensional.

Vamos agora aplicar o método pelo qual um ser do plano poderia examinar a natureza da rotação em torno de uma linha em nosso exame de rotação em torno de um plano. A figura 131 representa um cubo em nosso espaço, os três eixos x, y, z denotando suas três dimensões. Vamos representar a quarta dimensão. Agora, como em nosso espaço podemos representar quaisquer três dimensões, podemos, se quisermos, fazer uma representação do que está no espaço determinado pelos três eixos x, z, w. Este é um espaço tridimensional determinado por dois dos eixos que traçamos, x e z, e no lugar de y, o quarto eixo, w. Não podemos, mantendo x e z, ter ambos y e w em nosso espaço; então vamos deixar y ir e desenhar w em seu lugar. Qual será a nossa visão do cubo?

Evidentemente, teremos simplesmente o quadrado que está no plano de xz, o quadrado ACDB.

O restante do cubo se estende na direção y e, como não temos nenhum espaço tão determinado, temos apenas a face do cubo.

Isto é representado na figura 132.

Figura 132

Agora, suponha que todo o cubo seja girado da direção x para a direção w. De acordo com o método “out”, não consideraremos todo o cubo de uma só vez, mas começaremos com a face ABCD.

Deixe essa face começar a girar. A figura 133 representa uma das posições que irá ocupar; a linha AB permanece no eixo x. O resto da face se estende entre as direções x e w.

Figura 133

Agora, uma vez que podemos pegar três eixos, vamos olhar para o que está no espaço de xyw e examinar a mudança para lá. Agora devemos deixar o eixo z desaparecer e deixar o eixo w correr na direção em que o z correu.

Fazendo essa representação, o que vemos do cubo? Obviamente, vemos apenas a face inferior. O resto do cubo está no espaço de xyz.

No espaço de xyw, temos apenas a base do cubo situada no plano de xy, como mostrado na figura 134.

Figura 134

Agora seja o giro do eixo x para o eixo w. O quadrado ACEG girará sobre a linha AE. Esta aresta permanecerá no eixo y e ficará estacionária, por mais distante que o quadrado girar.

Assim, se o cubo for girado por um torneamento de x para w, tanto a borda AB quanto a borda AC permanecerão estacionárias; daí a face inteira ABEF no plano yz permanece fixa[34]. A virada ocorreu na face da ABEF.

Figura 135

Suponha que isso continue até que AC corra para a esquerda de A.

O cubo ocupará a posição mostrada na figura 136.

Figura 136

Essa é a imagem de espelho do cubo na figura 131. Por nenhuma rotação no espaço tridimensional pode o cubo ser trazido da posição na figura 131 para o mostrado na figura 136.

Podemos pensar nesse giro como um giro da face ABCD sobre AB, e um giro de cada seção paralela a ABCD em torno da linha vertical em que intercepta a face ABEF, o espaço em que a virada se dá sendo diferente daquela em que o cubo se encontra.

Uma das condições, então, de nossa investigação na direção do infinitamente pequeno é que formamos a concepção de uma rotação em torno de um plano. A produção de um corpo em um estado no qual ele apresenta a aparência de uma imagem de espelho do seu estado anterior é o critério para uma rotação quadridimensional.

Há alguma evidência para a ocorrência de tais transformações de corpos na mudança de corpos daqueles que produzem uma polarização de luz destra para aqueles que produzem uma polarização canhota; mas este não é um ponto para o qual qualquer importância muito grande possa ser atribuída.

Ainda assim, a esse respeito, deixe-me citar uma observação do discurso do Prof. John G. McKendrick sobre Fisiologia, antes da Associação Britânica em Glasgow. Discutindo a possibilidade da produção hereditária de características através da estrutura material do óvulo, ele estima que nele existam 12.000.000.000 de bioforos, ou partículas finais de matéria viva, um número suficiente para explicar a transmissão hereditária, e observa: “Assim é concebível que as atividades vitais também possam ser determinadas pelo tipo de movimento que ocorre nas moléculas daquilo de que falamos como matéria viva. Pode ser diferente em espécie de alguns dos movimentos conhecidos pelos físicos, e é concebível que a vida pode ser a transmissão para a matéria morta, cujas moléculas têm já um tipo especial de movimento, de uma forma de movimento sui generis”.

Agora, no reino dos seres orgânicos, estruturas simétricas – aquelas com simetria direita e esquerda – estão por toda parte em evidência. Admitindo que existem quatro dimensões, o giro mais simples produz a forma da imagem e, por meio de estruturas de dobragem, poderiam ser produzidas, duplicadas para a direita e para a esquerda, como no caso da simetria em um plano.

Assim, uma característica muito geral das formas de organismos poderia ser explicada pela suposição de que um movimento quadridimensional estava envolvido no processo da vida.

Contudo se movimentos quadridimensionais correspondem em outros aspectos à demanda do fisiologista por um tipo especial de movimento, ou não, eu não sei. Nosso negócio é com a evidência de sua existência física. Com essa finalidade é necessário examinar a significância da rotação em volta de um plano no caso de matéria extensível e fluida.

Vamos nos demorar um pouco mais na rotação de um corpo rígido. Olhando para o cubo na figura 131, que gira em torno da face de ABFE, vemos que qualquer linha na face pode tomar o lugar das linhas verticais e horizontais que examinamos. Pegue a linha diagonal AF e a seção até GH. As porções de matéria que estavam em um lado de AF, nessa seção na figura 131, estão no lado oposto na figura 136. Eles deram a volta na linha AF. Assim, a rotação em volta de uma face pode ser considerada como um número de rotações de seções em volta de linhas paralelas.

A virada de duas linhas diferentes é impossível no espaço tridimensional. Para dar outra ilustração, suponha que A e B sejam duas linhas paralelas no plano xy, e que CD e EF sejam duas hastes cruzando-as. Agora, no espaço de xyz, se as hastes girarem as linhas A e B na mesma direção, elas farão dois círculos independentes.

Figura 137

Quando o final F está indo para baixo, o final C estará chegando. Eles se encontrarão e entrarão em conflito.

Mas se girarmos as hastes ao redor do plano de AB pela rotação de z a w, esses movimentos não entrarão em conflito. Suponha que toda a figura seja removida com a exceção do plano xz e, a partir desse plano, desenhe o eixo de w, de modo que estejamos olhando para o espaço de xzw.

Aqui, na figura 138, não podemos ver as linhas A e B. Vemos os pontos G e H, nos quais A e B interceptam o eixo x, mas não podemos ver as linhas em si, pois elas correm na direção y, e isso não está no nosso desenho.

Figura 138

Agora, se as hastes se moverem com a rotação x para w, elas girarão em planos paralelos, mantendo suas posições relativas.

O ponto B, por exemplo, descreverá um círculo. Ao mesmo tempo, estará acima da linha A, em outro momento abaixo dela. Por isso, gira em volta de A.

Não apenas duas hastes, mas qualquer número de rotações que cruzam o plano se moverão em torno dele harmoniosamente.

Podemos pensar dessa rotação supondo que as hastes se levantem de uma linha para se mover naquela linha e, lembrando que não é inconsistente com essa rotação para as hastes de pé ao longo de outra linha também se moverem em torno dela, as posições relativas de todas as hastes sendo preservadas. Agora, se as hastes estiverem juntas, elas podem representar um disco de matéria e perceber que um disco de matéria pode girar em torno de um plano central.

A rotação ao redor de um plano é exatamente análoga à rotação ao redor de um eixo em três dimensões. Se quisermos que uma haste gire, as extremidades devem estar livres; então, se quisermos que um disco de matéria gire em torno de seu plano central por meio de um giro de quatro dimensões, todo o contorno deve estar livre. Todo o contorno corresponde às extremidades da haste. Cada ponto do contorno pode ser visto como a extremidade de um eixo no corpo, em volta de cada ponto do qual há uma rotação da matéria no disco.

Se a extremidade de uma haste for presa, podemos torcer a haste, mas não a girar, portanto, se qualquer parte do contorno de um disco estiver presa, podemos dar uma torção no disco, mas não o girar em torno de seu plano central. No caso de materiais extensíveis, uma haste longa e fina girará em torno de seu eixo, mesmo quando o eixo é curvado, como, por exemplo, no caso de um anel de borracha da Índia.

De maneira análoga, em quatro dimensões podemos ter rotação em torno de um plano curvo, se se pode usar tal expressão.

Uma esfera pode ser virada do avesso em quatro dimensões.

A figura 139 representa uma superfície esférica, em cada lado da qual existe uma camada de matéria. A espessura da matéria é representada pelas hastes CD e EF, estendendo igualmente por fora e por dentro.

Figura 139

Agora, pegue a seção da esfera pelo plano yz, temos um círculo – figura 140.

Figura 140

Agora, seja o eixo w ser desenhado no lugar do eixo x para que tenhamos o espaço de yzw representado. Neste espaço tudo o que será visto da esfera é o círculo desenhado.

Aqui vemos que não há obstáculo para impedir que as hastes girem. Se a matéria é tão elástica que fará o suficiente para que as partículas em E e C sejam separadas como estão em F e D, elas podem girar em torno das posições D e F, e um movimento similar é possível para todas as outras partículas.

Não há problema ou obstáculo para impedi-los de sair na direção w e, em seguida, arredondar a circunferência como um eixo. Agora, o que valerá para uma seção será válido para todas, já que a quarta dimensão é perpendicular a todas as seções que podem ser feitas da esfera.

Supusemos a questão de que a esfera é composta para ser tridimensional. Se a matéria tivesse uma espessura pequena na quarta dimensão, haveria uma leve espessura na figura 140, acima do plano do papel – espessura igual à espessura da matéria na quarta dimensão. As hastes teriam que ser substituídas por placas finas. Mas isso não faria diferença quanto à possibilidade da rotação. Esta moção é discutida por Newcomb no primeiro volume do American Journal of Mathematics.

Vamos considerar agora, não um corpo meramente extensível, mas um corpo líquido. Uma massa de líquido em rotação, turbilhão, redemoinho ou vórtice tem muitas propriedades notáveis. Na primeira consideração, devemos esperar que a massa rotativa do líquido se espalhe imediatamente e se perca no líquido circundante. A água flutua para fora de uma roda girando, e devemos esperar que o líquido rotativo seja disperso. Contudo veja os redemoinhos em um rio estranhamente persistente.

Os anéis que ocorrem em baforadas de fumaça e duram tanto tempo são redemoinhos ou vórtices curvados ao redor para que suas extremidades opostas se juntem. Um ciclone viajará por grandes distâncias.

Helmholtz foi o primeiro a investigar as propriedades dos vórtices. Ele as estudou como ocorreria em um fluido perfeito – isto é, sem fricção de uma porção móvel ou outra. Em tal meio, os vórtices seriam indestrutíveis.

Eles continuariam para sempre, alterando sua forma, mas consistindo sempre na mesma porção do fluido. Mas um vórtice direto não poderia existir cercado inteiramente pelo fluido. As extremidades de um vórtice devem atingir algum limite dentro ou fora do fluido.

Um vórtice que é dobrado de forma que suas extremidades opostas se juntem é capaz de existir, mas nenhum vórtice tem uma extremidade livre no fluido. O fluido em volta do vórtice está sempre em movimento, e um produz um movimento definido em outro.

Lorde Kelvin propôs a hipótese de que porções de um fluido segregado em vórtices são responsáveis pela origem da matéria. As propriedades do Éter em relação à sua capacidade de propagação de perturbações podem ser explicadas pela suposição de vórtices nele, em vez de por uma propriedade de rigidez. É difícil conceber, no entanto, qualquer arranjo dos anéis de vórtice e filamentos intermináveis de vórtice no Éter.

Agora, a consideração adicional das rotações quadridimensionais mostra a existência de um tipo de vórtice que tornaria um Éter preenchido com um movimento de vórtice homogêneo facilmente pensável.

Para entender a natureza desse vórtice, devemos prosseguir e dar um passo pelo qual aceitamos todo o significado da hipótese quadridimensional. Conferidos eixos quadridimensionais, vimos que uma rotação de um para o outro deixa dois inalterados, e estes dois formam o plano axial em torno do qual ocorre a rotação. Mas, e esses dois? Eles necessariamente permanecem imóveis? Não há nada que impeça a rotação desses dois, um para o outro, ocorrendo simultaneamente com a primeira rotação. Essa possibilidade de dupla rotação merece a mais cuidadosa atenção, pois é o tipo de movimento que é distintamente típico de quatro dimensões.

A rotação ao redor de um plano é análoga à rotação ao redor de um eixo. Mas no espaço tridimensional não há movimento análogo à rotação dupla, na qual, enquanto o eixo 1 se transforma no eixo 2, o eixo 3 se transforma no eixo 4.

Considere um corpo quadridimensional, com quatro eixos independentes, x, y, z, w. Um ponto nele pode se mover em apenas uma direção em um determinado momento. Se o corpo tiver uma velocidade de rotação pela qual o eixo z muda para o eixo y e todas as seções paralelas se moverem de maneira semelhante, o ponto descreverá um círculo. Se, agora, além da rotação pela qual o eixo x se altera no eixo y, o corpo tem uma rotação pela qual o eixo z se transforma no eixo w, o ponto em questão terá um movimento duplo em consequência das duas voltas. Os movimentos serão compostos, e o ponto descreverá um círculo, mas não o mesmo círculo que ele descreveria em virtude de qualquer rotação separadamente.

Sabemos que se um corpo no espaço tridimensional receber dois movimentos de rotação, ele se combinará em um único movimento de rotação em torno de um eixo definido. Não está em condição diferente daquela em que está sujeito a um movimento de rotação. A direção do eixo muda; isso é tudo. O mesmo não é verdade sobre um corpo quadridimensional. As duas rotações, x para y e z para w, são independentes. Um corpo sujeito aos dois está em uma condição totalmente diferente daquela em que está quando está sujeito apenas a um. Quando sujeito a uma rotação como a de x para y, um plano inteiro no corpo, como vimos, é estacionário. Quando sujeito à rotação dupla, nenhuma parte do corpo é estacionária, exceto o ponto comum aos dois planos de rotação.

Se as duas rotações são iguais em velocidade, cada ponto no corpo descreve um círculo. Todos os pontos igualmente distantes do ponto estacionário descrevem círculos de tamanho igual.

Podemos representar uma esfera de quatro dimensões por meio de dois diagramas, em um dos quais tomamos os três eixos x, y, z; no outro, os eixos x, w e z. Na figura 141 temos a visão de uma esfera quadridimensional no espaço de xyz. A figura 141 mostra tudo o que podemos ver das quatro esferas no espaço de xyz, pois representa todos os pontos naquele espaço, que estão a uma distância igual do centro.

Figura 141                                                  Figura 142

Vamos agora pegar a seção xz, e deixar o eixo de w tomar o lugar do eixo y. Aqui, na figura 142, temos o espaço de xzw. Neste espaço temos que tomar todos os pontos que estão à mesma distância do centro, consequentemente temos outra esfera. Se tivéssemos uma esfera tridimensional, como foi mostrado antes, deveríamos ter apenas um círculo no espaço xzw, o círculo xz visto no espaço de xzw. Mas agora, tomando a visão no espaço de xzw, também temos uma esfera nesse espaço. De maneira semelhante, qualquer que seja o conjunto de três eixos, obtemos uma esfera.

Na figura 141, vamos imaginar que está ocorrendo a rotação na direção xy. O ponto x irá virar para y e p para p’. O eixo zz’ permanece estacionário, e esse eixo é todo o plano xw que podemos ver na seção espacial exibida na figura.

Na figura 142, imagine que a rotação de x para w está ocorrendo. O eixo w ocupa agora a posição anteriormente ocupada pelo eixo y. Isso não significa que o eixo w possa coincidir com o eixo y. Isso indica que estamos olhando para a esfera de quatro dimensões de um ponto de vista diferente. Qualquer visão de três espaços nos mostrará três eixos, e na figura 142 estamos olhando para xzw.

A única parte que é idêntica nos dois diagramas é o círculo dos eixos x e z, cujos eixos estão contidos em ambos os diagramas. Assim, o plano zxz’ é o mesmo em ambos, e o ponto p representa o mesmo ponto em ambos os diagramas. Agora, na figura 142 deixe a rotação zw ocorrer, o eixo x irá girar em direção ao ponto w do eixo w, e o ponto p irá se mover em um círculo em torno do ponto x.

Assim na figura 141 o ponto p se move em um círculo paralelo ao plano xy: na figura 142 ele se move em um círculo paralelo ao plano zw, indicado pela seta.

Agora, suponhamos que ambas as rotações independentes sejam compostas, a ponta p se moverá em um círculo, mas este círculo não coincidirá com nenhum dos círculos nos quais qualquer uma das rotações o levará. O círculo em que o ponto p se moverá dependerá de sua posição na superfície das quatro esferas.

Nessa rotação dupla, possível no espaço de quatro dimensões, existe um tipo de movimento totalmente diferente de qualquer outro com o qual estamos familiarizados no espaço tridimensional.

É um requisito preliminar para a discussão do comportamento das pequenas partículas da matéria, com vistas a determinar se elas mostram as características dos movimentos quadridimensionais, para se familiarizarem com as principais características dessa dupla rotação. E aqui devo confiar em um consentimento formal e lógico, e não na apreensão intuitiva, que só pode ser obtida por um estudo mais detalhado.

Em primeiro lugar, esta dupla rotação consiste em duas variedades ou tipos, que chamaremos de tipos A e B.

Considere quatro eixos, x, y, z, w. A rotação de x para y pode ser acompanhada da rotação de z para w. Chame isso de um tipo A.

Mas também a rotação de x para y pode ser acompanhada pela rotação, de não z para w, mas w para z. Chame isso de tipo B.

Eles diferem em apenas uma das rotações dos componentes. Um não é o negativo do outro. É o semi-negativo.

O oposto de x para y, z para w seria y para x, w para z. O semi-negativo é x para y e w para z.

Se existem quatro dimensões e não podemos percebê-las, porque a extensão da matéria é tão pequena na quarta dimensão que todos os movimentos são retidos da observação direta, exceto os tridimensionais, não devemos observar essas rotações duplas, mas apenas os efeitos deles em movimentos tridimensionais do tipo com o qual estamos familiarizados.

Se a matéria em suas pequenas partículas é quadridimensional, devemos esperar que essa rotação dupla seja uma característica universal dos átomos e moléculas, pois nenhuma porção da matéria está em repouso. As consequências desse movimento corpuscular podem ser percebidas, mas apenas sob a forma de rotação ou deslocamento comum. Assim, se a teoria das quatro dimensões é verdadeira, temos nos corpúsculos da matéria todo um mundo de movimento, que nunca poderemos estudar diretamente, mas apenas por meio da inferência.

A rotação A, como defini, consiste em duas rotações iguais – uma sobre o plano de zw, a outra sobre o plano de xy. É evidente que essas rotações não são necessariamente iguais. Um corpo pode estar se movendo com uma rotação dupla, na qual esses dois componentes independentes não são iguais; mas, nesse caso, podemos considerar que o corpo se move com uma rotação composta – uma rotação do tipo A ou B e, além disso, uma rotação em torno de um plano.

Se combinarmos um movimento A e B, obtemos uma rotação em torno de um plano; para o primeiro sendo x para y e x para w, e o segundo sendo x para y e w para z, quando eles são colocados juntos, as rotações de z a w e w a z neutralizam-se mutuamente, e obtemos uma rotação de x para y apenas, que é uma rotação sobre o plano de zw. Similarmente, se tomarmos uma rotação B, y para x e z para w, obtemos, combinando isso com a rotação A, uma rotação de z sobre o plano xy. Nesse caso, o plano de rotação está no espaço tridimensional de xyz e temos – o que foi descrito antes – uma torção em torno de um plano em nosso espaço.

Considere agora uma porção de um líquido perfeito com um movimento A. Pode ser provado que possui as propriedades de um vórtice. Forma uma individualidade permanente – uma porção separada do líquido – acompanhada por um movimento do líquido circundante. Possui propriedades análogas às de um filamento de vórtices. Mas não é necessário para a sua existência que os seus fins atinjam o limite do líquido. É autossuficiente e, a menos que seja perturbado, é circular em todas as seções.

Se supusermos que o Éter tenha suas propriedades de transmitir vibração dadas por tais vórtices, devemos investigar como eles se encontram juntos no espaço de quatro dimensões.

Colocando um disco circular em um plano e rodeando-o por seis outros, descobrimos que se o central receber um movimento de rotação, ele transmite aos outros uma rotação que é antagônica em todos os dois adjacentes.

Figura 143

Se A passar, como mostrado pela seta, B e C estarão se movendo de maneira oposta, e cada um tende a destruir o movimento do outro.

Agora, se supusermos que as esferas sejam arranjadas de maneira correspondente no espaço tridimensional, elas serão agrupadas em figuras que são para o espaço tridimensional o que os hexágonos são para o espaço plano. Se várias esferas de argila mole forem pressionadas juntas, de modo a encher os interstícios, cada uma assumirá a forma de uma figura de catorze faces chamada de tetrakaidekagon[35].

Agora, assumindo o espaço para ser preenchido com tais tetrakaidekagons e colocando uma esfera em cada um deles, será descoberto que uma esfera é tocada por seis outras. As oito esferas restantes, das catorze que circundam a central, não a tocarão, mas tocarão três das que estão em contato com ela. Portanto, se a esfera central girar, ela não necessariamente conduzirá os que a cercam, de modo que seus movimentos sejam antagônicos entre si, mas as velocidades não se organizarão de maneira sistemática.

No espaço de quatro dimensões, a figura que forma o próximo termo do hexágono da série, tetrakaidekagon, é uma figura de trinta lados. Tem para suas faces dez tetrakaidekagons sólidos e vinte prismas hexagonais. Tais figuras preencherão exatamente o espaço de quatro dimensões, cinco delas se encontrando em todos os pontos. Se, agora, em cada uma dessas figuras, supusermos que uma esfera quadridimensional sólida seja colocada, qualquer esfera é cercada por outras trinta. Destes toca dez, e, se gira, dirige o resto por meio destes. Agora, se imaginarmos que a esfera central receberá uma rotação A ou B, ela transformará toda a massa da esfera de maneira sistemática.

Suponha que o espaço quadridimensional a ser preenchido com tais esferas, cada uma girando com uma rotação dupla, a massa inteira formaria um sistema consistente de rotação, no qual cada uma dirigia uma à outra, sem atrito ou atraso.

Cada esfera teria o mesmo tipo de rotação. No espaço tridimensional, se um corpo dirigir outra rodada, o segundo corpo gira com o tipo oposto de rotação; mas no espaço de quatro dimensões essas esferas quadridimensionais teriam cada uma a dupla negativa da rotação da próxima, e vimos que a dupla negativa de uma rotação A ou B ainda é uma rotação A ou B. Assim, o espaço quadridimensional poderia ser preenchido com um sistema de energia viva autoconservadora. Se imaginarmos as esferas quadridimensionais como sendo líquidas e não como matéria sólida, então, mesmo que o líquido não fosse perfeito e houvesse um ligeiro efeito retardador de um vórtice em outro, o sistema ainda se manteria.

Nessa hipótese, devemos considerar o Éter como possuidor de energia e sua transmissão de vibrações, não como o transporte de um movimento transmitido de fora, mas como uma modificação de seu próprio movimento.

Estamos agora de posse de algumas das concepções da mecânica quadridimensional, e nos desviamos da linha de seu desenvolvimento para indagar se há alguma evidência de sua aplicabilidade aos processos da natureza.

Existe algum modo de movimento na região do minuto que, dando movimentos tridimensionais para seu efeito, ainda em si escapa ao alcance de nossas teorias mecânicas? Eu apontaria para eletricidade. Através dos trabalhos de Faraday e Maxwell, estamos convencidos de que os fenômenos da eletricidade são da natureza do estresse e da tensão de um meio; mas ainda há uma lacuna a ser preenchida em sua explicação – as leis da elasticidade, que Maxwell supõe não são as da matéria comum.

E, para tomar outro exemplo: um polo magnético na vizinhança de uma corrente tende a se mover. Maxwell mostrou que as pressões sobre ele são análogas às velocidades em um líquido que existiriam se um vórtice ocupasse o lugar da corrente elétrica: mas não podemos apontar a explicação mecânica definitiva dessas pressões.

Deve haver algum modo de movimento de um corpo ou do meio em virtude do qual se diz que um corpo é eletrificado.

Pegue os íons que transmitem cargas de eletricidade 500 vezes maior em proporção à sua massa do que são transportados pelas moléculas de hidrogênio na eletrólise. Em relação a que movimento esses íons podem ser eletrificados?

Pode ser mostrado que a energia que eles possuem não é energia de rotação. Pense em uma haste curta girando. Se ela for virada, ela estará girando na direção oposta. Agora, se a rotação em uma direção corresponde à eletricidade positiva, a rotação na direção oposta corresponde à eletricidade negativa, e as menores partículas eletrificadas teriam suas cargas invertidas ao serem viradas – uma suposição absurda.

Se fixarmos um modo de movimento como uma definição de eletricidade, devemos ter duas variedades dele, uma para positivo e outra para negativo; e um corpo que possua o único tipo não deve se tornar possuidor do outro por qualquer mudança em sua posição.

Todos os movimentos tridimensionais são compostos de rotações e translações, e observe que eles satisfazem essa primeira condição para se alinhar como uma definição de eletricidade.

Mas considere a rotação dupla dos tipos A e B.

Um corpo girando com o movimento A não pode ter seu movimento transformado no tipo B por ser de algum modo revertido. Suponha que um corpo tenha a rotação x para y e z para w. Girando sobre o plano xy, nós invertemos a direção do movimento x para y. Mas também invertemos o movimento de z para w, pois o ponto na extremidade do eixo z positivo está agora na extremidade do eixo z negativo e, como não interferimos em seu movimento, ele vai na direção da posição w. Portanto, temos y para x e w para z, que é o mesmo que x para y e z para w.

Assim, ambos os componentes são invertidos, e há o movimento A novamente. O tipo B é o semi-negativo, com apenas um componente invertido.

Por isso, um sistema de moléculas com o movimento A não as destruiria umas nas outras e as transmitiria a um corpo em contato com elas. Assim, os movimentos A e B possuem o primeiro requisito que deve ser exigido em qualquer modo de movimento representativo da eletricidade.

Vamos traçar as consequências de definir a eletricidade positiva como um movimento A e a eletricidade negativa como um movimento B. A combinação de eletricidade positiva e negativa produz uma corrente. Imagine um vórtice no Éter do tipo A e una-o ao do tipo B.

Um movimento A e um movimento B produzem rotação em torno de um plano, que é no Éter um vórtice em torno de uma superfície axial. É um vórtice do tipo que representamos como parte de uma esfera virada do avesso. Agora, esse vórtice deve ter sua borda na fronteira do Éter – em um corpo no Éter.

Vamos supor que um condutor seja um corpo que tenha a propriedade de servir como o encosto terminal de tal vórtice. Então a concepção que devemos formar de uma corrente fechada é de uma folha de vórtice tendo sua borda ao longo do circuito do fio condutor. O fio inteiro será então como os centros nos quais um fuso gira no espaço tridimensional, e qualquer interrupção da continuidade do fio produzirá uma tensão no lugar de uma revolução contínua.

Como a direção da rotação do vórtice é de uma direção de três espaços para a quarta dimensão e vice-versa, não haverá direção de fluxo para a corrente; mas terá dois lados, conforme z vai para w ou z vai para negativo w.

Podemos desenhar qualquer linha de uma parte do circuito para outra; então o Éter, ao longo dessa linha, está girando em torno de seus pontos.

Essa imagem geométrica corresponde à definição de um circuito elétrico. Sabe-se que a ação não está no fio, mas no meio, e sabe-se que não há direção de fluxo no fio.

Nenhuma explicação foi oferecida na mecânica tridimensional de como uma ação pode ser impressa em toda a região e, no entanto, necessariamente se desenvolve ao longo de um limite fechado, como é o caso de uma corrente elétrica. Mas esse fenômeno corresponde exatamente à definição de um vórtice quadridimensional.

Se pegarmos um ímã muito comprido, desde que um de seus polos esteja praticamente isolado, e colocarmos esse polo na vizinhança de um circuito elétrico, descobriremos que ele se move.

Agora, supondo por simplicidade que o fio que determina a corrente está na forma de um círculo, se pegarmos um número de pequenos ímãs e colocá-los todos apontando na mesma direção normal ao plano do círculo, de modo que eles o preenchem e o fio os prende, descobrimos que essa folha de ímãs tem o mesmo efeito no polo magnético que a corrente tem. A folha de ímãs pode ser curva, mas a borda dela deve coincidir com o fio. A coleção de ímãs é então equivalente à folha de vórtice e um ímã elementar a uma parte dela. Assim, devemos pensar em um imã como condicionador de uma rotação no Éter ao redor do plano que corta em ângulo reto a linha que une seus polos.

Se uma corrente é iniciada em um circuito, devemos imaginar vórtices como tigelas virando-se de dentro para fora, a partir do contorno. Ao alcançar um circuito paralelo, se a folha de vórtice fosse interrompida e unida momentaneamente ao segundo circuito por um aro livre, o plano de eixo ficaria entre os dois circuitos, e um ponto no segundo circuito oposto a um ponto no primeiro corresponderia a um ponto oposto ao primeiro; portanto, devemos esperar uma corrente na direção oposta no segundo circuito.

Assim, os fenômenos de indução não são inconsistentes com a hipótese de um vórtice sobre um plano axial.

No espaço de quatro dimensões, no qual todas as quatro dimensões eram comensuráveis, a intensidade da ação transmitida pelo meio variaria inversamente como o cubo da distância. Agora, a ação de uma corrente em um polo magnético varia inversamente com o quadrado da distância; portanto, distâncias super-mensuráveis a extensão do Éter na quarta dimensão não pode ser assumida como diferente de pequena em comparação com essas distâncias.

Se supusermos que o Éter seja preenchido com vórtices na forma de esferas quadridimensionais girando com o movimento A, o movimento B corresponderia à eletricidade na teoria de um fluido. Haveria, assim, uma possibilidade de eletricidade existir em duas formas, estaticamente, por si só, e combinada com o movimento universal, na forma de uma corrente.

Para chegar a uma conclusão definitiva, será necessário investigar as pressões resultantes que acompanham a colocação de vórtices sólidos com os de superfície.

Recapitulando: Os movimentos e mecânica do espaço de quatro dimensões são definidos e inteligíveis. Um vórtice com uma superfície como seu eixo permite uma imagem geométrica de um circuito fechado, e há rotações que, pela sua polaridade, proporcionam uma possível definição de eletricidade estática.

APÊNDICE I – OS MODELOS

No capítulo XI foi dada uma descrição que permitirá a qualquer um fazer um conjunto de modelos ilustrativos do tesserato e suas propriedades. O conjunto aqui a ser empregado consiste em:

1. Três conjuntos de vinte e sete cubos cada.
2. Vinte e sete placas.
3. Doze cubos com pontos, linhas, faces, distinguidos por cores, que serão chamados de cubos de catálogo.

A preparação dos doze cubos de catálogo envolve o gasto de uma quantidade considerável de tempo. É vantajoso usá-los, mas eles podem ser substituídos pelo desenho das faces do tesserato ou por uma referência às figuras 103, 104, 105, 106 do texto.

As placas são coloridas como os vinte e sete cubos do primeiro bloco cúbico na figura 101, aquele com eixos vermelhos, brancos e amarelos.

As cores dos três conjuntos de vinte e sete cubos são as dos cubos mostrados na figura 101.

As placas são usadas para formar a representação de um cubo em um plano e podem ser dispensadas por qualquer um que esteja acostumado a lidar com figuras sólidas. Mas toda a teoria depende de uma observação cuidadosa de como o cubo seria representado por essas placas.

No primeiro passo, o de formar uma ideia clara de como um plano representaria um espaço tridimensional, apenas um dos cubos de catálogo e um dos três blocos são necessários.

A APLICAÇÃO AO PASSO DO PLANO PARA SE CHEGAR AO SÓLIDO

Olhe para a figura 1 da vista do tesserato, ou, o que acontece, pegue o cubo nº 1 do catálogo e coloque-o diante de você com a linha vermelha subindo, a linha branca correndo para a direita, a linha amarela indo embora. As três dimensões do espaço são, então, marcadas por essas linhas ou eixos. Agora pegue um pedaço de papelão ou um livro e coloque-o de modo que ele forme uma parede que se estenda para cima e para baixo, não oposta a você, mas corra paralela à parede da sala à sua esquerda.

Colocando o cubo do catálogo contra essa parede, vemos que ele entra em contato com ele pelas linhas vermelha e amarela, e pela face laranja incluída.

No mundo do ser do plano, o aspecto que ele tem do cubo seria um quadrado cercado por linhas vermelhas e amarelas com pontos cinzentos.

Agora, mantendo a linha vermelha fixa, gire o cubo para que a linha amarela saia para a direita e a linha branca entre em contato com o plano.

Nesse caso, um aspecto diferente é apresentado ao ser do plano, um quadrado, ou seja, rodeado por linhas vermelhas e brancas e pontos cinzentos. Você deve notar particularmente que quando a linha amarela sai, perpendicularmente ao plano, e o branca entra, o segundo não corre no mesmo sentido que a amarela.

Do ponto fixo cinza na base da linha vermelha, a linha amarela correu para longe de você. A linha branca agora corre em sua direção. Essa rotação em ângulos retos faz com que a linha que estava fora do plano anterior entre em um sentido oposto àquele em que a linha correu, que acabou de sair do plano. Se o cubo não romper o plano, essa é sempre a regra.

Novamente gire o cubo de volta para a posição normal com a vermelha subindo, branca para a direita e amarela para longe, e tente outro giro.

Você pode manter a linha amarela fixa e girar o cubo sobre ela. Nesse caso, a linha vermelha saindo para a direita, a linha branca virá apontando para baixo.

Você será obrigado a elevar o cubo da mesa para realizar esse giro. Sempre é necessário quando um eixo vertical sai de um espaço para imaginar um suporte móvel que permita que a linha que se findou antes, venha abaixo.

Tendo olhado as três maneiras de girar o cubo de modo a apresentar diferentes faces ao plano, examine qual seria a aparência se um buraco quadrado fosse cortado no pedaço de papelão, e o cubo passasse por ele.

Um buraco pode ser realmente cortado, e será visto que na posição normal, com o eixo vermelho subindo, amarelo para longe, e branco para a direita, o primeiro quadrado percebido pelo ser do plano – o contido pelas linhas vermelhas e amarelas – seria substituído por outro quadrado cuja linha em sua direção é rosa – a linha de corte da face rosa.

A linha acima é amarela claro, abaixo é amarela claro e no lado oposto a você é rosa.

Da mesma forma, o cubo pode ser empurrado através de uma abertura quadrada no plano a partir de qualquer uma das posições nas quais você já o transformou. Em cada caso, o ser do plano vai perceber um conjunto diferente de linhas de contorno.

Tendo observado esses fatos sobre o cubo do catálogo, passe agora para o primeiro bloco de vinte e sete cubos.

Você percebe que o esquema de cores no cubo de catálogo e aquele desse conjunto de blocos é o mesmo.

Coloque-os diante de você, um cubo cinza ou nulo na mesa, acima disso um cubo vermelho e no topo outro cubo nulo. Então, longe de você, coloque um cubo amarelo e, além dele, um cubo nulo. Então do lado direito, coloque um cubo branco e além dele outro nulo. Em seguida, complete o bloco, de acordo com o esquema do cubo de catálogo, colocando no centro de tudo um cubo ocre.

Agora você tem um cubo como o descrito no texto. Por uma questão de simplicidade, em alguns casos, esse bloco cúbico pode ser reduzido a um dos oito cubos, deixando de fora as terminações em cada direção. Assim, em vez de nulo, vermelho, nulo, três cubos, você pode usar nulo, vermelho, dois cubos e assim por diante.

É útil, no entanto, praticar a representação em um plano de um bloco de vinte e sete cubos. Para esse propósito, pegue as placas, e construa-as contra o pedaço de papelão, ou o livro, de forma a representar os diferentes aspectos do cubo.

Proceda da seguinte forma: – Primeiro, cubo na posição normal.

Coloque nove placas contra o papelão para representar os nove cubos na parede dos eixos vermelho e amarelo, de frente para o papelão; estes representam o aspecto do cubo ao tocar o plano.

Agora, empurre-os ao longo do papelão e faça um conjunto diferente de nove placas para representar a aparência que o cubo apresentaria ao plano de um ser do plano, se ele fosse passar na metade do caminho.

Haveria uma placa branca, acima de uma rosa, acima da outra branca, e outras seis, representando o que seria a natureza de uma seção no meio do bloco de cubos. A seção pode ser considerada como uma fatia fina cortada por dois cortes paralelos ao longo do cubo.

Tendo organizado essas nove placas, empurre-as ao longo do plano e faça outro conjunto de nove para representar o que seria a aparência do cubo quando este já tivesse passado quase completamente. Este conjunto de nove será o mesmo que o primeiro conjunto de nove.

Agora temos no plano três conjuntos de nove placas cada, que representam três seções do bloco: vinte e sete.

Eles são colocados lado a lado. Veja que não importa em que ordem os três conjuntos de nove são colocados.

À medida que o cubo passa pelo plano, eles representam as aparências que seguem um após o outro. Se eles fossem o que eles representavam, eles não poderiam existir no mesmo plano juntos.

Esse é um ponto bastante importante, a saber: notar que eles não deveriam coexistir no plano, e que a ordem em que eles são colocados é indiferente. Quando representamos um corpo quadridimensional, nossos cubos sólidos estão para nós na mesma posição que as placas estão para o ser do plano. Você também deve notar que cada uma dessas placas representa apenas a fatia mais fina de um cubo. O conjunto de nove placas primeiro configurado representa a superfície lateral do bloco. É, por assim dizer, uma espécie de bandeja – um começo a partir do qual o cubo sólido se apaga. As placas, como as usamos, têm espessura, mas essa espessura é uma necessidade de construção. Elas devem ser consideradas apenas como a espessura de uma linha.

Se agora o bloco de cubos passasse pelo plano na taxa de uma polegada por minuto, a aparência para um ser do plano seria representada por:

1. O primeiro conjunto de nove placas com duração de um minuto.
2. O segundo conjunto de nove placas com duração de um minuto.
3. O terceiro conjunto de nove placas com duração de um minuto.

Agora, as aparências que os cubos apresentariam ao ser do plano em outras posições podem ser mostradas por meio dessas placas. O uso de tais placas seria o meio pelo qual um ser do plano poderia adquirir uma familiaridade com o cubo. Gire o cubo do catálogo (ou imagine a figura colorida virada) para que a linha vermelha suba, a linha amarela para a direita e a linha branca para você. Em seguida, vire o bloco de cubos para ocupar uma posição semelhante.

O bloco tem agora uma parede diferente em contato com o plano. Sua aparência para um ser do plano não será a mesma de antes. Ele tem, no entanto, placas suficientes para representar este novo conjunto de aparições. Contudo, ele deve remodelar seu antigo arranjo deles.

Ele deve pegar um nulo, um vermelho e um nulo do primeiro de seus conjuntos de placas, depois um branco, um rosa e um branco do segundo, e então um nulo, um vermelho e um nulo do terceiro conjunto de placas.

Ele pega a primeira coluna do primeiro conjunto, a primeira coluna do segundo conjunto e a primeira coluna do terceiro conjunto.

Para representar a aparência intermediária, que é como se uma fatia muito fina fosse cortada na metade do bloco, ele deveria pegar a segunda coluna de cada um de seus conjuntos de placas e, para representar a aparência final, a terceira coluna de cada conjunto.

Agora gire o cubo do catálogo de volta para a posição normal e também o bloco de cubos.

Há outra virada – uma curva na linha amarela, na qual o eixo branco fica abaixo do suporte. Você não pode romper a superfície da mesa, então você deve imaginar o antigo suporte para ser levantado. Em seguida, o topo do bloco de cubos em sua nova posição está no nível em que a base era anteriormente.

Agora representando a aparência no plano, devemos desenhar uma linha horizontal para representar a base antiga. A linha deve ser desenhada a 7,6 centímetros de altura na folha.

Abaixo disso, as placas representativas podem ser dispostas.

É fácil ver o que eles são. Os arranjos antigos precisam ser quebrados, e as camadas são tomadas em ordem, a primeira camada de cada uma para a representação do aspecto do bloco ao tocar o plano.

Em seguida, as segundas camadas representarão a aparência no meio e as terceiras camadas representarão a aparência final.

É evidente que as placas, individualmente, não representam a mesma porção do cubo nessas diferentes apresentações.

No primeiro caso, cada placa representa uma seção ou uma face perpendicular ao eixo branco; no segundo caso, uma face ou uma seção que corre perpendicularmente ao eixo amarelo e, no terceiro caso, uma seção ou uma face perpendicular ao eixo vermelho.

Mas, por meio dessas nove placas, o ser do plano pode representar todo o bloco cúbico. Ele pode tocar e manusear cada porção do bloco cúbico, não há parte dele que ele não possa observar. Tomando-o pouco a pouco, dois eixos de cada vez, ele pode examinar tudo isso.

NOSSA REPRESENTAÇÃO DE UM BLOCO DE TESSERATOS

Observe as visualizações dos tesseratos 1, 2, 3 ou pegue os cubos de catálogo 1, 2, 3 e coloque-os à sua frente, em qualquer ordem, digamos, deslizando da esquerda para a direita, colocando 1 na posição normal, o eixo vermelho subindo, o branco para a direita e o amarelo para longe.

Agora note que no cubo de catálogo 2 as cores de cada região são derivadas daquelas da região correspondente do cubo 1 pela adição de azul. Assim, nulo + azul = azul e os cantos do número 2 são azuis. Novamente, vermelho + azul = púrpura e as linhas verticais de 2 são púrpuras.

Azul + amarelo = verde e a linha que sai é colorida de verde.

Por meio dessas observações, você deve ter certeza de que o cubo de catálogo 2 é colocado corretamente. O cubo de catálogo 3 é igual ao número 1.

Tendo esses cubos no que podemos chamar de posição normal, prossiga para construir os três conjuntos de blocos.

Isso é feito facilmente de acordo com o esquema de cores nos cubos de catálogo.

O primeiro bloco já conhecemos. Construa o segundo bloco, começando com um cubo de canto azul, colocando um púrpura nele, e assim por diante.

Tendo esses três blocos, temos os meios de representar as aparências de um grupo de oitenta e um tesseratos.

Vamos considerar um momento, como é a analogia no caso do ser do plano.

Ele tem seus três conjuntos de nove placas cada. Nós temos nossos três conjuntos de vinte e sete cubos cada.

Nossos cubos são como suas placas. Como suas placas não são as coisas que eles representam para ele, nossos cubos não são as coisas que eles representam para nós.

As placas do ser do plano são para ele as faces dos cubos.

Nossos cubos são então as faces dos tesseratos, os cubos pelos quais eles estão em contato com nosso espaço.

Como cada conjunto de placas no caso do ser do plano pode ser considerado como uma espécie de bandeja da qual saiu o conteúdo sólido dos cubos, então nossos três blocos de cubos podem ser considerados como tabuleiros de três espaços, cada um dos quais é o começo de uma polegada do conteúdo sólido dos sólidos quadridimensionais, começando com deles.

Queremos, agora, usar os nomes: nulo, vermelho, branco, etc., para os tesseratos. Os cubos que usamos são apenas faces do tesserato.

Vamos denotar esse fato chamando o cubo de cor nula, face nula; ou, em breve, nulo f., significando que é a face de um tesserato.

Para determinar qual face é, vamos examinar o cubo de catálogo 1 ou a primeira das visualizações do tesserato, que pode ser usado em vez dos modelos. Tem três eixos: vermelho, branco, amarelo, no nosso espaço. Portanto, o cubo determinado por esses eixos é a face do tesserato que temos agora diante de nós. É a face ocre. É suficiente, no entanto, simplesmente dizer nulo f., vermelho f. para os cubos que usamos.

Para impressionar isso em sua mente, imagine que os tesseratos realmente sejam executados em cada cubo. Então, quando você move os cubos, você move os tesseratos com eles.

Você move a face, mas o tesserato segue com ele, como o cubo segue quando sua face é deslocada em um plano.

O cubo nulo na posição normal é o cubo que contém os eixos vermelho, amarelo e branco. É a face tendo estes, mas querendo o azul. Dessa forma, você pode definir qual face você está manipulando. Escreverei um “f” depois do nome de cada tesserato, assim como o ser do plano poderia chamar cada uma das suas placas nula, placa amarela, etc., para indicar que eram representações.

Temos então, no primeiro bloco de vinte e sete cubos, o seguinte: nulo f., vermelho f., nulo f., subindo; branco f., nulo f., deitado à direita e assim por diante. Começando do ponto nulo e deslizando até dois centímetros e meio, estamos na região nula, o mesmo para as direções de distância e de direita.

E se fôssemos viajar na quarta dimensão por dois centímetros e meio, ainda estaríamos em uma região nula. O tesserato se estende igualmente de quatro maneiras. Portanto, a aparência que temos neste primeiro bloco seria igualmente boa se o bloco de tesseratos se movesse pelo nosso espaço por uma certa distância. Para menos de dois centímetros e meio de seu movimento transversal, ainda teríamos a mesma aparência.

Você deve notar, no entanto, que não devemos ter uma face nula, depois que o movimento começou.

Quando o tesserato, nulo, por exemplo, já havia se movido tão pouco, não deveríamos ter uma face nula, mas uma seção nula em nosso espaço. Assim, quando pensamos no movimento em nosso espaço, devemos chamar nossas seções de cubos de tesserato.

Assim, na passagem nula, devemos ver primeiro nulo f., depois nulo s., e, finalmente, nulo f., novamente.

Imagine agora todo o primeiro bloco de vinte e sete tesseratos que se moveram transversalmente ao nosso espaço a uma distância de uma polegada. Então o segundo conjunto de tesseratos, que originalmente ficavam a dois centímetros e meio de distância do nosso espaço, estaria pronto para entrar.

Suas cores são mostradas no segundo bloco de vinte e sete cubos que você tem diante de você. Elas representam as faces do tesserato do conjunto de tesseratos que ficam a dois centímetros e meio de distância de nosso espaço. Eles estão prontos agora para entrar e podemos observar suas cores. No lugar nulo f. ocupado antes, teremos azul f., no lugar de vermelho f. teremos púrpura f. e assim por diante. Cada tesserato é colorido como aquele cujo lugar é levado nesse movimento com a adição de azul.

Agora, se o bloco de tesserato continuar se movendo à velocidade de dois centímetros e meio por minuto, esse próximo conjunto de tesseratos irá ocupar um minuto de passagem. Veremos, para tomar o nulo, por exemplo, em primeiro lugar, a face nula, depois a seção nula e, em seguida, a face nula, novamente.

No final do segundo minuto, o segundo conjunto de tesseratos passou e o terceiro conjunto entra.

Isso, como você vê, é colorido como o primeiro. Ao todo, esses três conjuntos estendem-se por sete centímetros e 6 décimos na quarta dimensão, formando o bloco de tesserato de igual magnitude, em todas as dimensões.

Temos, agora, diante de nós um catálogo completo de todos os tesseratos do nosso grupo. Vimos todos eles e nos referiremos a esse arranjo dos blocos como a “posição normal”. Vimos o máximo de cada tesserato no tempo que poderia ser feito em um espaço tridimensional. Cada parte de cada tesserato esteve em nosso espaço e poderíamos tocá-lo.

A quarta dimensão nos apareceu como a duração do bloco.

Se um pouco da nossa matéria fosse submetido ao mesmo movimento, seria imediatamente removida do nosso espaço.

Sendo fina na quarta dimensão, é imediatamente retirada do nosso espaço por um movimento na quarta dimensão.

Contudo o bloco de tesseratos que representamos, tendo comprimento na quarta dimensão, permanece constante diante de nossos olhos por três minutos, quando está sujeito a esse movimento transversal.

Temos agora de formar representações das outras visões do mesmo grupo de tesserato que são possíveis em nosso espaço.

Vamos, então, virar o bloco de tesseratos para que outra face dele entre em contato com nosso espaço, e então, observando o que temos, e que mudanças virão quando o bloco atravessar nosso espaço, teremos outra visão dele. A dimensão que apareceu como duração antes se tornará extensão em uma de nossas dimensões conhecidas, e uma dimensão que coincide com um dos nossos espaços dimensionais aparecerão como duração.

Deixando o cubo de catálogo 1 na posição normal, remova os outros dois ou suponha que eles sejam removidos. Temos no espaço os eixos: vermelho, amarelo e branco.

Deixe o eixo branco sair para o desconhecido e ocupar a posição que o eixo azul contém. Então o eixo azul, que corre naquela direção, agora chegará ao espaço.

Entretanto não virá apontando da mesma maneira que o eixo branco faz agora. Apontará no sentido oposto. Ele virá deslizando para a esquerda, em vez de deslizar para a direita, como o eixo branco faz agora.

Quando essa rotação ocorre, todas as partes do cubo 1 desaparecerão, exceto a face esquerda – a face laranja.

E o novo cubo que aparece no nosso espaço irá deslizar para a esquerda a partir desta face laranja, tendo eixos, vermelho, amarelo, azul.

Pegue os modelos 4, 5, 6. Coloque 4, ou suponha que o número 4 do ponto de vista do tesserato, com sua face laranja coincidente com a face laranja de 1, linha vermelha para linha vermelha e linha amarela para linha amarela, com a linha azul apontando para a esquerda.

Em seguida, remova o cubo 1 e temos a face do tesserato que entra quando o eixo branco corre no desconhecido positivo, e o eixo azul entra no nosso espaço.

Agora coloque o cubo de catálogo 5 em alguma posição, não importa qual, digamos à esquerda; e coloque-o de modo que haja uma correspondência de cor correspondente à cor da linha que fica sem espaço. A linha que fica sem espaço é branca, portanto, cada parte desse cubo 5 deve diferir da parte correspondente de 4 por uma alteração na direção do branco.

Assim, temos pontos brancos em 5 correspondentes aos pontos nulos em 4. Temos uma linha rosa correspondente a uma linha vermelha; uma linha amarela clara correspondente a uma linha amarela; uma face ocre correspondente a uma face laranja. Essa seção do cubo é completamente detalhada no Capítulo XI. Finalmente, o cubo 6 é uma réplica do 4.

Esses cubos de catálogo nos permitirão configurar nossos modelos do bloco de tesseratos.

Em primeiro lugar, para o conjunto de tesseratos, que começam em nosso espaço, alcançam dois centímetros e meio no desconhecido, temos o padrão do cubo de catálogo 4.

Vemos que podemos construir um bloco de vinte e sete faces de tesserato após o esquema de cores do cubo 4, tomando a parede do lado esquerdo do bloco 1, depois a face do lado esquerdo do bloco 2 e, finalmente, a do bloco 3. Nós tomamos, isto é, as três primeiras faces do nosso arranjo anterior para formar o primeiro bloco cúbico desse novo.

Isso representará as faces cúbicas pelas quais o grupo de tesseratos em sua nova posição toca nosso espaço.

Nós estamos deslizando, nulo f., vermelho f., nulo f. Na próxima linha vertical, no lado distante de nós, temos amarelo f., laranja f., amarelo f. E depois as primeiras cores novamente.

Então as três colunas seguintes são, azul f., roxo f., azul f .; verde f., marrom f., verde f .; azul f., roxo f., azul f.

As últimas três colunas são como a primeira.

Esses tesseratos tocam nosso espaço, e nenhum deles é, por qualquer parte deles, distante mais do que dois centímetros e meio dele.

O que está além deles no desconhecido?

Isso pode ser dito olhando para o cubo de catálogo 5.

De acordo com seu esquema de cores, vemos que a segunda parede de cada um dos nossos antigos arranjos deve ser tomada.

Colocando-os juntos, temos, como o canto, branco f., acima dela; rosa f., acima dele; branco f. A coluna ao lado desse remoto de nós é a seguinte: amarelo claro f., ocre f., amarelo claro f. e, além disso, uma coluna como a primeira.

Então, para o meio do bloco, azul claro f., acima de púrpura claro, depois azul claro. A coluna central tem, na parte inferior, verde claro f, marrom claro f. no centro e no topo verde claro f. A última face é como a primeira.

O terceiro bloco é feito tomando as terceiras faces do nosso arranjo anterior, que chamamos de normal.

Você pode perguntar quais faces e quais seções nossos cubos representam. Para responder a essa pergunta, veja quais eixos você tem em nosso espaço. Você tem: vermelho, amarelo e azul.

Agora esses determinam o marrom. As cores: vermelho, amarelo, azul são supostas por nós quando misturadas para produzir uma cor marrom. E aquele cubo que é determinado pelos eixos vermelho, amarelo e azul que chamamos de cubo marrom.

Quando o bloco de tesserato, em sua nova posição, começa a se mover pelo nosso espaço, cada tesserato dá uma seção em nosso espaço. Essa seção é transversal ao eixo branco, que agora é desliza no desconhecido.

Como o tesserato, em sua posição atual, atravessa nosso espaço, devemos ver em primeiro lugar o primeiro bloco de faces cúbicas que colocamos – essas durariam por um minuto, depois vinha o segundo bloco e depois o terceiro. A princípio, deveríamos ter um cubo de faces de tesserato, cada uma das quais seria marrom. Diretamente o movimento iniciado, deveríamos ter secções transversais para a linha branca.

Existem mais duas posições análogas nas quais o bloco de tesseratos pode ser colocado. Para encontrar a terceira posição, restaure os blocos ao arranjo normal.

Vamos fazer o eixo amarelo sair para o desconhecido positivo, e o eixo azul, consequentemente, deslizar em nossa direção. O amarelo fugiu, então o azul virá deslizando em nossa direção.

Coloque o cubo de catálogo 1 em sua posição normal. Pegue o cubo de catálogo 7 e coloque-o de modo que sua face cor-de-rosa coincida com a face rosa do cubo 1, fazendo também que seu eixo vermelho coincida com o eixo vermelho de 1 e seu branco com o branco. Além disso, faça o cubo 7 vir para nós a partir do cubo 1. Olhando para ele, vemos em nossos eixos espaciais, vermelhos, brancos e azuis. O amarelo expira.

Coloque o cubo de catálogo 8 na vizinhança de 7 – observe que cada região em 8 tem uma mudança na direção de amarelo da região correspondente em 7. Isso é porque ele representa o que você encontra por ir no desconhecido, quando o eixo amarelo está fora do nosso espaço. Finalmente, o cubo de catálogo 9, que é como o número 7, mostra as cores do terceiro conjunto de tesseratos. Agora, evidentemente, a partir da posição normal, para compor os nossos três blocos de faces tesseratos, temos que tomar a face próxima do primeiro bloco, a face próxima do segundo e, em seguida, a face próxima do terceiro bloco. Isso nos dá o bloco cúbico formado pelas faces dos vinte e sete tesseratos que agora tocam imediatamente nosso espaço.

Seguindo o esquema de cores do catálogo de cubo 8, fazemos o próximo conjunto de vinte e sete faces de tesseratos, representando os tesseratos, cada um dos quais começa a dois centímetros e meio de distância de nosso espaço, colocando as segundas paredes de nosso arranjo anterior juntas e a representação do terceiro conjunto de tesseratos é o bloco cúbico formado das três faces restantes.

Como, para começar, temos eixos vermelhos, brancos e azuis em nosso espaço, os cubos que vemos em primeiro lugar são faces de tesserato púrpura claro e, após o início do movimento transversal, temos seções cúbicas transversais à linha amarela.

Restaure os blocos para a posição normal, permanece o caso em que o eixo vermelho fica fora do espaço. Neste caso, o eixo azul virá para baixo, oposto ao sentido em que o eixo vermelho correu.

Nesse caso, pegue os cubos de catálogo 10, 11 e 12. Levante o cubo de catálogo 1 e coloque 10 abaixo dele, imaginando que ele desce da posição anterior de 1.

Temos que manter no espaço os eixos branco e amarelo, e deixar o vermelho sair, o azul entrar.

Agora, você encontrará no cubo 10 uma face amarelo-clara; isso deve coincidir com a base de 1 e as linhas branca e amarela nos dois cubos devem coincidir. Em seguida, o eixo azul se esgota, o cubo do catálogo está posicionado corretamente e forma um guia para colocar o primeiro bloco representativo.

O cubo de catálogo 11 representará o que está na quarta dimensão – agora a linha vermelha é executada na quarta dimensão.

Assim, a mudança de 10 para 11 deve ser em direção ao vermelho; correspondente a um ponto nulo é um ponto vermelho, a uma linha branca é uma linha rosa, a uma linha amarela a uma linha laranja e assim por diante.

O cubo de catálogo 12 é como 10. Por isso, vemos que para construir nossos blocos de faces de tesserato devemos pegar a camada de baixo do primeiro bloco, segurar no ar, por baixo colocar a camada de baixo do segundo bloco e finalmente por baixo desta última camada inferior do último dos nossos blocos normais.

Da mesma forma, fazemos o segundo grupo representativo, tomando os cursos do meio dos nossos três blocos. O último é feito tomando as três camadas superiores. Os três eixos em nosso espaço antes do movimento transversal começar são azul, branco e amarelo, então temos faces de tesserato verde-claro e, após o movimento, começam as seções transversais à luz vermelha.

Esses três blocos representam as aparências, à medida que o grupo de tesseratos em sua nova posição atravessa nosso espaço.

Os cubos de contato, nesse caso, são aqueles determinados pelos três eixos em nosso espaço, ou seja, o branco, o amarelo, o azul. Daí eles são verdes claros.

Segue-se a isso que a luz verde é o cubo interior do primeiro bloco de faces cúbicas representativas.

A prática nas manipulações descritas, com uma realização em cada caso da face ou seção que está em nosso espaço, é um dos melhores meios de uma compreensão completa do assunto.

Temos que aprender como colocar qualquer parte dessas figuras quadridimensionais no espaço, para que possamos olhá-las. Devemos primeiro aprender a fazer um tesserato e um grupo de tesseratos de alguma forma.

Quando essas operações foram repetidas e o método de disposição do conjunto de blocos se tornar familiar, é um bom plano rotacionar os eixos do cubo normal 1 em relação a uma diagonal e depois repetir toda a série de giros.

Assim, na posição normal, o vermelho sobe, branco para a direita, amarelo para longe. Faça o branco subir, amarelo para a direita e vermelho para longe. Aprenda com o cubo nessa posição, colocando o conjunto de blocos do cubo normal, repetidamente até que se torne tão familiar para você como na posição normal. Então, quando isso for aprendido, e as mudanças correspondentes nos arranjos dos grupos de tesseratos forem feitas, outra mudança deve ser feita: deixe, no cubo normal, amarelo subir, vermelho para a direita e branco para longe.

Aprenda com o bloco normal de cubos nessa nova posição, organizando-os e reorganizando-os até que você saiba, sem pensar, aonde cada um vai. Em seguida, execute todos os arranjos e torneamentos do tesserato.

Se você quer entender o assunto, mas não vê o seu caminho com clareza, se não parecer natural e fácil para você, pratique esses movimentos. Pratique, em primeiro lugar, a rotação de um bloco de cubos, de modo que você o saiba em todas as posições, assim como no normal. Pratique gradualmente colocando o conjunto de cubos em seus novos arranjos. Em seguida, coloque os blocos de tesserato em seus arranjos. Isto lhe dará uma concepção funcional do espaço superior, você obterá a sensação disso, quer você tome o tratamento matemático dele ou não.

APÊNDICE II – A LINGUAGEM DO ESPAÇO

A mera nomeação das partes das figuras que consideramos envolve uma certa quantidade de tempo e atenção. Esse tempo e atenção não levam a nenhum resultado, pois a cada nova figura a nomenclatura aplicada é completamente alterada, cada letra ou símbolo é usado em um significado diferente.

Certamente, deve ser possível, de alguma forma, utilizar o trabalho agora, assim desperdiçado!

Por que não deveríamos criar uma linguagem para o próprio espaço, de modo que todas as posições a que queremos nos referir tivessem seu próprio nome? Então, toda vez que nomearíamos uma figura para demonstrar suas propriedades, deveríamos nos exercitar no vocabulário local.

Se usarmos um sistema definido de nomes, e sempre nos referirmos à mesma posição espacial com o mesmo nome, criaremos como se fossem um conjunto de pequenas mãos, cada uma preparada para apreender um ponto, posição ou elemento especial, e mantê-la por nós em suas relações adequadas.

Fazemos, para usar outra analogia, um tipo de papel mental, que tem algumas das propriedades de uma placa sensível, na medida em que registrará, sem esforço, impressões complexas, visuais ou táteis.

Contudo, de muito mais importância do que a aplicação de uma linguagem espacial ao plano e ao espaço sólido é a facilitação que ela traz consigo para o estudo do espaço de quatro dimensões.

Eu adiei a introdução de uma linguagem espacial porque todos os sistemas que eu fiz acabaram sendo, depois de dar a eles um julgamento justo, intoleráveis. Cheguei agora a uma que parece apresentar características de permanência, e vou dar aqui um esboço dela, de modo que ela possa ser aplicada ao assunto do texto, e para que possa ser submetido a críticas.

O princípio, no qual a linguagem é construída, é sacrificar todas as outras considerações por brevidade.

É curioso que possamos falar e conversar sobre todos os assuntos do pensamento, exceto o fundamental do espaço. A única maneira de falar sobre as configurações espaciais, que sustentam cada assunto do pensamento discursivo, é um sistema coordenado de números.

Isso é tão estranho e incômodo que nunca é usado. Ao pensar também, ao perceber formas, nós não as usamos; nos limitamos a uma visualização direta.

Agora, o uso de palavras corresponde ao armazenamento de nossa experiência em uma estrutura cerebral definida. Uma criança, nas infindáveis manipulações tatuais, visuais e mentais que faz por si mesma, é melhor deixada a si mesma, mas no decorrer da instrução a introdução de nomes de espaço tornaria o trabalho dos professores mais cumulativo e o conhecimento da criança mais social.

Seu pleno uso só pode ser apreciado se forem introduzidos no início do curso de educação; mas em menor grau, qualquer um pode se convencer de sua utilidade, especialmente em nosso assunto imediato de lidar com formas quadridimensionais. A soma total dos resultados obtidos nas páginas anteriores pode ser expressa de forma flexível e precisa em nove palavras da Linguagem Espacial.

Em um dos diálogos de Platão, Sócrates faz um experimento com um menino escravo ao lado. Ele faz certas percepções do espaço despertar na Mente do escravo de Meno, dirigindo sua atenção para alguns fatos simples da geometria.

Por meio de algumas palavras e algumas formas simples podemos repetir o experimento de Platão em um novo terreno.

Dirigimos nossa atenção aos fatos de quatro dimensões ao despertar uma faculdade latente em nós mesmos?

O antigo experimento de Platão, me parece, chegou até nós como sendo original no dia em que ele o introduziu, e seu significado não é mais bem compreendido através de toda a discussão sobre a qual tem sido sujeito.

Imagine um povo sem voz vivendo em uma região onde tudo tinha uma superfície aveludada e que, assim, ficava privado de toda oportunidade de experimentar o que é o som.

Eles podiam observar as pulsações lentas do ar causadas por seus movimentos e, argumentando por analogia, sem dúvida infeririam que vibrações mais rápidas eram possíveis. Do lado teórico, eles poderiam determinar tudo sobre essas vibrações mais rápidas. Eles simplesmente diferem, diriam, dos mais lentos, pelo número que ocorre em um dado momento; existe uma diferença meramente formal.

Entretanto, supondo que eles devessem se dar ao trabalho, desse esforçando bem mais para produzir essas vibrações mais rápidas; então uma sensação totalmente nova seria reproduzida em seus ouvidos rudimentares.

Provavelmente, a princípio, seriam apenas vagamente conscientes do Som, mas, mesmo a partir do primeiro, perceberiam que uma diferença meramente formal, uma mera diferença em número nesse particular aspecto, fazia uma grande diferença na prática, como relacionada a eles. E para nós a diferença entre três e quatro dimensões é meramente formal, numérica. Podemos dizer formalmente tudo sobre quatro dimensões, calcular as relações que existiriam. Mas que a diferença é meramente formal, não prova que é uma tarefa fútil e vazia, apresentar a nós mesmos, tanto quanto podemos, os fenômenos de quatro dimensões. Em nosso conhecimento formal, toda a questão de sua relação real conosco, como somos, é deixada em suspenso.

Possivelmente, uma nova apreensão da natureza pode chegar até nós, através do estudo prático, diferenciado do estudo matemático e formal de quatro dimensões. Como uma criança lida e examina os objetos com os quais entra em contato, podemos manipular e examinar mentalmente objetos quadridimensionais. O ponto a ser determinado é isso.

Encontramos algo cognato e natural para nossas faculdades, ou estamos apenas construindo uma apresentação artificial de um esquema apenas formalmente possível, concebível, mas que não tem conexão real com qualquer experiência existente ou possível?

Isso, parece-me, é uma questão que só pode ser resolvida tentando de fato. Esta tentativa prática é a continuação lógica e direta do experimento planejado no “Meno”.

Por que achamos que é verdade? Por que, pelo nosso processo de pensamento, podemos prever o que acontecerá e conjecturar corretamente a constituição das coisas ao nosso redor?

Esse é um problema que todo filósofo moderno considerou, e do qual Descartes, Leibnitz, Kant, para citar alguns, deram soluções memoráveis. Platão foi o primeiro a sugerir isso. E como ele tinha a posição única de ser o primeiro orientador do problema, sua solução é a mais singular. Filósofos posteriores falaram sobre consciência e suas leis, sensações, categorias. Mas Platão nunca usou tais palavras. Consciência à parte de um ser consciente não significava nada para ele. Sua busca sempre foi objetiva. Ele fez das intuições do ser humano a base de um novo tipo de história natural.

Em algumas palavras simples, Platão nos coloca em uma atitude com relação aos fenômenos psíquicos – a Mente – o ego – “o que somos”, o que é análogo à atitude que os seres humanos científicos dos dias atuais têm com relação aos fenômenos da natureza externa. Por trás dessa primeira apreensão nossa da natureza, há uma profundidade infinita a ser aprendida e conhecida. Platão disse que por trás dos fenômenos da Mente que o menino escravo de Meno exibia, havia uma perspectiva vasta e infinita. E sua singularidade, sua originalidade, aparece mais fortemente marcada nisso, que a perspectiva, os fenômenos complexos além foram, segundo ele, fenômenos da experiência pessoal. Uma pegada na areia significa um ser humano para um ser que tem a concepção de um ser humano. Mas para uma criatura que não tem tal concepção, significa uma marca curiosa, de alguma forma resultante da concatenação de ocorrências ordinárias. Tal ser tentaria apenas explicar como as causas conhecidas por ele poderiam coincidir de modo a produzir tal resultado; ele não reconheceria seu significado.

Platão introduziu a concepção que possibilitou um novo tipo de história natural. Ele disse que o escravo de Meno achava verdade sobre coisas que ele nunca aprendeu, porque sua “alma” tinha experiência. Eu sei que isso soará absurdo para algumas pessoas, e isso vai direto ao encontro da máxima, que a explicação consiste em mostrar como um efeito depende de causas simples. Mas que máxima equivocada é essa! Qualquer instância única pode ser mostrada de uma causa simples? Tome o comportamento das esferas, por exemplo; aquelas esferas de marfim, bolas de bilhar, por exemplo. Podemos explicar seu comportamento supondo que sejam sólidos elásticos homogêneos. Podemos dar fórmulas que irão explicar seu comportamento em todas as variedades.

Mas eles são sólidos elásticos homogêneos? Não, certamente não. Eles são complexos na estrutura física e molecular, e além de átomos e íons que abrem uma vista infinita. Nossa explicação simples é falsa, falsa como pode ser. As bolas agem como se fossem esferas elásticas homogêneas. Existe uma simplicidade estatística na resultante de condições muito complexas, o que torna útil essa concepção artificial.

No entanto, sua utilidade não deve nos cegar para o fato de que é artificial. Se realmente olharmos profundamente para a natureza, encontramos uma complexidade muito maior do que inicialmente suspeitamos. E assim, por trás desse simples “eu”, esse “eu mesmo”, não há uma complexidade paralela? A “alma” de Platão seria bastante aceitável para uma grande classe de pensadores, se por “alma” e a complexidade que ele lhe atribui, ele quer dizer o produto de um longo curso de mudança evolutiva, pelo qual formas simples da matéria viva dotadas de sensação rudimentar tenha, gradualmente, desenvolvido em seres totalmente conscientes.

Contudo, Platão não quer dizer por “alma” um ser de tal tipo. Sua alma é um ser cujas faculdades estão entupidas por seu ambiente corporal, ou pelo menos impedidas pela dificuldade de dirigir sua estrutura corporal – um ser que é essencialmente mais elevado do que ele acha de si mesmo, tendo como base os seus órgãos. Ao mesmo tempo, a alma de Platão não é incorpórea. É um ser real, com uma experiência real.

A questão se Platão tinha a concepção de existência não espacial foi muito discutida. O veredicto é, creio eu, que até mesmo suas “ideias” foram concebidas por ele como seres no espaço, ou, como deveríamos dizer, reais. A atitude de Platão é a da ciência, na medida em que ele pensa em um mundo no espaço. Entretanto, admitindo isso, não se pode negar que há uma divergência fundamental entre a concepção de Platão e a teoria evolucionista, e também uma divergência absoluta entre sua concepção e a descrição genética da origem das faculdades humanas.

As funções e capacidades da “alma” de Platão não são derivadas pela interação do corpo e de seu ambiente.

Platão estava envolvido em uma variedade de problemas, e seus pensamentos religiosos e éticos eram tão profundos e férteis que a investigação experimental de sua alma parece envolvida em muitos outros motivos. Em uma passagem, Platão combinará matéria de pensamento de todos os tipos e de todas as fontes, sobrepondo-se, entrecruzando-se. E em nenhum caso ele é mais envolvido e rico do que nesta questão da alma.

De fato, eu gostaria que houvesse duas palavras, uma denotando esse ser, corpóreo e real, mas com faculdades mais elevadas do que as que manifestamos em nossas ações corporais, que devem ser tomadas como objeto de investigação experimental; e a outra palavra denotando “alma”, no sentido em que é feita a receptora e a promessa de tanto que os seres humanos desejam.

É a alma no primeiro sentido que desejo investigar, e apenas numa esfera limitada. Desejo descobrir, na continuação do experimento no Meno, o que a “alma” em nós pensa sobre a extensão, experimentando nos fundamentos estabelecidos por Platão. Ele fez, para expor esse assunto brevemente, a hipótese em relação ao poder pensante de um ser em nós, uma “alma”. Essa alma não é acessível à observação pela visão ou pelo toque, mas pode ser observada por suas funções; é o objeto de um novo tipo de história natural, os materiais de construção que residem naquilo que é natural para nós pensarmos. Com Platão, “pensamento” era um termo de largo alcance, mas ainda assim eu afirmaria, em seu aspecto geral, um lugar para a questão particular da extensão.

O problema vem a ser: “O que é natural para nós pensar sobre o assunto quando ampliado em sua extensão?”.

Em primeiro lugar, acho que a intuição comum de qualquer objeto simples é extremamente imperfeita. Considere, por exemplo, um bloco de cubos diferentemente marcados e se familiarize com eles em suas posições. Você pode pensar que os conhece muito bem, mas quando os girar – por exemplo, girar o bloco ao redor de uma diagonal – você descobrirá que você perdeu a noção dos cubos em suas novas posições. Você pode mentalmente construir o bloco em sua nova posição, por regra, tomando as sequências lembradas, mas você não o sabe intuitivamente. Pela observação de um bloco de cubos em várias posições, e muito rapidamente pelo uso de nomes de espaço aplicados aos cubos em suas diferentes apresentações, é possível obter um conhecimento intuitivo do bloco de cubos, que não é perturbado por nenhum deslocamento. Agora, com relação a essa intuição, nós, modernos, diríamos que “eu a formei por minhas experiências visuais táteis” (ajudadas pela predisposição hereditária).

Platão diria que a alma foi estimulada a reconhecer um exemplo de forma que já conhecia. Platão consideraria a operação de aprender meramente como um estímulo; nós respondemos completamente pelo resultado. Esse último é o ponto de vista mais comum.

No entanto, por outro lado, pressupõe a geração de experiência a partir da mudança física. O mundo da experiência sensível, de acordo com a visão moderna, é fechado e limitado; apenas o mundo físico é grande e amplo e de complexidade sempre a ser descoberta. O mundo da alma de Platão, por outro lado, é pelo menos tão grande e amplo quanto o mundo das coisas.

Vamos agora tentar um experimento crucial. Posso formar uma intuição de um objeto de quatro dimensões? Tal objeto não está no alcance físico dos meus contatos sensoriais.

Tudo o que posso fazer é apresentar a mim mesmo as sequências de sólidos, o que significaria a apresentação para mim sob as minhas condições de um objeto de quatro dimensões. Tudo o que posso fazer é visualizar e sentir com o tato as diferentes séries de sólidos, que são conjuntos alternativos de vistas seccionais de uma forma quadridimensional.

Se agora, ao apresentar essas sequências, eu encontrar um poder em mim de passar intuitivamente de um desses conjuntos de sequências para outro, de sendo dado um, intuitivamente, construir outro, não usando uma regra, mas diretamente apreendendo-a, então eu descubro um fato novo sobre minha alma: que ela tem uma experiência quadridimensional; eu observei isso por uma função que ela tem.

Não gosto de falar positivamente, pois posso ocasionar uma perda de tempo por parte dos outros, se, como bem posso dizer, estou enganado. Mas, de minha parte, acho que há indícios de tal intuição; a partir dos resultados de meus experimentos, adoto a hipótese de que aquilo que pensa em nós tem uma ampla experiência, da qual as intuições que usamos ao lidar com o mundo dos objetos reais são uma parte; de qual experiência, a intuição de formas e movimentos quadridimensionais é também uma parte. O processo em que estamos engajados intelectualmente é a leitura dos sinais obscuros de nossos nervos em um mundo da realidade, por meio de intuições derivadas da experiência interior.

A imagem que eu formo é a seguinte: imagine o capitão de um navio de batalha moderno dirigindo em seu curso. Ele tem seus gráficos diante dele; ele está em comunicação com seus associados e subordinados; pode transmitir suas mensagens e comandos para todas as partes do navio e receber informações da torre de comando e da sala de máquinas. Agora, suponha que o capitão imerso no problema da navegação de seu navio sobre o oceano, tenha-se absorvido tanto no problema da direção de sua nave sobre a superfície plana do mar que se esquece de si mesmo. Tudo o que ocupa sua atenção é o tipo de movimento que seu navio faz. As operações pelas quais esse movimento é produzido afundaram abaixo do limiar de sua consciência, suas próprias ações, pelas quais ele aperta os botões, dá as ordens, são tão familiares que são automáticas; sua Mente está no movimento do navio como um todo. Nesse caso, podemos imaginar que ele se identifica com seu navio; tudo o que entra em seu pensamento consciente é a direção de seu movimento sobre a superfície plana do oceano.

Tal é a relação, como eu imagino, da alma com o corpo. Uma relação que podemos imaginar como existindo momentaneamente no caso do capitão é a normal no caso da alma com seu ofício. Como o capitão é capaz de um tipo de movimento, uma amplitude de movimento, que não entra em seus pensamentos em relação ao direcionamento da nave sobre a superfície plana do oceano, a alma é capaz de um tipo de movimento, tem uma amplitude de movimento, que não é usada em sua tarefa de dirigir o corpo na região tridimensional em que se encontra a atividade do corpo. Se por algum motivo for necessário que o capitão considere movimentos tridimensionais em relação a seu navio, não será difícil para ele obter os materiais para pensar sobre tais movimentos; tudo o que ele tem que fazer é chamar suas próprias experiências íntimas relacionadas com o momento. No que diz respeito à navegação do navio, no entanto, ele não é obrigado a invocar essa experiência.

O navio como um todo simplesmente se move em uma superfície. O problema do movimento tridimensional não se refere normalmente à sua direção. E assim, em relação a nós mesmos, todos os movimentos e atividades que caracterizam nossos órgãos corporais são tridimensionais; nós nunca precisamos considerar os movimentos mais amplos. Mas fazemos mais do que usar os movimentos do nosso corpo para efetuar nossos objetivos por meios diretos; agora chegamos à passagem quando agimos indiretamente sobre a natureza, quando chamamos processos em jogo que estão além do alcance de qualquer explicação que possamos dar pelo tipo de pensamento que foi suficiente para guiar nosso ofício como um todo. Quando chegamos ao problema do que acontece no minuto, achamos nossas concepções habituais inadequadas.

O capitão em nós deve despertar para sua própria natureza íntima, perceber essas funções de movimento que são suas e, em virtude de seu conhecimento delas, apreender como lidar com o problema a que chegou.

Pense na história do ser humano. Quando houve um tempo em que seus pensamentos-forma e movimento não eram exclusivamente de variedades adaptadas à sua performance corporal? Nós nunca tivemos uma demanda para conceber quais são os nossos poderes mais íntimos. Contudo, tão pouco quanto mergulhando na direção de seu navio sobre a superfície plana do oceano, um capitão pode perder a faculdade de pensar sobre o que ele realmente faz, tão pouco pode a alma perder sua própria natureza. Pode ser despertado para uma intuição que não é derivada da experiência que os sentidos dão. Tudo o que é necessário é apresentar algumas daquelas aparições que, embora inconsistentes com a matéria tridimensional, ainda são consistentes com nosso conhecimento formal da matéria quadridimensional, para que a alma desperte e não comece a aprender, mas de seu próprio sentimento íntimo preenche as lacunas do pressentimento, apreende a esfera completa de possibilidades dos pontos isolados que lhe são apresentados. Em relação a essa questão de nossas percepções, deixe-me sugerir outra ilustração, não levando muito a sério, apenas propondo que ela exiba as possibilidades de maneira ampla e geral.

Nos céus, entre a multidão de estrelas, há algumas que, quando o telescópio é dirigido a elas, parecem não ser estrelas isoladas, mas divididas em duas.

Com relação a essas estrelas gêmeas, um astrônomo, através de um espectroscópio, vê em cada uma delas um espectro de faixas de cores e linhas pretas. Comparando esses espectros uns com os outros, ele descobre que há uma ligeira mudança relativa das linhas escuras, e a partir dessa mudança ele sabe que as estrelas estão girando uma em torno da outra e podem dizer sua velocidade relativa em relação à Terra. Por meio de sua física terrestre, ele lê esse sinal dos céus. Essa mudança de linhas, a mera pequena variação de uma linha preta em um espectro, é muito diferente daquela que o astrônomo sabe que significa. Entretanto, é provavelmente muito mais parecida com o que significa, que os sinais que os nervos transmitem como os fenômenos do mundo exterior.

Nenhuma imagem de um objeto é transmitida através dos nervos.

Nenhuma imagem do movimento, no sentido em que postulamos sua existência, é transmitida através dos nervos. As verdadeiras libertações de que nossa consciência leva em conta são, provavelmente, idênticas para olho e ouvido, visão e tato.

Se, por um momento, considero a terra inteira e a considero como um ser sensível, descubro que o problema de sua apreensão é muito complexo e envolve uma longa série de eventos pessoais e físicos. Da mesma forma, o problema de nossa apreensão é muito complexo. Eu só uso essa ilustração para expor meu significado. Tem este mérito especial, que, como o processo de apreensão consciente ocorre no nosso caso no minuto, assim com respeito a esse ser terrestre, o processo correspondente ocorre no que é relativamente a ele muito ínfimo.

Agora, a visão de Platão de uma alma nos leva à hipótese de que aquilo que designamos como um ato de apreensão pode ser um evento muito complexo, tanto fisicamente quanto pessoalmente.

Ele não procura explicar o que é uma intuição; ele faz disso uma base de onde ele parte em uma viagem de descoberta. Conhecimento significa conhecimento; ele coloca o ser consciente para explicar o ser consciente. Ele faz uma hipótese do tipo que é tão fértil na ciência física – uma hipótese que não reivindica a finalidade, que marca uma visão da possível determinação por trás da determinação, como a hipótese do próprio espaço, o tipo de hipóteses úteis.

E, acima de tudo, a hipótese de Platão é propícia ao experimento.

Ele dá a perspectiva em que objetos reais podem ser determinados; e, em nossa presente investigação, estamos fazendo o mais simples de todos os experimentos possíveis – estamos investigando o que é natural para a alma pensar na matéria como uma extensão.

Aristóteles diz que sempre usamos um “fantasma” no pensamento, um fantasma de nossos sentidos corpóreos, uma visualização ou algo tátil. Mas nós podemos modificar essa visualização ou esse algo tátil que representa algo desconhecido pelos sentidos. Nós, por essa representação, despertamos uma intuição da alma? Podemos, pela apresentação dessas formas hipotéticas, que são o assunto de nossa presente discussão, despertar para intuições superiores?

E podemos explicar o mundo ao redor por uma moção que só conhecemos pelas nossas almas?

Além de toda especulação, no entanto, me parece que o interesse dessas formas e movimentos quadridimensionais é razão suficiente para estudá-los, e que eles são o caminho pelo qual podemos nos tornar uma apreensão mais completa do mundo como um todo concreto.

Nomes de Espaço

Se as palavras escritas nos quadrados desenhados na figura 1 são usados como os nomes dos quadrados nas posições em que são colocados, é evidente que uma combinação desses nomes denotará uma figura composta dos quadrados designados.

Figura 1

Verifica-se ser mais conveniente tomar como o quadrado inicial marcado com um asterisco, de modo que as direções de progressão sejam para o observador e para a direita. As direções de progressão, no entanto, são arbitrárias e podem ser escolhidas à vontade.

Assim et, at, it, an, al, denotará uma figura na forma de uma cruz composta de cinco quadrados.

Aqui, por meio da sequência dupla, e, a, i e n, t, l, é possível nomear uma coleção limitada de elementos espaciais.

O sistema pode obviamente ser estendido usando sequências de letras de mais números.

Mas, sem introduzir tal complexidade, os princípios de uma linguagem espacial podem ser exibidos, e uma nomenclatura obtida adequada a todas as considerações das páginas precedentes.

1. Extensão

Chame os quadrados grandes na figura 2 pelos nomes escritos neles. É evidente que cada um pode ser dividido como mostrado na figura 1.

Figura 2

Então, o quadrado pequeno marcado com 1 será “en” em “En” ou “Enen”.

O quadrado marcado com 2 será “et” em “En” ou “Enet”; enquanto o quadrado marcado com 4 será “em” em “Et” ou “Eten”. Assim, o quadrado 5 será chamado “Ilil”.

Este princípio de extensão pode ser aplicado em qualquer número de dimensões.

2. Aplicação no espaço tridimensional

Para nomear uma colocação tridimensional de cubos, tome a direção ascendente em primeiro lugar; em segundo lugar, a direção em direção ao observador; em terceiro lugar, a direção para a mão direita.

Figura 3

Esses formam uma palavra na qual o primeiro dá o lugar do cubo para cima, a segunda coloca seu lugar para o observador, a terceira coloca seu lugar para a direita.

Temos assim o seguinte esquema, que representa o conjunto de cubos da coluna 1 da figura 101, que é replicada abaixo:

Comecemos com o cubo mais inferior remoto, no lado esquerdo, onde o asterisco é colocado, na figura 2, acima (isso prova ser de longe a origem mais conveniente para o sistema normal).

Assim, “nen” é um cubo “nulo”; “ten” é um cubo vermelho e “len” é um cubo “nulo”, acima do “ten”.

Usando uma sequência mais extensa de consoantes e vogais, um conjunto maior de cubos pode ser nomeado.

Para nomear um bloco de quatro dimensões de tesseratos, basta prefixar um “e”, um “a” ou um “i” para os nomes dos cubos.

Assim, os blocos de tesseratos, esquematicamente representados na figura 101, são nomeados da seguinte forma:

3. Derivação dos Nomes do Ponto, da Linha, da Face, etc.

O princípio da derivação pode ser mostrado da seguinte forma:

Tomando o quadrado de quadrados, o número de quadrados pode ser aumentado e o todo mantido o mesmo tamanho.

Compare a figura 79, por exemplo, ou a camada inferior da figura 84.

Agora use uma inicial “s” para indicar o resultado de transportar esse processo em grande medida, e obtemos os nomes de limite, que é o ponto, a linha, os nomes da área para um quadrado.

Note que “sat” é todo o interior. Os cantos são “sen”, “sel”, “sin”, “sil”, enquanto as linhas são “san”, “sal”, “set”, “sit”.

Eu entendo que pelo uso da inicial “s” esses nomes se tornam praticamente totalmente desconectados dos nomes sistemáticos do quadrado do qual eles derivam. Eles são fáceis de aprender e, quando aprendidos, podem ser usados prontamente com os eixos em execução em qualquer direção.

Derivar os nomes de limite para uma figura retangular quadridimensional, como o tesserato, é uma extensão simples desse processo. Esses nomes de pontos, linhas, etc. incluem aqueles que se aplicam a um cubo, como será evidente na inspeção do primeiro cubo dos diagramas que se seguem.

Tudo o que é necessário é colocar um “s” antes de cada um dos nomes dados para um bloco de tesserato. Em seguida, obtemos apelativos que, como os nomes das cores, na figura 103, se aplicam a todos os pontos, linhas, faces, sólidos e ao hipersólido do tesserato. Esses nomes têm a vantagem sobre as marcas de cores de cada ponto, linha, etc., de ter seu próprio nome individual.

Nos diagramas dou os nomes correspondentes às posições mostradas na chapa colorida ou descritas junto à figura 103. Comparando os cubos 1, 2, 3 com a primeira linha de cubos na placa colorida, os nomes sistemáticos de cada um dos pontos, linhas, faces, etc., podem ser determinados. O asterisco mostra a origem a partir da qual os nomes são executados.

Esses nomes de ponto, linha, face, etc. devem ser usados em conexão com as cores correspondentes. Os nomes devem chamar imagens coloridas das partes nomeadas em sua conexão correta.

Verifica-se que uma certa abreviação acrescenta clareza de distinção a esses nomes. Se o “en” final for descartado onde quer que ocorra, o sistema será aprimorado. Assim, em vez de “senen”, “seten”, “selen”, é preferível abreviar para “sen”, “set”, “sel” e também usar “san”, “sin” para “sanen”, “sinen”.

Podemos, agora, nomear qualquer seção. Tome, por exemplo, a linha no primeiro cubo de senin para senel, deveríamos chamar a linha que vai de senin a senel, senin senat senel, uma linha amarela clara com pontos nulos.

Aqui senat é o nome de toda a linha, exceto seus fins.

Usar “senat” dessa maneira não significa que a linha seja o todo senat, mas o que há dela é senat. É uma parte da região do senat. Assim também o triângulo, que tem seus três vértices em senin, senel, selen, é assim denominado:

Área: setat.

Lados: setan, senat, setet.

Vértices: senin, senel, sel.

A seção do tetraedro do tesserato pode ser pensada como uma série de seções planas nas sucessivas seções do tesserato mostradas na figura 114. Em b0 a seção é a descrita acima. Em b1 a seção é feita por um plano que corta as três bordas do intermediário sanen de seus comprimentos e assim será:

Área: satat.

Lados: satan, sanat, satet.

Vértices: sanan, sanet, sat.

As seções em b2, b3 serão como a seção em b1, mas menores.

Finalmente, em b4, o plano da seção simplesmente passa pelo canto chamado sin.

Portanto, colocando essas seções juntas em sua relação correta, a partir da face setat, cercada pelas linhas e pontos mencionados acima, execute:

3 faces: satan, sanat, satet

3 linhas: sanan, sanet, sat

E essas faces e linhas correm para o ponto “sin”. Assim, o tetraedro é completamente denominado.

A seção octaedro do tesserato, que pode ser traçada a partir da figura 72, estendendo as linhas lá desenhadas, é nomeado: triângulo frontal: selin, selat, selel, setal, senil, setit, selin com área setat.

As seções entre o triângulo frontal e traseiro, das quais uma é mostrada em 1b, outra em 2b, são assim nomeadas, pontos e linhas, salan, salat, salet, satet, satel, satal, sanal, sanat, sanit, satit, satin satan, salan.

O conjunto de seções constitui o corpo sólido do octaedro saturado com faces triangulares. O da linha selat até o ponto sil, por exemplo, é chamado selin, selat, selel, salet, salat, salan, sil. Todo o interior é salat.

As formas podem ser facilmente cortadas de papelão, que, quando dobradas juntas, formam não apenas o tetraedro e o octaedro, mas também amostras de todas as seções do tesserato, quando esse passa pelo nosso espaço.

Nomear e visualizar com cores apropriadas, uma série dessas seções, é um exercício admirável para obter familiaridade com o assunto.

Extensão e Conexão com Números

Ao estender a sequência de letras, é claro que é possível nomear um campo maior. Usando os nomes de limite, os cantos de cada quadrado podem ser nomeados.

Assim, “en sen”, “an sen”, etc., serão os nomes dos pontos mais próximos da origem em “en” e em “an.”

Um campo de pontos, em que cada um é indefinidamente pequeno, é dado pelos nomes escritos abaixo.

Os quadrados são mostrados em linhas pontilhadas; os nomes denotam os pontos. Esses pontos não são pontos matemáticos, mas realmente são áreas minúsculas.

Em vez de começar com um conjunto de quadrados e nomeá-los, podemos começar com um conjunto de pontos.

Por uma convenção facilmente lembrada, podemos dar nomes para tal região de pontos.

Seja os nomes de espaço com um final “e” adicionado denotar os pontos matemáticos no canto de cada quadrado mais próximo da origem. Temos então o conjunto de pontos matemáticos indicados.

Esse sistema é completamente independente do sistema da área e está conectado apenas com o propósito de facilitar o processo de memória. A palavra “ene” é pronunciada como “eny”, com apenas atenção suficiente para a vogal final para distingui-la da palavra “en”.

Agora, conectando os números: 0, 1, 2 com a sequência: e, a, i, e também com a sequência: n, t, l, temos um conjunto de pontos nomeados como com números em um sistema de coordenadas.

Assim, “ene” é (0, 0); “ata” é (1, 1); “ite” é (2, 1).

Para passar para o sistema de área, a regra é que o nome do quadrado é formado a partir do nome do seu ponto mais próximo da origem, largando o “e” final.

Usando uma notação análoga ao sistema decimal, um campo maior de pontos pode ser nomeado. Resta atribuir uma sequência de letras aos números de 0 positivo a 9 positivo, e de 0 negativo a 9 negativo, para obter um sistema que possa ser usado para denotar tanto o sistema de coordenadas usual de mapeamento, quanto um sistema de quadrados nomeados. Os nomes que denotam os pontos terminam com “e”. Aqueles que denotam quadrados terminam com uma consoante.

Há muitas considerações que devem ser atendidas ao estender as sequências a serem usadas, como singularidade no significado das palavras formadas, facilidade de pronúncia, evitar combinações desajeitadas.

Eu solto “s” completamente da série de consoantes e curto “u” da série de vogais. É conveniente ter letras não significativas à disposição. Uma consoante dupla como “st”, por exemplo, pode ser referida sem dar um significado local chamando-a “ust”. Eu aumentei o número de vogais considerando um som como “ra” como uma vogal, usando, isto é, a letra “r” como formando uma vogal composta.

A série é a seguinte:

Pronúncia – “e” como em “men”; “a” como em “man”; “i” como “in”; “ee” como “em” em “between”; æ como “ay” em “may”; “ai” como i em “mine”; “ar” como em “art”; er como “ear” em “earth”; “o” como em “on”; “oo” como “oo” em “soon”; “io” como em “clarion”; “œ” como “oa” em “oat”; “iu” pronunciado como “yew”.

Para nomear um ponto como (23, 41) é considerado como (3, 1) de (20, 40) e é chamado de “ifeete”. É o ponto inicial do quadrado ifeet do sistema de área.

A amplificação precedente de uma linguagem espacial foi introduzida apenas por uma questão de completude. Como já foi dito, nove palavras e suas combinações, aplicadas a alguns modelos simples, são suficientes para os propósitos de nossa presente investigação.

Notas Explicativas

“A Language of Space” não fazia parte da primeira edição; foi emitido como um panfleto na mesma época, e foi encadernado no início da impressão de Kessinger, paginada separadamente. Em 1906 e posteriores edições desse livro: Quarta Dimensão foi incluído no final, como um segundo apêndice.

Todas as figuras foram redesenhadas como arte vetorial. Em algumas das visões do cubo e tesserato nos capítulos XI-XIII, as figuras foram coloridas em vez de, ou além de, colocar os nomes das cores ou suas iniciais na figura. Para tornar a nomenclatura clara, sempre que uma determinada cor é usada pela primeira vez, o nome também é impresso. Essas cores são as mesmas usadas na placa colorida; eu segui a impressão original renderizando o “nulo” como um cinza claro.

Alguns erros tipográficos óbvios foram corrigidos, e algumas pequenas alterações na pontuação foram feitas por uma questão de clareza. Alguns erros na mnemônica para o silogismo foram corrigidos:

Capítulo 8:

Barbara celarent Darii ferioque [prioris]

Cesare Camestres Festino Baroco [secundæ].

[Tertia] darapti disamis datisi felapton

Bocardo ferison habet [Quarta insuper addit].

Bramantip camenes dimaris fesapo fresinon.

No Capítulo 12, a segunda sentença originalmente era “Então cada uma das oito linhas do cubo…” e o cálculo do número de quadrados delimitadores do tesserato foi então dado como 12 + 8 = 20. Isto foi corrigido como um erro óbvio: “O número de quadrados é encontrado assim – ao redor do cubo são seis quadrados; esses darão seis quadrados em sua inicial e seis em suas posições finais. Então, cada uma das doze linhas de um cubo rastreia um quadrado no movimento na quarta dimensão. Assim, haverá 12 + 12 = 24 quadrados”…

FIM

[1] N.T.: William Thomson, 1º barão Kelvin, (no Brasil é mais conhecido como Lorde Kelvin) (1824-1907) foi um físico-matemático e engenheiro britânico, nascido na Irlanda. Considerado um líder nas ciências físicas do século XIX.

[2] N.T.: Parmênides de Eleia (530 a.C.-460 a.C.) foi um filósofo grego natural de Eleia, uma cidade grega na costa sul da Magna Grécia.

[3] N.T.: Ou Escola eleática: escola filosófica pré-socrática. Recebeu esse nome em função da cidade Eleia (da antiga Magna Grécia), situada no sul da Itália e local de seu florescimento. Nessa escola encontramos quatro grandes filósofos: Xenófanes, Parmênides, Zenão e Melisso. Nesse grupo famoso de pensadores, as questões filosóficas concentram-se na comparação entre o valor do conhecimento sensível e o do conhecimento racional. De suas reflexões, resultou que o único conhecimento válido é aquele fornecido pela razão.

[4] N.T.: Platão (428/427–348/347 a.C.) foi um filósofo e matemático do período clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a primeira instituição de educação superior do mundo ocidental. Juntamente com seu mentor, Sócrates, e seu pupilo, Aristóteles, Platão ajudou a construir os alicerces da filosofia natural, da ciência e da filosofia ocidental.

[5] N.T.: Cosmogonia (ou Cosmogenia) é qualquer modelo relacionado à existência (ou seja, a origem) que seja do cosmos (ou o universo), ou da chamada realidade dos seres sencientes.

[6] N.T.: Pitágoras de Samos (c. 570 – c. 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como o fundador do movimento chamado Pitagorismo.

[7] N.T.: Aristóteles (Estagira, 384 a.C.-Atenas, 322 a.C.) foi um filósofo grego, aluno de Platão. Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica, as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a zoologia. Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão), Aristóteles é visto como um dos fundadores da filosofia ocidental.

[8] N.T.: Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) foi um matemático russo.

[9] N.T.: János Bolyai (1802-1860) foi um matemático húngaro, conhecido por seu trabalho em geometria não-euclidiana.

[10] N.T.: Johann Christian Martin Bartels (1769-1836) foi um matemático alemão. Foi tutor de Carl Friedrich Gauss em Braunschweig e educador de Nikolai Lobachevsky na Universidade de Kazan.

[11] N.T.: O pietismo é um movimento oriundo do luteranismo que valoriza as experiências individuais do crente.

[12] N.T.: Guillaume-Jules Hoüel (1823-1886) foi um matemático francês.

[13] N.T.: Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um matemático, astrônomo e físico alemão, que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodesia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica.

[14] N.T.: Eugenio Beltrami (1835-1900) foi um matemático italiano.

[15] N.T.: Immanuel Kant (1724-1804) foi um filósofo prussiano. Amplamente considerado como o principal filósofo da era moderna, Kant operou, na epistemologia, uma síntese entre o racionalismo continental (de René Descartes e Gottfried Wilhelm Leibniz, onde impera a forma de raciocínio dedutivo), e a tradição empírica inglesa (de David Hume, John Locke, ou George Berkeley, que valoriza a indução).

[16] N.T.: Giuseppe Veronese (1854-1917) foi um matemático italiano. Reconhecido pelo seu trabalho em geometria.

[17] N.A: É sugestivo também em outro aspecto, porque mostra muito claramente que em nossos processos de pensamento existem faculdades além da lógica; nela a origem da ideia que prova ser justificada é extraída da consideração da simetria, um ramo da beleza.

[18] N.T.: Immanuel Kant (1724-1804) foi um filósofo prussiano. Amplamente considerado como o principal filósofo da era moderna, Kant operou, na epistemologia, uma síntese entre o racionalismo continental (de René Descartes e Gottfried Wilhelm Leibniz, onde impera a forma de raciocínio dedutivo), e a tradição empírica inglesa (de David Hume, John Locke, ou George Berkeley, que valoriza a indução).

[19] N.T.: O hodógrafo do movimento de uma partícula é a curva descrita pelas extremidades dos vetores velocidade instantânea quando transladados de modo a terem todos uma mesma origem. William Rowan Hamilton utilizou o hodógrafo como ferramenta de investigação em seus estudos sobre os movimentos dos corpos. Veja abaixo: Transladando as origens dos vetores velocidade para um ponto comum, obtém-se o hodógrafo.

[20] N.T.: Ou Dmitri Ivanovic Mendeleev (1834-1907) foi um químico e físico russo, criador da primeira versão da tabela periódica dos elementos químicos, prevendo as propriedades de elementos que ainda não tinham sido descobertos.

[21] N.T.: Pierre-Simon, Marquês de Laplace (1749-1827) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática.

[22] N.T.: Alicia Boole Stott (1860-1940) foi uma matemática irlandesa-inglesa. Apesar de nunca ter ocupado um cargo acadêmico, ela fez uma série de valiosas contribuições para o campo, recebendo um doutorado honorário da Universidade de Groningen. Ela é mais conhecida por cunhar o termo “polytope” por um sólido convexo em quatro (ou mais) dimensões, e ter uma compreensão impressionante de geometria tridimensional desde uma idade muito precoce.

[23] N.T.: William Stanley Jevons (1835-1882) foi um economista britânico. Inicialmente estudou química e botânica, e depois lógica e economia.

[24] N.T.: Na filosofia newtoniana, significa a verdadeira causa de um fenômeno natural, por um agente cuja existência é evidenciada independentemente.

[25] N.T.: A Crítica da Razão Pura é a principal obra de teoria do conhecimento do filósofo Immanuel Kant. Um dos mais influentes trabalhos na história da filosofia, e dá início ao chamado idealismo alemão. Há três “Críticas”: Crítica da Razão Pura, Crítica da Razão Prática e a Crítica do Juízo.

[26] N.T.: para entender melhor a conotação, seguem as figuras:

[27] N.A.: Estas figuras serão descritas mais completamente, e extensivamente, no próximo capítulo.

[28] N.T.: John Stuart Mill (1806-1873) foi um filósofo e economista britânico. É considerado por alguns como o filósofo de língua inglesa mais influente do século XIX. É conhecido principalmente pelos seus trabalhos nos campos da filosofia política, ética, economia política e lógica, além de influenciar inúmeros pensadores e áreas do conhecimento.

[29] N.T.: Um tesserato (ou tesseracto), octácoro regular ou hipercubo de quatro dimensões é um polícoro (polítopo de quatro dimensões) regular, é o polícoro dual do Hexadecácoro e é análogo ao cubo (que é um poliedro, um polítopo de três dimensões) e ao quadrado (que é um polígono, um polítopo de duas dimensões). Um octácoro apresenta vértices (pontos), arestas (linhas), faces (planos) e células (sólidos).

Como um quadrado é formado de linhas perpendiculares e um cubo é feito de quadrados perpendiculares, estende-se o raciocínio para a quarta dimensão: um tesserato é feito de cubos perpendiculares. Isso só se faz possível se houver uma quarta dimensão, simultaneamente perpendicular às três outras.

[30] Os oito cubos usados aqui em 2 podem ser encontrados no segundo dos blocos do modelo. Eles podem ser retirados e usados.

[31] A placa colorida, figuras 1, 2, 3, mostra essas relações de forma mais visível.

[32] N.A.: Neste ponto, o leitor achará vantajoso, se tiver os modelos, passar pelas manipulações descritas no Apêndice I.

[33] N.T.: O conteúdo desse capítulo foi retirado de um artigo anterior da Sociedade Filosófica de Washington. A parte matemática do artigo apareceu, em parte, no Transcations da Academia Real Irlandesa sob o título: “Fórmula Cayley de transformação ortogonal”.

[34] N.T.: Veja a Figura 131, para facilitar.

[35] N.T.: diferente de um tetradecágono.